已知abc均为实数,且a^2+b^2+c^2=1,求3ab-2ac+c^2求实数a的取值范围围
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时间：2015-01-16 15:23
知识点梳理
【一元二次根与系数的关系】如果&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）的两个根是&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}，那么&{{x}_{1}}{{+x}_{2}}=-{\frac{b}{a}}，{{x}_{1}}o{{x}_{2}}={\frac{c}{a}}（隐含&a≠0）．特别地，当一元二次方程的二次项系数为&1&时，设&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&是方程&{{x}^{2}}+px+q=0&&的两个根，则&{{x}_{1}}{{+x}_{2}}=-p，{{x}_{1}}o{{x}_{2}}=q．【一元二次方程根与系数关系得逆用】如果实数&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&满足&{{x}_{1}}{{+x}_{2}}=-{\frac{b}{a}}，{{x}_{1}}o{{x}_{2}}={\frac{c}{a}}&，那么&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&是一元二次方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（）的两个根．以两个实数&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&为根的一元二次方程（二次项系数为&1）是&{{x}^{2}}-\left({{{x}_{1}}{{+x}_{2}}}\right){{x+x}_{1}}o{{x}_{2}}=0&．【一元二次方程根与系数的应用】（1）不解方程，利用根与系数的关系求关于&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&的对称式的值，如&{{{{x}_{1}}}^{2}}+{{{{x}_{2}}}^{2}}=\left({{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}{{-2x}_{1}}o{{x}_{2}}&，&\left({{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}=\left({{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}-4{{x}_{1}}o{{x}_{2}}，&{{|x}_{1}}{{-x}_{2}}|=\sqrt[]{\left({{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}-4{{x}_{1}}o{{x}_{2}}}，&{\frac{1}{{{x}_{1}}}}+{\frac{1}{{{x}_{2}}}}={\frac{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}}，&{\frac{1}{{{{{x}_{1}}}^{2}}}}+{\frac{1}{{{{{x}_{2}}}^{2}}}}={\frac{\left({{{x}_{1}}{{+x}_{2}}}\right){{}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{\left({{{x}_{1}}{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}}}．（2）根的符号的讨论．利用根与系数的关系可以讨论根的符号，设一元二次方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）的两个根&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&．i）Δ≥0，且&{{x}_{1}}{{x}_{2}}>0&时，两根同号．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}>0,}\\{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}>0.}\end{array}}\right&&&两根同正．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}>0,}\\{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}<0.}\end{array}}\right&&&两根同负．ii）Δ≥0，且&{{x}_{1}}{{x}_{2}}<0&时，两根异号．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}0.}\end{array}}\right&&&两根异号且正根的较大．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}<0,}\\{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}<0.}\end{array}}\right&&&&两根异号且负根的绝对值较大．（3）其他结论．①&设一元二次方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）的两个根&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&（其中&{{x}_{1}}≥{{x}_{2}}&），若&m&为实数，当&Δ≥0&时，一般会有以下结论存在：i）\left({{{x}_{1}}-m}\right)\left({{{x}_{2}}-m}\right)<0
{{x}_{1}}>m，{{x}_{2}}<m&．ii）\left({{{x}_{1}}-m}\right)\left({{{x}_{2}}-m}\right)>0&且&\left({{{x}_{1}}-m}\right)+\left({{{x}_{2}}-m}\right)>0&& {{x}_{1}}>m，{{x}_{2}}>m&．iii）&\left({{{x}_{1}}-m}\right)\left({{{x}_{2}}-m}\right)>0&且&\left({{{x}_{1}}-m}\right)+\left({{{x}_{2}}-m}\right)<0&& {{x}_{1}}<m，{{x}_{2}}<m&．②&若有理系数一元二次方程有一个根是&a+\sqrt[]{b}，则必有另一个根为&a-\sqrt[]{b}&．③&若&ac<0，则方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）必有两个实数根．④&逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理．以上利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的&Δ，一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．
1.列解应用题：&列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：&&&&(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．&&&&(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．&&&&(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．&&&&(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。&&&&(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．&&&&(6)写出答案．2.建立二次函数模型求解实际问题：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
1.公式：S=0.5ah(a是的底，h是底所对应的高)2.注释：三边均可为底，应理解为：三边与之对应的高的积的一半是三角形的面积。这是面积法求长度的基础。3.还有其他的公式如海伦公式等。
直角性质定理：1.直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即a?+b?=c?。2.在直角三角形中，两个锐角互余。3.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。4.直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。5.在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。其逆定理也成立，即在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。7.直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D&则BD:DC=AB:AC
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90&，AC、BC...”，相似的试题还有：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC、BC的长为方程x2-14x+a=0的两根，且AC-BC=2，D为AB的中点．(1)求a的值．(2)动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒…若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围；②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90&，AC、BC的长恰好为方程x2-14x+a=0的两根，且AC-BC=2，D为AB的中点．(1)求a的值．(2)动点P从点A出发，沿A→D→C的路线向点C运动；点Q从点B出发，沿B→C的路线向点C运动．若点P、Q同时出发，速度都为每秒2个单位，当点P经过点D时，点P速度变为每秒3单位，同时点Q速度变为每秒1个单位．当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90&，AC、BC的长为方程x2-14x+a=0的两根，且AC-BC=2，D为AB的中点．(1)求a的值．(2)动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒…若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围；②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． 上传我的文档
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滁州一中高二理科寒假数学试卷作业及答案
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滁州一中高二理科寒假数学试卷作业及答案
官方公共微信考点：平面向量数量积的含义与物理意义
专题：平面向量及应用
分析：画出图形，把AB•AE+AC•AF的运算化为已知的AB、BC与BE、BF的数量积的运算，从而求得取值范围．
解：∵△ABC是边长为2的正三角形，B为线段EF的中点，且EF=3，如图；设∠ABF=θ，则θ∈[0，π]；∴AB•AE+AC•AF=AB•（AB+BE）+（AB+BC）•（AB+BF）=AB2+AB•BE+AB2+AB•BF+BC•AB+BC•BF=2AB2+（AB•BE+AB•BF）+BC•AB+BC•BF=2×22+0+2×2×cos2π3+2×32×cosθ=6+3cosθ；∵-1≤cosθ≤1，∴3≤6+cosθ≤9，∴AB•AE+AC•AF的取值范围是[3，9]；故选：D．
点评：本题考查了平面向量的加减运算以及数量积的综合运算，是易错题．
请选择年级高一高二高三请输入相应的习题集名称(选填)：
科目：高中数学
直线y=2x+b与曲线y=-x+3lnx相切，则b的值为．
科目：高中数学
某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）
A、203πB、6πC、103πD、163π
科目：高中数学
如图，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积，（其中∠BAC=30°）
科目：高中数学
已知双曲线x2m-y2=1的一条渐近线和圆x2+y2-4x+3=0相切，则该双曲线的离心率为．
科目：高中数学
曲线C1的参数方程为x=cosθy=sinθ（θ为参数），将曲线C1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2．（Ⅰ）求曲线C2的普通方程；（Ⅱ）已知点B（1，1），曲线C2与x轴负半轴交于点A，P为曲线C2上任意一点，求|PA|2-|PB|2的最大值．
科目：高中数学
已知全集为R，函数f（x）=lg（1-x）的定义域为集合A，集合B={x|x（x-1）＞6}，（Ⅰ）求A∪B，A∩（∁RB）；（Ⅱ）若C={x|-1+m＜x＜2m}，且C≠∅，C⊆（A∩（∁RB）），求实数m的取值范围．
科目：高中数学
如图，设D是边长为l的正方形区域，E是D内函数y=x与y=x2所构成（阴影部分）的区域，在D中任取一点，则该点在E中的概率是（ ）
A、13B、23C、16D、14
科目：高中数学
三棱锥P-ABC的主视图和俯视图为如图所示的两个全等的等腰三角形，其中底边长为4，腰长为3，则该三棱锥左视图的面积为（ ）
A、52B、25C、5D、5
吴老师30日19点直播线段的垂直平分线的性质
余老师30日20点直播unit5第二课时 Section A根据根与系数的关系求出,求出和,即可求出答案;根据勾股定理求出,,过作于,关键三角形的面积公式求出,当时,,求出即可;同理可求:当时,,求出即可;当时,;当时,;在整个运动过程中,只可能,当在上时,若,,代入即可求出;当在上时,若,,,得到或,求出,根据的范围,判断即可.
,的长为方程的两根,,又,,,,答:的值是.解:,.又为的中点,,,过作于,根据三角形的面积公式得:,,解得:,当时,,,,同理可求:当时,,,;当时,;当时,,,;答:与之间的函数关系式是或或.解:在整个运动过程中,只可能,当在上时,若,,,,当在上时,若,,,或,,,,,,不符合题意舍去,当秒时,为直角三角形.答:存在这样的,使得为直角三角形,符合条件的的值是秒.
本题主要考查对锐角三角函数的定义,根据实际问题列二次函数的解析式,勾股定理,三角形的面积,直角三角形的性质,解一元一次方程,根与系数的关系等知识点的理解和掌握,把实际问题转化成数学问题是解此题的关键,此题是一个拔高的题目,有一定的难度.
3828@@3@@@@根据实际问题列二次函数关系式@@@@@@255@@Math@@Junior@@$255@@2@@@@二次函数@@@@@@51@@Math@@Junior@@$51@@1@@@@函数@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3718@@3@@@@解一元一次方程@@@@@@246@@Math@@Junior@@$246@@2@@@@一元一次方程@@@@@@50@@Math@@Junior@@$50@@1@@@@方程与不等式@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3746@@3@@@@根与系数的关系@@@@@@248@@Math@@Junior@@$248@@2@@@@一元二次方程@@@@@@50@@Math@@Junior@@$50@@1@@@@方程与不等式@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3869@@3@@@@三角形的面积@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3889@@3@@@@直角三角形的性质@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3892@@3@@@@勾股定理@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$4003@@3@@@@锐角三角函数的定义@@@@@@267@@Math@@Junior@@$267@@2@@@@锐角三角函数@@@@@@53@@Math@@Junior@@$53@@1@@@@图形的变化@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
@@51@@7##@@50@@7##@@50@@7##@@52@@7##@@52@@7##@@52@@7##@@53@@7
第三大题，第10小题
第三大题，第12小题
第三大题，第10小题
求解答 学习搜索引擎 | 如图,在直角三角形ABC中,角ACB={{90}^{\circ }},AC,BC的长为方程{{x}^{2}}-14x+a=0的两根,且AC-BC=2,D为AB的中点.(1)求a的值.(2)动点P从点A出发,以每秒2个单位的速度,沿A→D→C的路线向点C运动;动点Q从点B出发,以每秒3个单位的速度,沿B→C的路线向点C运动,且点Q每运动1秒,就停止2秒,然后再运动1秒...若点P,Q同时出发,当其中有一点到达终点时整个运动随之结束.设运动时间为t秒.\textcircled{1}在整个运动过程中,设\Delta PCQ的面积为S,试求S与t之间的函数关系式;并指出自变量t的取值范围;\textcircled{2}是否存在这样的t,使得\Delta PCQ为直角三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.余弦定理导学案
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余弦定理导学案
作者：佚名 教案来源：网络 点击数： &&&
余弦定理导学案
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文 章来源莲山 课件 w w w.5Y
余弦定理导学案高二年级数学组&& 知能目标解读1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理，理解用数量积推导余弦定理的过程，并体会向量在解决三角形的度量问题时的作用.2.了解余弦定理的几种变形公式及形式.3.会从方程的角度来理解余弦定理的作用及适用范围，并会用余弦定理解决“已知三边求三角形的三角”及“已知两边及其夹角求三角形中其他的边和角”等问题.4.能熟练应用余弦定理解三角形以及现实生活中的实际问题.重点难点点拨 重点：余弦定理的证明及其应用.难点：处理三角形问题恰当地选择正弦定理或余弦定理.学习方法指导一、余弦定理1.余弦定理：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，那么有如下结论：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.即三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.这一结论叫做余弦定理，它揭示了任意三角形边角之间的客观规律.也是解三角形的重要工具. 注意：（1）在余弦定理的每一个等式中含有四个量，利用方程的思想，可以知三求一.（2）余弦定理也为求三角形的有关量（如面积，外接圆，内切圆等）提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛.2.关于公式的变形：将余弦定理稍加变形，可以得到另外的形式，我们称为余弦定理的推论.掌握这些表达形式，可以帮助我们深入理解和灵活应用余弦定理.cosA= ，cosB= ，cosC= .由上述变形，结合余弦函数的性质，可知道：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角为锐角.从这一点说，余弦定理可以看作勾股定理的推广，而勾股定理则是余弦定理的特例.二、余弦定理的证明教材中给出了用向量的数量积证明余弦定理的方法，是平面向量知识在解三角形中的应用.另外，对余弦定理的证明，还可以应用解析法、几何法等方法证明.证明：方法1：（解析法）如图所示，以A为原点，△ABC的边AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.
则A（0,0）,C(bcosA,bsinA),B(c,0),由两点间的距离公式得BC2=（bcosA-c）2+(bsinA-0) 2,即a2=b2+c2-2bccosA.同理可证b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.方法2：（几何法）如图.当△ABC为锐角三角形时，过C作CD⊥AB于D，则CD=bsinA,
AD=bcosA,BD=AB-AD=c-bcosA. 在Rt△BCD中，BC2=CD2+BD2,即a2=b2sin2A+(c-bcosA) 2.所以a2=b2+c2-2bccosA.同理可证b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.如图，当△ABC为钝角三角形时，过C作CD垂直于AB的延长线，垂足为D，
则AD=bcosA,CD=bsinA.BD=AD-AB=bcosA-c.在Rt△BCD中 ,BC2=CD2+BD2,即a2=b2sin2A+（bcosA-c）2.所以a2=b2+c2-2bccosA.同理可证：b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.三、余弦定理的应用余弦定理主要适用以下两种题型:（1）已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一解；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理，必有一解.注意：在应用余弦定理求三角形的边长时，容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，求得结果常有两解，因此，解题时需要特别注意三角形三边长度应满足的基本条件.知能自主梳理1.余弦定理（1）语言叙述：三角形任何一边的平方等于 减去 的积的 .（2）公式表达:a2= ;b2= ;c2= .(3)变形:cosA= ;cosB= ;cosC= .2.余弦定理及其变形的应用应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形的问题，一类是已知两边及其 解三角形，另一类是已知 解三角形.［答案］ 1.(1)其他两边的平方和 这两边与它们夹角的余弦 两倍 (2) b2+c2-2bccosA a2+c2-2accosB a2+b2-2abcosC (3)& 2.夹角 三边思路方法技巧命题方向 已知三边解三角形［例1］ 在△ABC中，已知a=7,b=3,c=5，求最大角和sinC. ［分析］ 在三角形中，大边对大角，所以a边所对角最大. ［解析］ ∵a＞c＞b,∴A为最大角,由余弦定理得， cosA= = ＝ ，又∵0°＜A＜180°,∴A=120°，∴sinA=sin120°= .由正弦定理& ＝ 得，sinC= = = .∴最大角A为120°，sinC= .［说明］ （1）求sinC也可用下面方法求解：cosC= = = ，∴C为锐角.sinC= = ＝ .(2)在解三角形时，有时既可用余弦定理，也可用正弦定理.变式应用1在△ABC中，已知(b+c)：(c+a)：(a+b)=4：5：6，求△ABC的最大内角.［解析］ 设b+c=4k,c+a=5k,a+b=6k(k＞0). 则a+b+c=7.5k,解得a=3.5k,b=2.5k,c=1.5k.∴a是最大边，即角A是△ABC的最大角.由余弦定理，得cosA= =- ,∵0°＜A＜180°,∴A=120°，即最大角为120°.命题方向 已知两边及一角解三角形［例2］ △ABC中，已知b=3,c=3 ,∠B=30°,解三角形.［分析］ 由题目可知以下信息：①已知两边和其中一边的对角.②求另外的两角和另一边.解答本题可先由正弦定理求出角C,然后再求其他的边和角，也可由余弦定理列出关于边长a的方程，求出边a,再由正弦定理求角A，角C.［解析］ 解法一：由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得32=a2+(3 )2-2a×3 ×cos30°,∴a2-9a+18=0,得a=3或6.当a=3时，∠A=30°,∠C=120°.当a=6时，由正弦定理sinA= = =1.∴∠A=90°,∴∠C=60°.解法二：由b&c,∠B=30°,b&csin30°=3 × = 知本题有两解.由正弦定理sinC= = = ,∴∠C=60°或120°，当∠C=60°时，∠A=90°,由勾股定理a= = =6.当∠C=120°时，∠A=30°，△ABC为等腰三角形，∴a=3.［说明］ 知两边和一角解三角形时有两种方法：（1）利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长.(2)直接用正弦定理，先求角再求边.用方法（2）时要注意解的情况，用方法（1）就避免了取舍解的麻烦.变式应用2在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且cosA= ,若a=4,b+c=6,且b&c,求b、c的值.［解析］ 余弦定理得cosA= = ，∴ = ,又b+c=6,a=4,∴bc=8, b=2 c=4b=4c=2又b&c,∴b=2,c=4.命题方向 判断三角形的形状［例3］ △ABC中，已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cosAsinB=sinC，确定△ABC的形状. ［分析］ 由于已知条件等式中既含有边的关系，又含有角的关系，因此在判断三角形的形状时，可考虑将边统一成角或将角统一成边.［解析］ 解法一：利用角的关系来判断.∵A+B+C=180°,∴sinC=sin(A+B).又∵2cosAsinB=sinC,∴2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,∴sin(A-B)=0.∵A与B均为△ABC的内角，∴A=B.又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab,∴(a+b) 2-c2=3ab,a2+b2-c2+2ab=3ab,根据余弦定理，上式可化为2abcosC+2ab=3ab,解得cosC= ,∴C=60°.故△ABC为等边三角形.解法二：利用边的关系来确定.由正弦定理，得 = .由2cosA•sinB=sinC,得cosA= = .又∵cosA= ,∴ = ,即c2=b2+c2-a2,∴a=b.又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab,∴(a+b) 2-c2=3ab,∴4b2-c2=3b2,∴b=c,∴a=b=c.因此△ABC为等边三角形. ［说明］ 判断三角形的形状主要有两种思路：其一是利用正、余弦定理将已知条件转化为边的关系，通过代数变换（一般是因式分解）得到边的关系，最终判断出该三角形的形状；其二是利用正、余弦定理将已知条件转化为角的关系，通过三角恒等变换得到角的关系，最终判断该三角形的形状.在实际应用中应针对具体的题目，灵活选用解决问题的方法.变式应用3△ABC中，AB＝5,BC=6,AC=8,则△ABC的形状是 ( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.非钝角三角形［答案］ C［解析］ 利用余弦定理判断最大角的余弦值是大于0、等于0还是小于0，即可对其形状作出判断.因为cosB= =- &0,所以B为钝角，即△ABC是钝角三角形.探索延拓创新命题方向 利用余弦定理确定范围问题［例4］ 设2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围.［分析］ 一边大于两边差而小于两边和是任一个三角形三边都成立的条件.若是在锐角或钝角三角形中，三边的制约条件还要更强.若△ABC为锐角三角形，则有a2＜b2+c2,b2＜a2+c2,c2＜a2+b2;若△ABC为钝角三角形，最大边为a,则一定有a2＞b2+c2,这些都是可以从余弦定理中直接推导的.［解析］ 2a+1,a,2a-1是三角形的三边,
2a+1＞0∴ a＞0 2a-1＞0，
解得a＞ ,此时2a+1最大.∴要使2a+1,a,2a-1表示三角形的三边，还需a+(2a-1)＞2a+1,解得a＞2.设最长边2a+1所对的角为θ,则cosθ= = ＜0,解得 ＜a＜8,∴a的取值范围是2＜a＜8. ［说明］ 本题易忽视构成三角形的条件a＞2,而直接应用余弦定理求解，从而使a的范围扩大.变式应用4.已知锐角三角形三边长分别为2，3，x，求x的取值范围.［解析］ 由三角形三边的关系有3-2＜x＜3+2，即1＜x＜5.又∵三角形为锐角三角形，由余弦定理可知任一边的平方小于另两边平方和.
x2＜22+32即 32＜x2+22
x2＜13
x2＞5 5＜x2＜13即 x＞0
解得 ＜x＜ ，∴x的取值范围为（ ， ）.课堂巩固训练一、选择题1.在△ABC中，若a&b&c,且c2&a2+b2,则△ABC为（ ）A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.不存在［答案］ B［解析］ ∵a&b&c,且c2&a2+b2,∴∠C为锐角.又∵∠C为最大角.故选B.&2.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2=ac，且c=2a,则cosB=（ ）A.& B.& C.& D.& ［答案］ B［解析］ 由b2=ac，又c=2a，由余弦定理，得cosB= =& = .3.（;四川理，6）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则A的取值范围是 ( )A.(0,& ］ B.［ ,π)C.(0,& ］ D.［ ,π)［答案］ C［解析］ 本题主要考查正余弦定理，∵sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,∴由正弦定理得：a2≤b2+c2-bc，即b2+c2-a2≥bc，由余弦定理得：cosA= ≥ = ，∴0&A≤ ，故选C.二、填空题4.已知三角形的两边长分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x2+3x-2=0的根，则第三边的长是 .［答案］ ［解析］ 解2x2+3x-2=0，得x1= 或x2=-2（舍去）.∴夹角的余弦值为 ，根据余弦定理得第三边长为 = .5.在△ABC中，a=b+2,b=c+2,又最大角的正弦等于 ，则三边长为 .［答案］ 3，5，7［解析］ ∵a-b=2,b-c=2，∴a&b&c,∴最大角为A.sinA= ，若A为锐角，则A=60°，又C&B&A,∴A+B+C&180°，这显然不可能，∴A为钝角.∴cosA=- ,设c=x,则b=x+2,a=x+4.∴ =- ，∴x=3，故三边长为3，5，7.三、解答题6.在△ABC中，已知b2-bc-2c2=0,且a= ,cosA= ,求△ABC的面积.［解析］ ∵b2-bc-2c2=0,∴( )2- -2=0,解得 =2,即b=2c.由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA,即b2+c2- bc=6,与b=2c联立解得b=4,c=2.∵cosA= ,∴sinA= = ,∴S△ABC= bcsinA= .&
课后强化作业一、选择题1.在△ABC中，b=5,c=5 ,A=30°,则a等于（ ）A.5 B.4 C.3 D.10［答案］ A［解析］ 由余弦定理，得2bccosA=b2+c2-a2,∴2×5×5 ×cos30°＝52＋（5 ）2-a2,∴a2=25,∴a=5.2.在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc,则角A为（ ）A.& B.& C.& D.& 或 ［答案］ C［解析］ ∵a2=b2+c2+bc,∴cosA= == ,又∵0&A&π,∴A= .3.在△ABC中，若a= +1,b= -1,c= ,则△ABC的最大角的度数为（ ）A.60° B.90° C.120° D.150°［答案］ C［解析］ 显然 ＞ +1＞ -1,∴cosC= =- ＝－ ,∴C=120°.4.△ABC的三内角A、B、C所对边长分别为a，b，c,设向量p=(a+c,b), q=(b-a,c-a).若p∥q,则∠C的大小为 ( )A.& B.& C.& D.& π［答案］ B［解析］ ∵p=(a+c,b), q=(b-a,c-a)且p∥q，∴(a+c)(c-a)-b(b-a)=0，即a2+b2-c2=ab,∴cosC= = = .∴C= .5.在△ABC中，已知2a2=c2+( b+c) 2,则∠A的值为（ ）A.30° B.45° C.120° D.135°［答案］ D［解析］ 由已知得2a2=c2+2b2+c2+2 bc,∴a2=b2+c2+ bc,∴b2+c2-a2＝- bc,又b2+c2-a2=2bccosA,∴2bccosA=- bc,∴cosA=- ,∴A=135°.6.（;重庆理，6）若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a+b) 2-c2=4，且C=60°，则ab的值为 ( )A.& B. 8-4 C.1 D. ［答案］ A［解析］ 本题主要考查余弦定理的应用.在△ABC中，C=60°,∴a2+b2-c2=2abcosC=ab,∴(a+b) 2-c2=a2+b2-c2+2ab=3ab=4,∴ab= ,选A.7.在△ABC中，三边长AB=7,BC=5,AC=6,则 • 等于 ( )A.19 B.-14 C.-18 D.-19［答案］ D［解析］ 在△ABC中AB=7,BC=5,AC=6,则cosB= = .又 • =｜ ｜•｜ ｜cos(π-B)=-｜ ｜•｜ ｜cosB＝－7×5× =-19.8.在△ABC中，若△ABC的面积S=& (a2+b2-c2)，则∠C为（ ）A.&& B.&& C.& D.& ［答案］ A［解析］ 由S=& (a2+b2-c2),得 absinC= ×2abcosC,∴tanC=1,∴C= .二、填空题9.在△ABC中，b= ,c=2 ,A=45°,那么a的长为 .［答案］ ［解析］ 由余弦定理，得a2=b2+c2-2bcosA= +8-2× ×2 × = +8- = = ,所以a= .10.在△ABC中，AB=3,BC= ,AC=4,则边AC上的高为 .［答案］ & ［解析］ 如图，cosA= ＝ ，&∴sinA= .
∴.BD=AB•sinA=& .11.在△ABC中，已知BC=8,AC=5,三角形面积为12，则cos2C=&&&&&&&&&&&& .［答案］ ［解析］ 由题意得S△ABC= AC•BCsinC=12,即 ×5×8×sinC=12,则sinC= .∴cos2C=1-2sin2C=1-2×（ ）2= .12.在△ABC中，B=60°,b2=ac,则三角形的形状为 .［答案］ 等边三角形［解析］ 由余弦定理得b2=a2+c2-ac,∵b2=ac,∴a2+c2-2ac=0,∴(a-c) 2=0,∴a=c.又∵B=60°,∴A=C=60°.故△ABC为等边三角形.三、解答题13.在△ABC中，A+C=2B,a+c=8,ac=15,求b.［解析］ 解法一：在△ABC中，由A+C=2B，A+B+C=180°，知B=60°.由a+c=8,ac=15,则a、c是方程x2-8x+15=0的两根.解得a=5,c=3或a=3,c=5.由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=9+25-2×3×5× ＝19.∴b= .解法二：在△ABC中，∵A+C=2B,A+B+C=180°，∴B=60°.由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=(a+c) 2-2ac-2accosB=82-2×15-2×15× ＝19.∴b＝ .14.(;大纲文，18)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinA+csinC- asinC=bsinB.(1)求B；（2）若A=75°,b=2,求a,c.［分析］ 利用三角形正弦定理，将已知条件asinA+csinC- asinC=bsinB中的角转化为边，再利用余弦定理即可求得B角，然后再利用正弦定理求得a，c的值.［解析］ （1）∵asinA+csinC- asinC=bsinB∴a2+c2- ac=b2∴a2+c2-b2= ac∴cosB= = = ∴B=45°(2)由(1)得B=45°∴C=180°-A-B=180°-75°-45°=60°由正弦定理 = = ∴a= = = = c= .［点评］ 本题主要考查正、余弦定理的综合应用，考查考生利用所学知识解决问题的能力.解三角形的实质是将几何问题转化为代数问题即方程问题，具体操作过程的关键是正确分析边角的关系，能依据题设条件合理的设计解题程序，进行三角形中边角关系的互化，要抓住两个定理应用的信息；当遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理，若遇到的式子含角的正弦和边的一次式，则大多用正弦定理，若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用.15.在△ABC中，A=120°,b=3,c=5.(1)求sinBsinC;(2)求sinB+sinC.［分析］ 已知两边及其夹角，由余弦定理可求出第三边a,再由正弦定理求出sinB,sinC.［解析］ （1）∵b=3,c=5,A=120°,∴由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=9+25-2×3×5×（- ）=49.∴取正值a=7.由正弦定理，得sinB= = ,sinC= ∴sinB•sinC= .(2)由（1）可得sinB+sinC= .16.已知三角形的一个角为60°,面积为10 cm2，周长为20 cm，求此三角形各边长.［解析］ 设三角形的三条边长分别为a,b,c,B=60°,则依题意，得a+b+c=20cos60°= &acsin60°=10 , a+b+c=20,①∴ b2=a2+c2-ac，②ac=40.③由①式，得b2=［20-(a+c)］2=400+a2+c2+2ac-40(a+c).④将②代入④，得400+3ac-40(a+c)=0,再将③代入④，得a+c=13.
a+c=13 a=5 a=8 ,得 ,或ac=40 c=8 c=5.
∴b=7.∴该三角形的三边长为5 cm,7 cm,8 cm. 文 章来源莲山 课件 w w w.5Y
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【一元二次根与系数的关系】如果&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）的两个根是&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}，那么&{{x}_{1}}{{+x}_{2}}=-{\frac{b}{a}}，{{x}_{1}}o{{x}_{2}}={\frac{c}{a}}（隐含&a≠0）．特别地，当一元二次方程的二次项系数为&1&时，设&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&是方程&{{x}^{2}}+px+q=0&&的两个根，则&{{x}_{1}}{{+x}_{2}}=-p，{{x}_{1}}o{{x}_{2}}=q．【一元二次方程根与系数关系得逆用】如果实数&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&满足&{{x}_{1}}{{+x}_{2}}=-{\frac{b}{a}}，{{x}_{1}}o{{x}_{2}}={\frac{c}{a}}&，那么&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&是一元二次方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（）的两个根．以两个实数&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&为根的一元二次方程（二次项系数为&1）是&{{x}^{2}}-\left({{{x}_{1}}{{+x}_{2}}}\right){{x+x}_{1}}o{{x}_{2}}=0&．【一元二次方程根与系数的应用】（1）不解方程，利用根与系数的关系求关于&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&的对称式的值，如&{{{{x}_{1}}}^{2}}+{{{{x}_{2}}}^{2}}=\left({{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}{{-2x}_{1}}o{{x}_{2}}&，&\left({{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}=\left({{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}-4{{x}_{1}}o{{x}_{2}}，&{{|x}_{1}}{{-x}_{2}}|=\sqrt[]{\left({{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}-4{{x}_{1}}o{{x}_{2}}}，&{\frac{1}{{{x}_{1}}}}+{\frac{1}{{{x}_{2}}}}={\frac{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}}，&{\frac{1}{{{{{x}_{1}}}^{2}}}}+{\frac{1}{{{{{x}_{2}}}^{2}}}}={\frac{\left({{{x}_{1}}{{+x}_{2}}}\right){{}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{\left({{{x}_{1}}{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}}}．（2）根的符号的讨论．利用根与系数的关系可以讨论根的符号，设一元二次方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）的两个根&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&．i）Δ≥0，且&{{x}_{1}}{{x}_{2}}>0&时，两根同号．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}>0,}\\{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}>0.}\end{array}}\right&&&两根同正．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}>0,}\\{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}<0.}\end{array}}\right&&&两根同负．ii）Δ≥0，且&{{x}_{1}}{{x}_{2}}<0&时，两根异号．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}0.}\end{array}}\right&&&两根异号且正根的较大．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}<0,}\\{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}<0.}\end{array}}\right&&&&两根异号且负根的绝对值较大．（3）其他结论．①&设一元二次方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）的两个根&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&（其中&{{x}_{1}}≥{{x}_{2}}&），若&m&为实数，当&Δ≥0&时，一般会有以下结论存在：i）\left({{{x}_{1}}-m}\right)\left({{{x}_{2}}-m}\right)<0
{{x}_{1}}>m，{{x}_{2}}<m&．ii）\left({{{x}_{1}}-m}\right)\left({{{x}_{2}}-m}\right)>0&且&\left({{{x}_{1}}-m}\right)+\left({{{x}_{2}}-m}\right)>0&& {{x}_{1}}>m，{{x}_{2}}>m&．iii）&\left({{{x}_{1}}-m}\right)\left({{{x}_{2}}-m}\right)>0&且&\left({{{x}_{1}}-m}\right)+\left({{{x}_{2}}-m}\right)<0&& {{x}_{1}}<m，{{x}_{2}}<m&．②&若有理系数一元二次方程有一个根是&a+\sqrt[]{b}，则必有另一个根为&a-\sqrt[]{b}&．③&若&ac<0，则方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）必有两个实数根．④&逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理．以上利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的&Δ，一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．
1.列解应用题：&列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：&&&&(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．&&&&(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．&&&&(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．&&&&(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。&&&&(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．&&&&(6)写出答案．2.建立二次函数模型求解实际问题：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
1.公式：S=0.5ah(a是的底，h是底所对应的高)2.注释：三边均可为底，应理解为：三边与之对应的高的积的一半是三角形的面积。这是面积法求长度的基础。3.还有其他的公式如海伦公式等。
直角性质定理：1.直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即a?+b?=c?。2.在直角三角形中，两个锐角互余。3.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。4.直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。5.在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。其逆定理也成立，即在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。7.直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D&则BD:DC=AB:AC
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90&，AC、BC...”，相似的试题还有：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC、BC的长为方程x2-14x+a=0的两根，且AC-BC=2，D为AB的中点．(1)求a的值．(2)动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒…若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围；②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90&，AC、BC的长恰好为方程x2-14x+a=0的两根，且AC-BC=2，D为AB的中点．(1)求a的值．(2)动点P从点A出发，沿A→D→C的路线向点C运动；点Q从点B出发，沿B→C的路线向点C运动．若点P、Q同时出发，速度都为每秒2个单位，当点P经过点D时，点P速度变为每秒3单位，同时点Q速度变为每秒1个单位．当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90&，AC、BC的长为方程x2-14x+a=0的两根，且AC-BC=2，D为AB的中点．(1)求a的值．(2)动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒…若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围；②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． 上传我的文档
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滁州一中高二理科寒假数学试卷作业及答案
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滁州一中高二理科寒假数学试卷作业及答案
官方公共微信考点：平面向量数量积的含义与物理意义
专题：平面向量及应用
分析：画出图形，把AB•AE+AC•AF的运算化为已知的AB、BC与BE、BF的数量积的运算，从而求得取值范围．
解：∵△ABC是边长为2的正三角形，B为线段EF的中点，且EF=3，如图；设∠ABF=θ，则θ∈[0，π]；∴AB•AE+AC•AF=AB•（AB+BE）+（AB+BC）•（AB+BF）=AB2+AB•BE+AB2+AB•BF+BC•AB+BC•BF=2AB2+（AB•BE+AB•BF）+BC•AB+BC•BF=2×22+0+2×2×cos2π3+2×32×cosθ=6+3cosθ；∵-1≤cosθ≤1，∴3≤6+cosθ≤9，∴AB•AE+AC•AF的取值范围是[3，9]；故选：D．
点评：本题考查了平面向量的加减运算以及数量积的综合运算，是易错题．
请选择年级高一高二高三请输入相应的习题集名称(选填)：
科目：高中数学
直线y=2x+b与曲线y=-x+3lnx相切，则b的值为．
科目：高中数学
某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）
A、203πB、6πC、103πD、163π
科目：高中数学
如图，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积，（其中∠BAC=30°）
科目：高中数学
已知双曲线x2m-y2=1的一条渐近线和圆x2+y2-4x+3=0相切，则该双曲线的离心率为．
科目：高中数学
曲线C1的参数方程为x=cosθy=sinθ（θ为参数），将曲线C1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2．（Ⅰ）求曲线C2的普通方程；（Ⅱ）已知点B（1，1），曲线C2与x轴负半轴交于点A，P为曲线C2上任意一点，求|PA|2-|PB|2的最大值．
科目：高中数学
已知全集为R，函数f（x）=lg（1-x）的定义域为集合A，集合B={x|x（x-1）＞6}，（Ⅰ）求A∪B，A∩（∁RB）；（Ⅱ）若C={x|-1+m＜x＜2m}，且C≠∅，C⊆（A∩（∁RB）），求实数m的取值范围．
科目：高中数学
如图，设D是边长为l的正方形区域，E是D内函数y=x与y=x2所构成（阴影部分）的区域，在D中任取一点，则该点在E中的概率是（ ）
A、13B、23C、16D、14
科目：高中数学
三棱锥P-ABC的主视图和俯视图为如图所示的两个全等的等腰三角形，其中底边长为4，腰长为3，则该三棱锥左视图的面积为（ ）
A、52B、25C、5D、5
吴老师30日19点直播线段的垂直平分线的性质
余老师30日20点直播unit5第二课时 Section A根据根与系数的关系求出,求出和,即可求出答案;根据勾股定理求出,,过作于,关键三角形的面积公式求出,当时,,求出即可;同理可求:当时,,求出即可;当时,;当时,;在整个运动过程中,只可能,当在上时,若,,代入即可求出;当在上时,若,,,得到或,求出,根据的范围,判断即可.
,的长为方程的两根,,又,,,,答:的值是.解:,.又为的中点,,,过作于,根据三角形的面积公式得:,,解得:,当时,,,,同理可求:当时,,,;当时,;当时,,,;答:与之间的函数关系式是或或.解:在整个运动过程中,只可能,当在上时,若,,,,当在上时,若,,,或,,,,,,不符合题意舍去,当秒时,为直角三角形.答:存在这样的,使得为直角三角形,符合条件的的值是秒.
本题主要考查对锐角三角函数的定义,根据实际问题列二次函数的解析式,勾股定理,三角形的面积,直角三角形的性质,解一元一次方程,根与系数的关系等知识点的理解和掌握,把实际问题转化成数学问题是解此题的关键,此题是一个拔高的题目,有一定的难度.
3828@@3@@@@根据实际问题列二次函数关系式@@@@@@255@@Math@@Junior@@$255@@2@@@@二次函数@@@@@@51@@Math@@Junior@@$51@@1@@@@函数@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3718@@3@@@@解一元一次方程@@@@@@246@@Math@@Junior@@$246@@2@@@@一元一次方程@@@@@@50@@Math@@Junior@@$50@@1@@@@方程与不等式@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3746@@3@@@@根与系数的关系@@@@@@248@@Math@@Junior@@$248@@2@@@@一元二次方程@@@@@@50@@Math@@Junior@@$50@@1@@@@方程与不等式@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3869@@3@@@@三角形的面积@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3889@@3@@@@直角三角形的性质@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3892@@3@@@@勾股定理@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$4003@@3@@@@锐角三角函数的定义@@@@@@267@@Math@@Junior@@$267@@2@@@@锐角三角函数@@@@@@53@@Math@@Junior@@$53@@1@@@@图形的变化@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
@@51@@7##@@50@@7##@@50@@7##@@52@@7##@@52@@7##@@52@@7##@@53@@7
第三大题，第10小题
第三大题，第12小题
第三大题，第10小题
求解答 学习搜索引擎 | 如图,在直角三角形ABC中,角ACB={{90}^{\circ }},AC,BC的长为方程{{x}^{2}}-14x+a=0的两根,且AC-BC=2,D为AB的中点.(1)求a的值.(2)动点P从点A出发,以每秒2个单位的速度,沿A→D→C的路线向点C运动;动点Q从点B出发,以每秒3个单位的速度,沿B→C的路线向点C运动,且点Q每运动1秒,就停止2秒,然后再运动1秒...若点P,Q同时出发,当其中有一点到达终点时整个运动随之结束.设运动时间为t秒.\textcircled{1}在整个运动过程中,设\Delta PCQ的面积为S,试求S与t之间的函数关系式;并指出自变量t的取值范围;\textcircled{2}是否存在这样的t,使得\Delta PCQ为直角三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.余弦定理导学案
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余弦定理导学案
作者：佚名 教案来源：网络 点击数： &&&
余弦定理导学案
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文 章来源莲山 课件 w w w.5Y
余弦定理导学案高二年级数学组&& 知能目标解读1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理，理解用数量积推导余弦定理的过程，并体会向量在解决三角形的度量问题时的作用.2.了解余弦定理的几种变形公式及形式.3.会从方程的角度来理解余弦定理的作用及适用范围，并会用余弦定理解决“已知三边求三角形的三角”及“已知两边及其夹角求三角形中其他的边和角”等问题.4.能熟练应用余弦定理解三角形以及现实生活中的实际问题.重点难点点拨 重点：余弦定理的证明及其应用.难点：处理三角形问题恰当地选择正弦定理或余弦定理.学习方法指导一、余弦定理1.余弦定理：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，那么有如下结论：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.即三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.这一结论叫做余弦定理，它揭示了任意三角形边角之间的客观规律.也是解三角形的重要工具. 注意：（1）在余弦定理的每一个等式中含有四个量，利用方程的思想，可以知三求一.（2）余弦定理也为求三角形的有关量（如面积，外接圆，内切圆等）提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛.2.关于公式的变形：将余弦定理稍加变形，可以得到另外的形式，我们称为余弦定理的推论.掌握这些表达形式，可以帮助我们深入理解和灵活应用余弦定理.cosA= ，cosB= ，cosC= .由上述变形，结合余弦函数的性质，可知道：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角为锐角.从这一点说，余弦定理可以看作勾股定理的推广，而勾股定理则是余弦定理的特例.二、余弦定理的证明教材中给出了用向量的数量积证明余弦定理的方法，是平面向量知识在解三角形中的应用.另外，对余弦定理的证明，还可以应用解析法、几何法等方法证明.证明：方法1：（解析法）如图所示，以A为原点，△ABC的边AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.
则A（0,0）,C(bcosA,bsinA),B(c,0),由两点间的距离公式得BC2=（bcosA-c）2+(bsinA-0) 2,即a2=b2+c2-2bccosA.同理可证b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.方法2：（几何法）如图.当△ABC为锐角三角形时，过C作CD⊥AB于D，则CD=bsinA,
AD=bcosA,BD=AB-AD=c-bcosA. 在Rt△BCD中，BC2=CD2+BD2,即a2=b2sin2A+(c-bcosA) 2.所以a2=b2+c2-2bccosA.同理可证b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.如图，当△ABC为钝角三角形时，过C作CD垂直于AB的延长线，垂足为D，
则AD=bcosA,CD=bsinA.BD=AD-AB=bcosA-c.在Rt△BCD中 ,BC2=CD2+BD2,即a2=b2sin2A+（bcosA-c）2.所以a2=b2+c2-2bccosA.同理可证：b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.三、余弦定理的应用余弦定理主要适用以下两种题型:（1）已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一解；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理，必有一解.注意：在应用余弦定理求三角形的边长时，容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，求得结果常有两解，因此，解题时需要特别注意三角形三边长度应满足的基本条件.知能自主梳理1.余弦定理（1）语言叙述：三角形任何一边的平方等于 减去 的积的 .（2）公式表达:a2= ;b2= ;c2= .(3)变形:cosA= ;cosB= ;cosC= .2.余弦定理及其变形的应用应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形的问题，一类是已知两边及其 解三角形，另一类是已知 解三角形.［答案］ 1.(1)其他两边的平方和 这两边与它们夹角的余弦 两倍 (2) b2+c2-2bccosA a2+c2-2accosB a2+b2-2abcosC (3)& 2.夹角 三边思路方法技巧命题方向 已知三边解三角形［例1］ 在△ABC中，已知a=7,b=3,c=5，求最大角和sinC. ［分析］ 在三角形中，大边对大角，所以a边所对角最大. ［解析］ ∵a＞c＞b,∴A为最大角,由余弦定理得， cosA= = ＝ ，又∵0°＜A＜180°,∴A=120°，∴sinA=sin120°= .由正弦定理& ＝ 得，sinC= = = .∴最大角A为120°，sinC= .［说明］ （1）求sinC也可用下面方法求解：cosC= = = ，∴C为锐角.sinC= = ＝ .(2)在解三角形时，有时既可用余弦定理，也可用正弦定理.变式应用1在△ABC中，已知(b+c)：(c+a)：(a+b)=4：5：6，求△ABC的最大内角.［解析］ 设b+c=4k,c+a=5k,a+b=6k(k＞0). 则a+b+c=7.5k,解得a=3.5k,b=2.5k,c=1.5k.∴a是最大边，即角A是△ABC的最大角.由余弦定理，得cosA= =- ,∵0°＜A＜180°,∴A=120°，即最大角为120°.命题方向 已知两边及一角解三角形［例2］ △ABC中，已知b=3,c=3 ,∠B=30°,解三角形.［分析］ 由题目可知以下信息：①已知两边和其中一边的对角.②求另外的两角和另一边.解答本题可先由正弦定理求出角C,然后再求其他的边和角，也可由余弦定理列出关于边长a的方程，求出边a,再由正弦定理求角A，角C.［解析］ 解法一：由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得32=a2+(3 )2-2a×3 ×cos30°,∴a2-9a+18=0,得a=3或6.当a=3时，∠A=30°,∠C=120°.当a=6时，由正弦定理sinA= = =1.∴∠A=90°,∴∠C=60°.解法二：由b&c,∠B=30°,b&csin30°=3 × = 知本题有两解.由正弦定理sinC= = = ,∴∠C=60°或120°，当∠C=60°时，∠A=90°,由勾股定理a= = =6.当∠C=120°时，∠A=30°，△ABC为等腰三角形，∴a=3.［说明］ 知两边和一角解三角形时有两种方法：（1）利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长.(2)直接用正弦定理，先求角再求边.用方法（2）时要注意解的情况，用方法（1）就避免了取舍解的麻烦.变式应用2在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且cosA= ,若a=4,b+c=6,且b&c,求b、c的值.［解析］ 余弦定理得cosA= = ，∴ = ,又b+c=6,a=4,∴bc=8, b=2 c=4b=4c=2又b&c,∴b=2,c=4.命题方向 判断三角形的形状［例3］ △ABC中，已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cosAsinB=sinC，确定△ABC的形状. ［分析］ 由于已知条件等式中既含有边的关系，又含有角的关系，因此在判断三角形的形状时，可考虑将边统一成角或将角统一成边.［解析］ 解法一：利用角的关系来判断.∵A+B+C=180°,∴sinC=sin(A+B).又∵2cosAsinB=sinC,∴2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,∴sin(A-B)=0.∵A与B均为△ABC的内角，∴A=B.又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab,∴(a+b) 2-c2=3ab,a2+b2-c2+2ab=3ab,根据余弦定理，上式可化为2abcosC+2ab=3ab,解得cosC= ,∴C=60°.故△ABC为等边三角形.解法二：利用边的关系来确定.由正弦定理，得 = .由2cosA•sinB=sinC,得cosA= = .又∵cosA= ,∴ = ,即c2=b2+c2-a2,∴a=b.又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab,∴(a+b) 2-c2=3ab,∴4b2-c2=3b2,∴b=c,∴a=b=c.因此△ABC为等边三角形. ［说明］ 判断三角形的形状主要有两种思路：其一是利用正、余弦定理将已知条件转化为边的关系，通过代数变换（一般是因式分解）得到边的关系，最终判断出该三角形的形状；其二是利用正、余弦定理将已知条件转化为角的关系，通过三角恒等变换得到角的关系，最终判断该三角形的形状.在实际应用中应针对具体的题目，灵活选用解决问题的方法.变式应用3△ABC中，AB＝5,BC=6,AC=8,则△ABC的形状是 ( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.非钝角三角形［答案］ C［解析］ 利用余弦定理判断最大角的余弦值是大于0、等于0还是小于0，即可对其形状作出判断.因为cosB= =- &0,所以B为钝角，即△ABC是钝角三角形.探索延拓创新命题方向 利用余弦定理确定范围问题［例4］ 设2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围.［分析］ 一边大于两边差而小于两边和是任一个三角形三边都成立的条件.若是在锐角或钝角三角形中，三边的制约条件还要更强.若△ABC为锐角三角形，则有a2＜b2+c2,b2＜a2+c2,c2＜a2+b2;若△ABC为钝角三角形，最大边为a,则一定有a2＞b2+c2,这些都是可以从余弦定理中直接推导的.［解析］ 2a+1,a,2a-1是三角形的三边,
2a+1＞0∴ a＞0 2a-1＞0，
解得a＞ ,此时2a+1最大.∴要使2a+1,a,2a-1表示三角形的三边，还需a+(2a-1)＞2a+1,解得a＞2.设最长边2a+1所对的角为θ,则cosθ= = ＜0,解得 ＜a＜8,∴a的取值范围是2＜a＜8. ［说明］ 本题易忽视构成三角形的条件a＞2,而直接应用余弦定理求解，从而使a的范围扩大.变式应用4.已知锐角三角形三边长分别为2，3，x，求x的取值范围.［解析］ 由三角形三边的关系有3-2＜x＜3+2，即1＜x＜5.又∵三角形为锐角三角形，由余弦定理可知任一边的平方小于另两边平方和.
x2＜22+32即 32＜x2+22
x2＜13
x2＞5 5＜x2＜13即 x＞0
解得 ＜x＜ ，∴x的取值范围为（ ， ）.课堂巩固训练一、选择题1.在△ABC中，若a&b&c,且c2&a2+b2,则△ABC为（ ）A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.不存在［答案］ B［解析］ ∵a&b&c,且c2&a2+b2,∴∠C为锐角.又∵∠C为最大角.故选B.&2.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2=ac，且c=2a,则cosB=（ ）A.& B.& C.& D.& ［答案］ B［解析］ 由b2=ac，又c=2a，由余弦定理，得cosB= =& = .3.（;四川理，6）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则A的取值范围是 ( )A.(0,& ］ B.［ ,π)C.(0,& ］ D.［ ,π)［答案］ C［解析］ 本题主要考查正余弦定理，∵sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,∴由正弦定理得：a2≤b2+c2-bc，即b2+c2-a2≥bc，由余弦定理得：cosA= ≥ = ，∴0&A≤ ，故选C.二、填空题4.已知三角形的两边长分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x2+3x-2=0的根，则第三边的长是 .［答案］ ［解析］ 解2x2+3x-2=0，得x1= 或x2=-2（舍去）.∴夹角的余弦值为 ，根据余弦定理得第三边长为 = .5.在△ABC中，a=b+2,b=c+2,又最大角的正弦等于 ，则三边长为 .［答案］ 3，5，7［解析］ ∵a-b=2,b-c=2，∴a&b&c,∴最大角为A.sinA= ，若A为锐角，则A=60°，又C&B&A,∴A+B+C&180°，这显然不可能，∴A为钝角.∴cosA=- ,设c=x,则b=x+2,a=x+4.∴ =- ，∴x=3，故三边长为3，5，7.三、解答题6.在△ABC中，已知b2-bc-2c2=0,且a= ,cosA= ,求△ABC的面积.［解析］ ∵b2-bc-2c2=0,∴( )2- -2=0,解得 =2,即b=2c.由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA,即b2+c2- bc=6,与b=2c联立解得b=4,c=2.∵cosA= ,∴sinA= = ,∴S△ABC= bcsinA= .&
课后强化作业一、选择题1.在△ABC中，b=5,c=5 ,A=30°,则a等于（ ）A.5 B.4 C.3 D.10［答案］ A［解析］ 由余弦定理，得2bccosA=b2+c2-a2,∴2×5×5 ×cos30°＝52＋（5 ）2-a2,∴a2=25,∴a=5.2.在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc,则角A为（ ）A.& B.& C.& D.& 或 ［答案］ C［解析］ ∵a2=b2+c2+bc,∴cosA= == ,又∵0&A&π,∴A= .3.在△ABC中，若a= +1,b= -1,c= ,则△ABC的最大角的度数为（ ）A.60° B.90° C.120° D.150°［答案］ C［解析］ 显然 ＞ +1＞ -1,∴cosC= =- ＝－ ,∴C=120°.4.△ABC的三内角A、B、C所对边长分别为a，b，c,设向量p=(a+c,b), q=(b-a,c-a).若p∥q,则∠C的大小为 ( )A.& B.& C.& D.& π［答案］ B［解析］ ∵p=(a+c,b), q=(b-a,c-a)且p∥q，∴(a+c)(c-a)-b(b-a)=0，即a2+b2-c2=ab,∴cosC= = = .∴C= .5.在△ABC中，已知2a2=c2+( b+c) 2,则∠A的值为（ ）A.30° B.45° C.120° D.135°［答案］ D［解析］ 由已知得2a2=c2+2b2+c2+2 bc,∴a2=b2+c2+ bc,∴b2+c2-a2＝- bc,又b2+c2-a2=2bccosA,∴2bccosA=- bc,∴cosA=- ,∴A=135°.6.（;重庆理，6）若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a+b) 2-c2=4，且C=60°，则ab的值为 ( )A.& B. 8-4 C.1 D. ［答案］ A［解析］ 本题主要考查余弦定理的应用.在△ABC中，C=60°,∴a2+b2-c2=2abcosC=ab,∴(a+b) 2-c2=a2+b2-c2+2ab=3ab=4,∴ab= ,选A.7.在△ABC中，三边长AB=7,BC=5,AC=6,则 • 等于 ( )A.19 B.-14 C.-18 D.-19［答案］ D［解析］ 在△ABC中AB=7,BC=5,AC=6,则cosB= = .又 • =｜ ｜•｜ ｜cos(π-B)=-｜ ｜•｜ ｜cosB＝－7×5× =-19.8.在△ABC中，若△ABC的面积S=& (a2+b2-c2)，则∠C为（ ）A.&& B.&& C.& D.& ［答案］ A［解析］ 由S=& (a2+b2-c2),得 absinC= ×2abcosC,∴tanC=1,∴C= .二、填空题9.在△ABC中，b= ,c=2 ,A=45°,那么a的长为 .［答案］ ［解析］ 由余弦定理，得a2=b2+c2-2bcosA= +8-2× ×2 × = +8- = = ,所以a= .10.在△ABC中，AB=3,BC= ,AC=4,则边AC上的高为 .［答案］ & ［解析］ 如图，cosA= ＝ ，&∴sinA= .
∴.BD=AB•sinA=& .11.在△ABC中，已知BC=8,AC=5,三角形面积为12，则cos2C=&&&&&&&&&&&& .［答案］ ［解析］ 由题意得S△ABC= AC•BCsinC=12,即 ×5×8×sinC=12,则sinC= .∴cos2C=1-2sin2C=1-2×（ ）2= .12.在△ABC中，B=60°,b2=ac,则三角形的形状为 .［答案］ 等边三角形［解析］ 由余弦定理得b2=a2+c2-ac,∵b2=ac,∴a2+c2-2ac=0,∴(a-c) 2=0,∴a=c.又∵B=60°,∴A=C=60°.故△ABC为等边三角形.三、解答题13.在△ABC中，A+C=2B,a+c=8,ac=15,求b.［解析］ 解法一：在△ABC中，由A+C=2B，A+B+C=180°，知B=60°.由a+c=8,ac=15,则a、c是方程x2-8x+15=0的两根.解得a=5,c=3或a=3,c=5.由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=9+25-2×3×5× ＝19.∴b= .解法二：在△ABC中，∵A+C=2B,A+B+C=180°，∴B=60°.由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=(a+c) 2-2ac-2accosB=82-2×15-2×15× ＝19.∴b＝ .14.(;大纲文，18)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinA+csinC- asinC=bsinB.(1)求B；（2）若A=75°,b=2,求a,c.［分析］ 利用三角形正弦定理，将已知条件asinA+csinC- asinC=bsinB中的角转化为边，再利用余弦定理即可求得B角，然后再利用正弦定理求得a，c的值.［解析］ （1）∵asinA+csinC- asinC=bsinB∴a2+c2- ac=b2∴a2+c2-b2= ac∴cosB= = = ∴B=45°(2)由(1)得B=45°∴C=180°-A-B=180°-75°-45°=60°由正弦定理 = = ∴a= = = = c= .［点评］ 本题主要考查正、余弦定理的综合应用，考查考生利用所学知识解决问题的能力.解三角形的实质是将几何问题转化为代数问题即方程问题，具体操作过程的关键是正确分析边角的关系，能依据题设条件合理的设计解题程序，进行三角形中边角关系的互化，要抓住两个定理应用的信息；当遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理，若遇到的式子含角的正弦和边的一次式，则大多用正弦定理，若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用.15.在△ABC中，A=120°,b=3,c=5.(1)求sinBsinC;(2)求sinB+sinC.［分析］ 已知两边及其夹角，由余弦定理可求出第三边a,再由正弦定理求出sinB,sinC.［解析］ （1）∵b=3,c=5,A=120°,∴由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=9+25-2×3×5×（- ）=49.∴取正值a=7.由正弦定理，得sinB= = ,sinC= ∴sinB•sinC= .(2)由（1）可得sinB+sinC= .16.已知三角形的一个角为60°,面积为10 cm2，周长为20 cm，求此三角形各边长.［解析］ 设三角形的三条边长分别为a,b,c,B=60°,则依题意，得a+b+c=20cos60°= &acsin60°=10 , a+b+c=20,①∴ b2=a2+c2-ac，②ac=40.③由①式，得b2=［20-(a+c)］2=400+a2+c2+2ac-40(a+c).④将②代入④，得400+3ac-40(a+c)=0,再将③代入④，得a+c=13.
a+c=13 a=5 a=8 ,得 ,或ac=40 c=8 c=5.
∴b=7.∴该三角形的三边长为5 cm,7 cm,8 cm. 文 章来源莲山 课件 w w w.5Y
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