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一，常用整除特征能被2整除：个位数为偶数；能被3整除：各位上的数的和能被3整除；能被4整除：末两位数能被4整除；能被5整除：个位数为0或5；能被6整除：同时满足能被2和3整除；能被7整除：末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（大数减小数） 能被7整除；能被8整除：末三位数字所表示的数能8整除；能被9整除：各位上的数的和能被9整除；能被11整除：末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（大数减小数） 能被11整除；奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差能被11整除；能被13整除：末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（大数减小数） 能被13整除；能被25整除：末两位数能被25整除；能被125整除：末三位数能被125整除； 二，整除性质1。如果数a，b都能被c整除，则(a+b)与(a-b)也能被c整除；2。如果数a能被数b整除，c为整数，则积ac也能被数b整除；3。如果数a能被数b整除，b又能被c整除，则a也能被数c整除；4。如果数a能同时被数b，c整除，且b，c互质，则a一定能被b和c的积整除；5。如果数a能被c整除，b不能被c整除，则(a+b)与(a-b)不能被c整除。三，带余除法性质1。如果被除数和除数都能被同一个自然数整除，那么余数也能被这个自然数整除；2。如果被除数和余数都能被同一个自然数整除，那么除数也能被这个自然数整除；3。如果两个数被同一个数除，余数相同，那么这两个数之差就能被这个数整除；4。如果两个数被同一个数c除，余数分别为a和b，则这两个数的和被c除，余数为(a+b)；5。如果两个数被同一个数c除，余数分别为a和b，则这两个数的积被c除，余数为a*b的余数。
一，常用整除特征能被2整除：个位数为偶数；能被3整除：各位上的数的和能被3整除；能被4整除：末两位数能被4整除；能被5整除：个位数为0或5；能被6整除：同时满足能被2和3整除；能被7整除：末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（大数减小数） 能被7整除；能被8整除：末三位数字所表示的数能8整除；能被9整除：各位上的数的和能被9整除；能被11整除：末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（大数减小数） 能被11整除；奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差能被11整除；能被13整除：末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（大数减小数） 能被13整除；能被25整除：末两位数能被25整除；能被125整除：末三位数能被125整除； 二，整除性质1。如果数a，b都能被c整除，则(a+b)与(a-b)也能被c整除；2。如果数a能被数b整除，c为整数，则积ac也能被数b整除；3。如果数a能被数b整除，b又能被c整除，则a也能被数c整除；4。如果数a能同时被数b，c整除，且b，c互质，则a一定能被b和c的积整除；5。如果数a能被c整除，b不能被c整除，则(a+b)与(a-b)不能被c整除。三，带余除法性质1。如果被除数和除数都能被同一个自然数整除，那么余数也能被这个自然数整除；2。如果被除数和余数都能被同一个自然数整除，那么除数也能被这个自然数整除；3。如果两个数被同一个数除，余数相同，那么这两个数之差就能被这个数整除；4。如果两个数被同一个数c除，余数分别为a和b，则这两个数的和被c除，余数为(a+b)；5。如果两个数被同一个数c除，余数分别为a和b，则这两个数的积被c除，余数为a*b的余数。
鸡兔同笼 中国古代问题中的鸡兔同笼问题（也叫龟鹤问题）很有趣儿。鸡鹤各有两足，龟兔各有四足。这种题目通常是已知总头数及总足数，求鸡兔各几只或龟鹤各几只。例如有这样一道题：&&鸡兔同笼，共有72头200足，问：鸡兔各有多少只？ 这类题目有很多种求解方法。 共有72头，说明鸡兔的总数是72只。首先我们可以想到：72只不可能都是鸡，否则，总共只会有144足，不能有200足。 把一只鸡换成一只兔，总头数不变，而足数可以增加2.144足比200足少56足，如果把28只鸡变为兔，恰好可增加56足，因而，笼中应有28只兔，有72-44=28只兔。 从上面的算法中可以归纳出两个公式： 兔数（或龟数）=（总足数-总头数的2倍） 2 鸡数（或鹤数）=（总头数的4倍-总足数） 2 不论先求出了鸡的只数还是先求出了兔的只数，用总头数去减，就可以求出另一种的只数。这是我国的算术书中传统的算法，是相当聪明的计算方法。 在匈牙利出生的美国斯坦福大学教授波利亚（Polya G.,~ ）曾介绍过一个14岁小朋友的算术解法，也是很有趣的。 这位小朋友想像了这样一种情景：鸡和兔子们在作一场非凡的表演，每只鸡都在表演金鸡独立，每只兔子也都在只用两只后腿站立着。在这种情况下，我们数鸡与兔落在地上的足数，只能数到一半，即100足。鸡与兔的总头数一定比100要少，因为如果认为鸡与兔的头数也是100的话，就相当于对每只鸡数了一次，而对每只兔子数了两次，于是，用100减去鸡兔的总头数72，所得到的差就应该是兔子的头数： 100-72=28， 有28只兔子！于是鸡的只数为72-28=44。 代数的方法相对来说不需要那么多的智巧： 设笼中共有x只鸡、y只兔，则依题意可得到方程组：&&用加减消元法或代入法解之可得x=44,y=28,所以乱中有44只鸡，有28只兔子。& & & & & & & &
5、小华是位数学爱好者。周一上完数学课后，他向同学们宣称“动物有时比人还聪明”。 他说：“我们家有一只纯种牧羊犬，我叫它‘圣骑士’。昨天我带着圣骑士去散步，在铁路桥边遇到了数学奥校的同学阿健，于是我和他聊了起来……一会儿，我听到了火车的声音，在桥的那一头火车开过来了，火车头离桥头只有两个桥长那么远了，估计火车的速度应该有每小时60公里；突然我发现圣骑士在铁路桥上离桥中心5米远的地方象是在思考什么，阿健和我赶紧喊着‘圣骑士，快过来’。圣骑士象是明白什么似的，立即启动，但它没有向我们这边跑过来，而是迎着火车狂奔过去，圣骑士跑到桥头立即拐弯，那时火车离它仅有1米，真是虚惊一场。令我吃惊的是，我和阿健目测了桥长后，用在奥校所学的知识得到一个惊人的结论，如果当时圣骑士按我们所说或者人的本能反应，以它同样的速度向我们这边跑过来，它在离我们这边桥头还差0.25米的时候就会被火车追上！它当时做的是最明智的选择！难道圣骑士也学了数奥，或者它靠天生的智慧逃过了这一劫。动物真的有时比人还聪明”。小华的故事讲完了，你知道那座铁路桥的长度吗？你能求出圣骑士狂奔的速度吗？以下由[过路人]解答：设桥长s，圣骑士狂奔的速度v，则：(s/2-5)/v=(2s-1)/60(s/2+5-0.25)/v=(3s-0.25)/60s=48千米,v=12公里/每小时三个侦察兵& && &有一次，三位侦祭兵在徒步行进中必须过河到对岸，但没有桥，对他们来说这是一件难办的事。是的，河上有两个孩子在划一只小船他们想帮助侦察兵。可是船太小了，只能承载一名侦察兵，如再加上一个孩子就会把小船弄沉。而三位侦察兵都不会游泳。　　看来，在这样条件下，就只能有一名战士乘小船渡到对岸去。可事实却是，三名战土都很快地顺利到达了对岸，并把小朋交还给了孩子们。　　他们是怎样做的呢？他们会相遇吗？& &&&&你从哪儿打电话来？&伯特问道。此刻他正在默顿街和斯普路斯街交角处的办公室里，一边听着电话，一边透过窗户注视着窗外拥挤的交通。&&　　&在戴尔街和金街交叉处的一个公用话亭，&传来的是本恩的微弱的回答，&从你那儿往南走四个街段，往东走几个街段！& 　　伯特看了一下钟，喊道：&你现在就开始走，我们在半路上碰面！&他砰地一声放下电话。而只是在这个时候他才意识到自己刚才太快挂了电话，没讲清楚互相怎么走法。 　　实际上，在两个交叉点之间恰好有70种不同走法的线路，而且线路之间的选择跟距离没有什么关系。 　　那么，你怎么理解本恩话中&几个&的意思呢？ 一场温和的赌博&&
& && && &“我没有一美分的零币，”汉克说着，一边叮当地敲着他的钱币，“你有多少？”　 　　本恩查看了一下回答道：“正好五枚。怎么啦？”　 　　“想知道吗？我想我们来一次小小的赌博游戏怎么样？”汉克一边说一边开始分牌，“规定这样的：第一局输的人，输掉他钱的五分之一；第二局输的人，输掉他那时拥有的四分之一；而第三局输的人，则须支付他当时拥有的三分之一。”　 　　于是他们玩了，并且互相间准确付了钱。第三局本恩输了，付完钱后他站起来声明说：“我觉得这种游戏投入的精力过多，回报太少。直到现在我们之间的钱数，总共也只相差七美分。”　 　　这自然是很小的赌博，因为他们合起来一共也只有７５美分的赌本。　 　　试问，在游戏开始的时候汉克有多少钱呢？　　乘车兜风& && & “你在忙乎什么吧，比尔，”教授留意地说。这时他的这位朋友正一口气喝完剩下的咖啡，站起来要走。　　　“准备带三个女孩乘车游览！”比尔答道。　　　教授笑了：“原来如此！敢问三位佳丽芳龄几许？”　　　比尔思考片刻说：“把她们年龄乘在一起得到２４５０，可她们年龄和恰是您年龄的两倍”。　　　教授摇了摇头说：“非常灵巧，但对她们的年龄仍然有疑问。”　　　比尔还在那里，他补充道：“是的，我忘了提起，我的年龄至少要比那个岁数最大的小一岁。”而这使得一切都变得清楚了！　　　当然，教授是知道他朋友的年龄的，请问，你能算出他们的年龄吗？没有烦恼的世界& &
& & “你太穷了，迈克，”来访者说道，“只有一英亩地，一只奶牛和一间小屋。”　 　　“我很富有，”迈切尔回答说，他对自己的一切都感到满足，“在爱尔兰像我这样的一块地你是找不到的，它正好三边而不是四边，而且每边都相等。牛只需要吃一半的青草而无须更多。在地的一个角落有一根桩，系着一根栓牛的绳子，刚好够长。地上长满了青草，为牛提供了充足的活动空间。我们很快乐！”他微笑着说，“我觉得足够了，而且自由自在！”　 　　那么，请你告诉我，拴牛的系绳有多长？ 奖金& && &当秘书走进办公室时，杰克微笑着说：“贝蒂，现在我事情已经做完，请把其他人都叫进来。”　&&　　很快，包括贝蒂在内的五个职员都来到他跟前，不知出了什么事。但老板很快使他们轻松起来。杰克告诉他们：“我想你们一定很高兴知道，我在克莱蒙的交易最后赢利了，这里有一笔２６０美元的奖金，在你们之间分配，作个意思。”　 　　贝蒂想自己职位较低，“也许轮不上我”这令人沮丧的念头，刺伤了她的心。　 　　但令人满意的是，杰克继续说道：“我已经算出了你们跟我工作的完整的年限，并按这个比例发放奖金，但允许男人比女孩每年多得一半。”他一边说，一边递给每人一个信封。突发的感激，使雇员们显得有些局促不安。　 　　这对他们来说确是一种好运气！已知他们工作的完整年限分别是２，３，５，６和７年。请你算出在杰克的职员中女性有几人？李白的酒量度
　　唐代大诗人李白才思敏捷，生性好酒。酒酣，则诗兴愈浓，思如泉涌，有人据此编出一道李白沽酒的数学趣题。
　　［题意］一天，李白闲来无事，提着壶上街买酒。他给自己买酒喝酒定了个规矩——遇上酒店时就给酒壶里加上原来一倍的酒，一看见花时喝下一斗。如此连续三次遇店见花，李白就喝光了壶里全部的酒。请问李白酒壶里原有多
　　［分析与解］ 本题因不知初始情况，只知最后的结果，而恰恰要求通过最终结果来算，所以理应运用逆向思维，从后往前推，逐次还原。 按顺向思维，“一遇店和花”时，酒壶中的酒量变化是：先加一倍，再减去一斗，其对应的运算即是“乘以2，减去1”。那么，逆推时，情况就正好反过来，不仅顺序反，运算也要反。要由原来的“乘以2，减去1”变成“加上1，除以2”。也就是“减”要变“加”；“乘”要变“除”。现在是“三遇店和花，喝光壶中酒”。所以应从最后的酒量○开始，连续三次“加上1，除以2”，就可算出答案： {[（0+1）÷2+1]÷2+1}÷2 ={[1÷2+1]÷2+1}÷2 ={２／３ ÷2+1}÷2 =７／４ ÷2 =７／８ （斗） 答：李白壶中原有７／８ 斗酒。只秤三次，你能做到吗？& & 有12颗小球，外观一样。其中有一颗的质量与其它11颗有差距（至于是比其它小球是轻 是重未知）。现在可用的工具是一架天平。要求称3次找到这个与众不同的小球。注意:不考虑运气以及外界因素（即理想状态的最坏打算）。& & 分析：先把小球平均分成三组每组4个。（1）第一次把其中两组放到天平两边，若平衡，这种情况较简单，这里不说了，（2）若不平衡，假定轻的是左边的四个小球，编号为1234号；重的是右边，编号为5678，第三组（没放在天平的）编号为9到12。（3）第二次把1、2、5、9放在天平左边，3、4、6、10放右边若平衡，则不同的小球是7或8，而且比一般球重，第三次容易区分。（4）若天平还是左轻右重， 则不同的小球是1、2、6之一，第三次也容易区分，只需把1、2秤出轻的便是，否则是6，若天平变为左重右轻，则不同的小球为3、4、5之一，方法与上同。加德纳是趣题大师。让我们看看他的题：& &5个水手带着1只猴子来到一座荒岛，见岛上有大量椰子，他们便把这些椰子平均分成5堆。夜籁人静，一个水手偷偷起来拿走了一堆椰子，把剩下的椰子又平均分成5堆，结果多出一只椰子丢给猴子吃掉了，过了一会儿，另一个水手也偷偷起来，拿走了一堆椰子后，再把剩下的椰子平均分成5堆，结果还是多了一只，丢给猴子吃了。就这样一个多事的夜晚，5个水手都偷偷藏起一堆，重分了椰子，每次都多出一只椰子让猴子占了便宜。第二天一早，岛上依然平均堆放着5堆椰子。试问：原先的椰子最少要有多少只？——这就是马丁·加德纳提出的“水手分椰子”名题。解法很多，可谓八仙过海，各显神通。
最古老的数学趣题
在七间房子里，每间都养着七只猫；在这七只猫中，不论哪只，都能捕到七只老鼠；而这七只老鼠，每只都要吃掉七个麦穗；如果每个麦穗都能剥下七合①麦粒，请问：房子、猫、老鼠、麦穗、麦粒，都加在一起总共该有多少数？
答案：总数是19607
　　房子有7间，猫有72＝49只，鼠有73＝343只，麦穗有74＝2401个，麦粒有75＝16807合。全部加起来是
　　7＋72＋73＋74＋75＝19607
　　（顺便提一下，在这里不必考虑为什么把不同种类的东西加起来这个问题）。
　　可以说这是世界上最古老的数学趣题了。大约在公元前1800年，埃及的一个僧侣名叫阿默士，他在纸草书上写有如下字样：
　　家 猫 鼠 麦 量器
　　7 49 343
　　但他没有说明是什么意思。
　　两千多年后，意大利的裴波那契在《算盘书》（1202年）中写了这样一个问题：“7个老妇同赴罗马，每人有7匹骡，每匹骡驮7个袋，每个袋盛7个面包，每个面包带有7把小刀，每把小刀放在7个鞘之中，问各有多少？”受到这个问题的启发，德国著名的数学史家M·康托尔认明阿默士的题意和这个题所问是相同的。
　　这类问题，在19世纪初又以歌谣体出现在算术书中：
　　“我赴圣地爱弗西，
　　途遇妇女数有七，
　　一人七袋手中提，
　　一袋七猫数整齐，
　　一猫七子紧相依，
　　妇与布袋猫与子，
　　几何同时赴圣地？”
数的应用【题413】 从的整数中，十位数字与个位数字相同的数有___个。【思路或解法】 根据题意分类考虑：　　在十位数与个位数字相同的数有2个　　在十位数与个位数字相同的数有100个　　在十位数与个位数字相同的数有100个　　在十位数与个位数字相同的数有80个　　在十位数与个位数字相同的数有9个　　所以共有　　2＋100＋100＋80＋9＝291（个）　　答：有291个。【题414】 有一列数，第一个数是105，第二个数是85，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，那么第19个数的整数部分是_______。【思路或解法】 根据题目条件，这列数依次是：105，85，95，92.5，91.5，91.75，91.875……　　此后每个数的整数部分都是91，因此第19个数的整数部分是91。　　答：第19个数的整数部分是91。【题415】 商店里有大、中、小三种规格的弹子盒子，分别装13，11，7粒弹子．如果有人要买20粒弹子，那么不必拆开盒子（1大盒加1小盒），如果有人要买23粒弹子，就必须拆开盒子卖．你能否找一个最小的数，凡是来买弹子数目超过这个数的，肯定不必拆开盒子卖？请说明理由。【思路或解法】 根据题意可知所求的数一定是不小于23的，由于 　　所以买24—29粒弹子不需要拆开盒子，而买30粒又必须拆盒子。　　又因为31—36，它们分别是24—29加上7，而37＝11＋2×13，这样连续出现了七个数都不必拆开盒子，于是对于大于37的数，就是在这七个数中的一个数加上7的倍数，这样也不必拆开盒子，所以我们找的最小的数应是30。【题416】 由1，2，3，4这四个数字可以组成许多四位数，将它们从小到大依次排次序，那么4123是第___个。【思路或解法】 根据条件，这些四位数千位上的数字可能是1、2、3、4四种所组成的四位数排列如下：　　24 32　　14 31　　14 21　　13 21　　6×3＋1＝19　　答：从小到大依次排列，4123应是第19个。【题417】 有一列数：1，，1，1987，……，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差．那么第1989个数是________。【思路或解法】 根据题意，1987后面是1986，之后是1，等．我们可以按如下方法分组：　　（1、），（1、），（1、）……， 1989个数共分为（组）　　观察每一组的第三个数，它们依次是，，……它们有如下的规律：　　－（1－1）×2　　（2－1）×2　　－（3－1）×2　　因此，要求的第1989个数即第663组的第三个数是：　　1988－（663－1）×2＝664　　答：第1989个数是664。【题418】 将十四个互不相同的自然数，从小到大依次排成一列．已知它们的总和是170；如果去掉最大的数和最小的数，那么剩下的数的总和是150．在原来排成的次序中，第二个数是___。【思路或解法】 由于去掉的最大与最小的两数之和是20，因此十四个数中，最大者不会超过19，也就是说去掉了最大与最小的两个数之后的十二个数中最大者不会超过18．由于这十二个数互不相同，总和是150。那么不超过18的总和最大的十二个数为7、8、9……18，它们的总和应不小于150（否则题目就无解），由于7＋8＋……＋18＝150，于是我们断定先前的十四个数恰好就是1、7、8、9……17、18、19，其中第二个是7。【题419】 一个工人将99颗弹子装进两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装完，已知盒子数大于10，问这两种盒子各有多少？　　【思路或解法】 由每个大盒子装12颗，知：不论大盒子的个数是奇数还是偶数，其总数必是偶数．现一共有99颗，是个奇数．因奇数减去偶数，差还是奇数，故小盒子装弹子的总数是奇数。　　因每个小盒子装5个弹子，其个数又是奇数，故小盒子装的弹子总数的个位数字一定是5，大盒子装的弹子总数的个位数字一定是4．又因为每个盒子装12颗弹子，故大盒子的个数只能是7或2．假设用了2个大盒子，那么：99－12×2＝75，75÷5＝15，即用了15个小盒子，2个大盒子．假设用了7个大盒子，那么99－12×7＝15，15÷5＝3，即用了3个小盒子，7个大盒子．但7＋3＜11，与题意不符．所以工人用了2个大盒子，15个小盒子。【题420】 时钟1点钟敲一下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依此类推．从1点钟至12点钟这12个小时共敲了多少下？【思路或解法】 根据题意可列如下算式：　　1＋2＋3＋……＋12　　＝（1＋12）＋（2＋11）＋……＋（6＋7）　　＝13×6　　＝78　　答：从1点至12点这12个小时共敲了78下。【题421】 用数字1，1，2，2，3，3拼凑出一个六位数，使两个1之间有一个数字，两个2之间有两个数字，两个3之间有三个数字。【思路或解法】 根据题目要求，两个3之间有3个数字所以一定有一个3位于第一个或最后一个，也就是：　　3□□□3□　　或□3□□□3　　又要求两个2之间有两个数字，只可能是：　　3□2□32　　或23□2□3　　最后填入1就是1213。【题422】 13个不同的自然数总和等于92，请找出这十三个数来。【思路或解法】 因为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋14＝92　　所以这十三个数是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、14。【题423】 将数1，2，3，4，5，……20排成一个圆．如果甲报出一个数a（在1～20之间），那么就从这个数往前再数a个数（不连本身），例如a＝3，就从3向前数3个数到6．a＝15，就从15向前数15个数到10．问a是多少时，可以数到17？【思路或解法】 由于各数排成一个圆，所以1可以看作21，2可以看作22……，20可以看作40，不论报出的数是多少，再往前数a个数，所得的数a＋a总是个偶数．所以不可能数到17。【题424】 把1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这11个自然数围成一圈，并使任何相邻两数之间的差不超过2，应如何排？【思路或解法】 根据题目要求排列如下：
【题425】 数 2.75和8具有这样的特点：它们的乘积与组成它们的数字总和相符．即2.75×8＝2＋7＋5＋8＝22。　　请你再找出这样的一对数来。【思路或解法】 因为2.6×5＝2＋6＋5＝13，所以2.6与5就是这样的一对数。【题426】 有1987粒棋子，甲、乙两人分别轮流取棋子，每次至少取一粒，最多取4粒，不能不取，取到最后一粒的为胜者，现在两人通过抽签决定谁先取，你认为先取的能胜还是后取的能胜？怎样取法才能取胜？【思路或解法】 根据题意，只要先取者每次取后使余下的棋子数为5的倍数，这样先取者能胜．第一次取2粒，余下1985粒，这时对方取a粒（1—4粒），则先取者第二次取（5—a）粒，那么所剩余棋子仍是5的倍数．如此继续下去即可。的循环小数尽可能小，这个新的循环小数是________。新的循环小数尽可能小，可将小数点移动到小数点右&&【题428】 如右图的靶子上，K，L，M分别表示三个区域上的环数．K与L之和为11，L与M之和为19，K与M之和为16．求M。
【思路或解法】 根据已知条件可知：　　2K＋2L＋2M＝11＋19＋16＝46　　所以K＋L＋M＝23　　M＝23－11＝12　　答：M表示12。【题429】 从1， 2， 3，……， 1988， 1989这些自然数中，最多可以取___个数，才能使其中每两个数的差不等于4。【思路或解法】 每8个连续的自然数中，至多只能取四个数，其中每两个数的差不等于4。　　我们把这1989个数依次每8个分成一组，最后5个也分成一组，即：　　1、2、3、4、5、6、7、8、　　9、10、11、12、13、14、15、16　　……　　、、、　　、、1989　　8余5，因此可以分成249组。　　每一组都取前四个数，很明显，这四个数中，任意两个数的差不等于4，另外从不同组中取出的数中，任意两个数的差也不会等于4，这样，我们共取出249×4＝996个数，符合题目中的要求。　　答：最多可取996个数。【题430】 用圆圈列出的十个数（如下图）按顺时针次序可以组成许 最大的一个是___。
【思路或解法】 要想使这个数尽可能的大，整数部分必须选用9，那么可能出现的数是9.，9.，9..．不论循环节怎样安排，都是从小数点后第十位开始重复出现一些数，比较这些数的大小，首先还是要看前九位．因此，最大的数是第一个9.．然后，我们再考虑循环节放在哪两个数上产生的循环小数更大．很明显，为了使小数点后第十位数尽可能大，循环节的前一个点应安排在最大的数字9的上面．可是这九个数字有三个9．因此，可能产生三个循环小数：
【题431】 有一类小于200的自然数，每一个数的各位数字之和是奇数，而且都是两个两位数的乘积．例如144=12×12．那么这一类自然数中，第三大的数是____。【思路或解法】 满足题目的条件，两个两位数中不可能出现11，因为如果两位数中有一个是11，必有十位数字是百位与个位数字之和，三位数各位数字之和是偶数，不合题意．排除11这个两位数后，用试验的办法可找到答案。　　10×10=100 10×12=120 10×14=140　　10×16=160 12×12=144 12×14=168　　12×15=180 13×14=182 13×15=195　　这些数按从大到小的顺序排列是195、182、180、168、160、144、140、120、100．第三大的数是180。【题432】 如果一个整数，与1，2，3这三个数通过加减乘除运算（可以加括号）组成算式，能使结果等于24，那么这个整数就称为可用的．在4，5，6，7，8，9，10，11，12，这九个数中，可用的数有____个。【思路或解法】 先列式计算：　　4×（1+2+3）=24 （5+1+2）×3=24　　6×（3+2-1）=24 7×3+1+2=24　　8×3×（2-1）=24 9×3-1-2=24　　10×2+1+3=24 11×2+3-1=24　　12×（3+1-2）=24　　因此我们通过以上计算可以发现，题中提供的9个数与1，2，3一起都可以组成结果是24的算式，都是可用的。【题433】 有一种用六位数表示日期的方法，如：890817表示的是日，也就是从左到右第一、第二位数表示年，第三、第四位数表示月，第五、第六位数表示日．如果用这种方法表示1991年的日期，那么全年中六个数字都不相同的日期共有____天。【思路或解法】 根据题意，第3位已不能是1，只能是0，第5位不能是1和0，也不能是3，否则第6位将是0和1，因此第5位只能是2．那么六个数字都不相同的日期只能是3、4、5、6、7、8六个月中，23、24、25、26、27、28这6天中的5天，因此，共有30天。【题434】 将1、1、2、2、3、3、4、4这八个数字排成一个八位数，使得两个1之间有一个数字，两个2之间有两个数字，两个3之间有三个数字，两个4之间有四个数字．那么，这样的八位数中的一个是____。【思路或解法】 根据题目条件，两个4之间有四个数字可知1、2、3三个数必有一个要重复，且重复的数只能是1．因此，满足题目要求的答案只能是2341314或者是。　　答：这样的八位数中的一个是。【题435】 1980年冬张新家有一只大母羊，第二年春天大母羊生了2只小公羊和3只小母羊；每只小母羊从第三年起也生了2只小公羊和3只小母羊．问：到1985年末张新家一共有多少只羊？【思路或解法】 根据题意可列式如下：　　1+2+3+2×3+3×3+2×9+3×9=66（只）　　答：到1985年末张新家一共有66只羊。【题436】 一套书，每隔三年出版一本，前五年出版年代的和是9905，这五本书中最后一本是哪年出版的？【思路或解法】 根据题意，此题实际上是求和为9905的5个等差数的最后一个数是多少，可列式如下：×2=1987（年）　　答：这五本书中最后一本书是1987年出版的。【题437】 把1、2、3、4、5、6六个数填入框格里，要使横行的数右边的数比左边大，竖列的数下边的数比上边的大，有几种解法？
【思路或解法】 根据题意可试填如下：
　　答：共有5种填法。【题438】 甲、乙、丙、丁四个小朋友玩报数游戏，从1起按下面顺序进行：甲报1、乙报2、丙报3、丁报4、丙报5、乙报6、甲报7、乙报8、丙报9……．这样，报1988这个数的是谁？【思路或解法】 因为甲1乙2丙3丁4　　甲7乙6丙5　　乙8丙9丁10　　甲13乙12丙11　　乙14丙15丁16　　19 18 17　　20 21 22　　……　　除第一行四人报数以外，其余各行都只有3人报数，并且逢单是甲开头，逢双行是乙开头，而（1988-4）÷3=661……1刚好是单行报完，应从双行开始，所以是乙报1988这个数。【题439】 一套书，每隔五年出版一本，前5本出版的年代数的和是9795，这套书的第一本是哪一年出的？【思路或解法】 根据题意可列式如下：　　×2=1949（年）　　答：这套书的第一本是1949年出的。
【题440】 有一种电子钟，每到整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯。中午12点钟，它既响铃又亮灯．下一次既响铃又亮灯时，是几点钟？【思路或解法】 根据题意可知：应求9与60的最小公倍数．9与60的最小公倍数是180，这样可列式为：180÷60=3。　　答：下次既响铃又亮灯是下午3点钟。【题441】 有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同．请你挑选出若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100．你最多能挑选出多少个小孩？【思路或解法】 因为任何两个不同的两位数相乘的积总是大于100，所以根据题中条件，两个两位数不允许相邻，也就是说两个两位数之间应该插入一个一位数．　　题目要求“最多能挑选出多少个孩子”，所以两个1位数之间要设法插入一个两位数。　　现在将九个一位数1—9排成圆圈，它们之间有9个间隔可以插入两位数．　　所以能挑选的孩子最多不能超过18个。【题442】 科学家进行一项实验，每隔五小时做一次记录．做第十二次记录时，挂钟的时针恰好指向9，问做第一次记录时，时针指向几？【思路或解法】 做第十二次记录时，相隔11次。　　5×11=55（小时）　　55÷12=4……7　　9-7=2　　答：第一次记录时，时针指向2。【题443】 两天前小红15周岁，下一年她16周岁，今天是____月____日，小红生日是____月____日。【思路或解法】 根据题意可以算出：　　今天是1月1日　　小红生日是12月31日。【题444】 在10～1000之间，有多少个数个位数上的数是2或7？【思路或解法】 先将1—1000每10个数分成一组，共有100组，即1～10，11～20，21～30，……991～1000，每组中都恰好有两个数个位数字是2或7．因此，在10～1000中，个位数字是2或7的数共有100×2-2=198（个）【题445】 一名间谍在他所追踪的人拨电话时，随着拨号盘转回的声音，用铅笔以同样的速度在纸上划线．他划出的6条线如下：　　_________________________　　______________________　　_______________　　______________________　　________________________________　　________________　　他很快就知道了那人拨的电话号码．请你说说间谍是如何知道的？这个电话号码是什么？（可以用尺量线段的长度）。【思路或解法】 以上6条线段，最接近的两条它们的长度之差就是固定的长度，相差0.8cm，最长与最短的线相差7.2cm．最长的线段代表0，最短的线段代表1，第一条线段比第三条线段长4cm，因此第一条线段代表1+5=6．同理，第二条代表5，第四条代表8，第6条代表3．所以电话号码是651803【题446】 有一个电话号码是六位数，其中左边三个数字相同，右边三个数字是三个连续的自然数，六个数字之和恰好等于末尾的两位数，这个电话号码是____。【思路或解法】 我们假设这个六位数是BBBA1A2A3，左边三个数字之和是3B，右边三个数字之和是3A2，这六个数字之和是3（B+A2）。　　由六个数字之和恰好等于末尾两位数可知：A2A3必定能被3整除，这样A2A3有12、15、18、21、……51十四种可能（且不能是54）。　　由右边三个数字是连续自然数可知A2A3是连续自然数，这样A2A3只有12、21、45三种可能。　　A1、A2、A3是三个连续自然数，则012不符合题意应删去；345，因为45-（3+4+5）=33，33÷3=11，B不可能是11，不符合题意应删去．这样符合题意的只有A2A3=21．所以电话号码是555321。【题447】 整数1用了1个数字，整数20用了2和0两个数字．那么，从整数1到1000，一共用了（ ）个数字1。【思路或解法】 根据题意，采用分类法解答。　　（1）个位上每十个数出现1次，共1×（1000÷10）=100；　　（2）十位上每一百个数出现十次，共10×（）=100；　　（3）百位上每一千个数出现一百次，共100×（）=100；　　（4）千位上只有数1000，出现一次。　　这样可知，从整数1到1000，共用了301个数字“1”。【题448】 一本小说的页码，在印刷时必须用1989个铅字．这一书共有_________页。【思路或解法】 根据题意可采用分组法进行解答。　　（1）每页印一个数字共有9页，用9个铅字；　　（2）每页印二个数字共有90页，用180个铅字；　　（3）每页印三个数字，还需用（）=1800（个）铅字，因此，还需印180÷3=600（页）．　　这样，本书共有：　　600+90+9=699（页）【题449】 一本书共有500页，编上页码1、2、3、4……，问数字1在页码中出现多少次？【思路或解法】 因为每连续10个数，在个位上就出现一次1，所以个位数上出现1的共有500÷10=50（次）；　　十位数上出现1的每100个数有10个，共5×10=50（次）；　　百位数上出现1的有100个．这样总共出现1的次数是：50+50+100=200。　　答：数字1在页码中出现200次。【题450】 在一个两位数的两个数字中间加一个0，那么所得的三位数比原数大8倍，求这个两位数。【思路或解法】 设这个两位数的十位数字是a，个位数字是b，根据题意列出方程：　　（100+b）÷（10a+b）=9　　100a+b=90a+9b　　10a=8b　　　 　　答：这个两位数是45。【题451】 有一个两位数，十位数上的数字是个位数的2倍；如果把十位上的数与个位上的数交换，就得到了另外一个两位数，把这个两位数与原来的两位数相加，和是132．原来的两位数是多少？【思路或解法】 设原两位数为ab，交换得的新两位数为ba．依题意有10a+b+10b+a=132，又a=2b，所以，10a+b+10b+a=20b+b+10b+2b=33b=132．解之，b=4，a=8。　　答：原来的两位数是84。【题452】 有一个六位数，它的个位数字是6，如果将6移至第一位前面时所得的新六位数是原数的4倍，那么这个六位数是____。
（10x+6）×4=600000+x　　解之：x=15384。　　答：这个六位数是153846。【题453】 两个四位数相加，第一个四位数的每一个数码都不小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置．某同学的答数是16246．试问：该同学的答数正确吗？（如果正确，请你写出这两个四位数；如果不正确，请说明理由．）【思路或解法】 根据题意每个四位数的各个数码只能从5、6、7、8、9这五个数字中选择，同时可知这两个四位数各个数位上的两个数字相加的和应向前一位进一．若该同学的答案是正确的话，这两个四位数的个位、十位、百位、千位相应的两个数之和分别是16、13、11、15。　　因为11只有一种拆法：5+6，其中一个5只可能与8组成13，另一个6只可能与9组成15，这样个位上的两个数码一个是8，另一个是9。　　而8+9≠16，互相矛盾．故某同学的答数16426是不可能的。【题453】 一个两位数，交换它的十位数字和个位数字，所得的两位
这样，可知其和能被11整除，同时这和可能是两位数或是三位数．因此符合条件的数有11、22、33、44、55、66、77、88、99、110、143、154、165、176、198．在这些数中，33、66、99、132分成符合条件的两个两位数是12、24、36、48．所以，这样的两位数有4个。【题454】 把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的两位数的差是45，试求这样的两位数中，最大的数是多少？【思路或解法】 本题有两种解法。　　解法一：分别设十位上的数为A，个位上的数为B，根据题意（A＞B）可以表示成下式：
　　从A和B所有可能的取值中可以看出，其中最大的是94。　　解法二：A可能的最大值是9，因此有下式
　　从这个算式的个位容易得到B一定是4。　　答：这样的两位数中最大的是94。【题455】 三个自然数的乘积是24．试求有多少个不同的由这样的三个数所组成的数组．（不计数组中数字的顺序）【思路或解法】 24=2×2×2×3， 24写成三个数乘积的形式有以下几种：　　24=1×1×24 24=2×2×6　　24=1×2×12 24=2×3×4　　24=1×4×6 24=1×3×8　　答：合乎条件的有6组。【题456】 把数字5写到一个三位数的左边，再把得到的四位数加上400，这时，它们的和是这个三位数的55倍．这个三位数是____。【思路或解法】 设这个三位数为x，根据题意，有：　　x+x x=100　　答：这个三位数是100。【题457】 用0、1、2、……9十个数字组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能大，那么这五个两位数的和是____。【思路或解法】 根据题意，这五个两位数的和尽可能大，就必须使每个两位数的十位上的数尽可能大，应由9、8、7、6、5作十位上的数，0、1、2、3、4作个位上的数，和是360，为了符合它们的和是一个奇数这个要求，可将十位数中的5和个位上的4互换，这样，要求的五个两位数是90、81、72、63、45，它们的和是351。【题458】 把一个两位数的个位数字与其十位数字交换得到一个新数，它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方，这个和数是____。【思路或解法】 假设原来两位数的十位数字是a，个位数字是b，那么原来的两位数可以写成10a+b，把原来两位数的十位数字与个位数字交换后得到的新数可以写成10b+a.由题目条件知：（10a+b)+（10b+a）=11(a+b)应该是某个自然数的平方．如果一个数的平方含有一个约数11，那么这个数的平方一定还含有另一个约数11，从11（a+b）是一个数的平方可以知道（a+b）一定含有约数11。　　a或b都只能取1、2、3、……8、9，因此（a+b）只可能是11．这样，原来的两位数与新的两位数之和是：　　（10a+b）+（10b+a）=11×11=121。【题459】 如下图所示的顺序数手指头，问当数到2000时，应数到_________指上。
【思路或解法】 根据题意可知，每8个数为一个周期。　　　　刚好是250个周期．所以，数到2000时，应数到食指上。【题460】 把自然数按下表的规律排列后可分成ABCDE五类，如：3在C类，10在B类，那么1988在____类。
【思路或解法】 根据题意可知，每行四个数，即四个数为一周期．单行是按A、B、C、D排列，双行是按EDCB排列，因为，所以1988应排在单行中最后一个数，这样，它应当排在D类。【题461】 自然数按从小到大的顺序排成螺旋形．在2处拐第一个弯，在3处拐第二个弯，在5处拐第三个弯……．问拐第二十个弯的地方是哪一个数。
【思路或解法】 观察正方形数字阵，先将拐弯处的数从小到大排列起来：2、3、5、7、10、13、17、21、26……，仔细观察这些数：第一个数是起点1+1，第二个数是第一个数加1，第三个数是第二个数加2，第四个数是第三个数加2，后面的四个数都可以用各自前面的那个数分别经过加3、加3、加4、加4得到，由此推想出，再往后就要加5、加5、加6、加6、……，可以发现一个规律：　　求第四个拐弯处的数：1+（1+2）×2　　求第六个拐弯处的数：1+（1+2+3）×2　　求第八个拐弯处的数：1+（1+2+3+4）×2　　总之，当拐弯数是偶数时，加在起点数1上的数总是若干从1开始的连续自然数的和的2倍，而连续自然数的个数（或者说最后一个数）正好是弯数的一半．因此第二十个拐弯处的数应该是：　　1+（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）×2=111。【题462】 1～1001各数按下面的格式排。象图示那样，用一个长方形框出九个数，要使这九个数的和等于：（1）1986；（2）2529；（3）1989，是否办得到？如果办不到，简单说明理由；如果办得到，写出正方形里最大的数和最小的数。
【思路或解法】 仔细观察方框中的数可知．正中间的数是方框里九个数的平均数，即方框里九个数的和一定是9的倍数。　　（1）因为1986不能被9整除，所以不行。　　（2）因为，但281÷7=40……1，所以2529虽然被9整除，但方框中间的数281处在表左最边上一列，所以也不行。　　（3），221÷7=31余4，合乎条件．方框中的九个数是：
　　其中最大的数是229，最小的数是213。【题463】 如果全体自然数如下表排列，数1000应在哪个字母下面？
【思路或解法】 每一列中的数除以7的余数都相同。　　因为……6　　所以1000与6位于同一列。　　答：数1000应在F字母下面。【题464】 A、B、C、D、E、F、G、H八人，按下列方法报数：
　　问报1986这个数的人是____。【思路或解法】 去掉前15个数字，后面每14个一循环，而1。　　　　从B开始数11个，正好是D。　　答，报1986这个数的人是D。【题465】 如图所示，第一张卡片上写有1，第二张卡片上写有1～4，第三张卡片上写有1～9，并按如图的规律将其中的一组数画上○，照这样第四张、第五张、……继续写下去．回答下列各题。
　　（1）把由第五张卡片中画有○的数字，按由小到大的顺序排列起来．　　（2）试求49是由哪几张卡片上圈出来的数字？【思路或解法】 （1）第五张中的各数是：
　　加○的数依次是1、7、13、19、25。　　（2）49是由第7、11、15、23、47张卡片上圈出来的数字。【题466】 下面是一个11位数，它的每三个相邻数字之和都是20．问你知道打“？”的数字是几？
【思路或解法】 我们在空格内填上？的顺序，如下所示打“？”的数字用？7表示：
　　根据已知，每3个相邻数字之和是20，因此有：　　7+？2+？3=？2+？3+？4则？4=7　　同理：？4+？5+？6=？5+？6+？7　　？4=？7，因而？7=7，即打“？”的数字是7．　　答：打“？”的数字是7。【题467】 按规律填数：　　①8，24，72，（ ），（ ），……　　②1，4，5，8，9，16，（ ），（ ），……【思路或解法】　　①因为8×3=24，24×3=72，可知数的呈现是后一个数依次是前一个数的3倍．72×3=216，216×3=648，所以括号里应填216和648。　　②数列中，属于单数的数，后一个数比前一个数多4，如5=1+4，9=5+4，可知第一个括号里填9+4=13；数列中，属于双数的数，后一个数是前一个数的2倍．可知，第二个括号里填16×2=32。【题468】 按规律填数。　　A、81、64、（ ）36、25、16。　　B、1、1、2、3、5、8、（ ）、21。　　C、2、5、8、11、（ ）、17。【思路或解法】 A题各数都是平方数，从9的平方开始到4的平方止．据此，（ ）里应填72即49。　　B题各数呈现的特点是：从第三个数起，每一个数都是前两个数的和．据此，（ ）里应填（5+8=）13。　　C题各数呈现的规律是：后一个数比前一个数大3．据此，（ ）里应填（11+3=）14。【题469】 按规律填数：　　（1）2、6、18、54、（ ）、468、1458。　　（2）1、4、9、16、（ ）、36、49。　　请你求出这两个括号中的数的和等于____。【思路或解法】 第（1）题，后一个数是前一个数的3倍，所以括号内应填162。　　第（2）题，后一个数与前面的数是奇数，奇数按3、5、7……的规律呈现，据此（ ）里填的数是16加7后面的9，得25．　　把两个括号里的数162和25加起来，即得187。【题470】 下表中，将每列上下两个字组成一组，例如第一组为（共、社），第二组（产、会），那么第340组是（ ）。
【思路或解法】 根据题意，上行每一个周期有四个汉字，那么第340个汉字应是（340÷4=85）“好”字．下行每一周期有五个汉字，那么，第340个汉字应是（340÷5=68）“好”字．所以，第340组是（好，好）。【题471】 某学校有13个课外兴趣小组，各组的人数如下表：
　　一天下午学校同时举办语文、数学两个讲座，已知有12个小组去听讲座，其中听语文讲座的人数是听数学讲座的人数的6倍，还剩下一个小组在教室里讨论问题，这一小组是第（ ）组。【思路或解法】 根据题意可知：参加语文、数学两科讲座总人数是7的倍数，即其每份人数是听数学讲座的人数，同时剩余人数应是这十三组中一组的人数且2≤剩余人数≤24，这样160÷7=22……余6，可列表如下：
　　根据题意，剩余人数6和20均不符合题意，从剩余人数13可知在教室里讨论问题的是第九组。【题472】 已知小数0.11213……979899它的小数点后面的数字是由自然数1到99依次排列而成的．则小数点后面第88位上的数字是____。【思路或解法】 根据题意，运用分类列表可知小数点后面第88位上的数是4：
【题473】 一串数排成一行，它们的规律是：头两个数都是1，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，也就是1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，问：这串数的前100个数中（包括第100个数），有多少个偶数？【思路或解法】 根据题意和数的奇偶性可知：这一串数是按奇、奇、偶，奇、奇、偶，……的规律排列的，同时可看出每三个数为一组，每组中出现一个偶数，因此，这串数的前100个数中有33个偶数．（100÷3=33……1）【题474】 有一列数是12、15、17、20、22、25、……，这列数的第九个数是（ ）．【思路或解法】 这列数呈现的规律：后一个位居双号的数比前一个数大3，后一个位居单号的数比前一个数大2，据此，第7个数为27，第8个数为30，第9个数为32。【题475】 在23×23方格纸中，将1—9这九个数字填入每个小方格中，并对所有形如的“十”字图形中的五个数求和．对于小方格中的数字的任意一种填法，其中和数相等的“十”字图形至少有____个。
【思路或解法】 由图示可知每个“十”字图形都有五个数字，依据所绘出的九个数字可得其和最大值是45，最小值是5，这样最多可能有45、44、43、……7、6、5四十一种不同的和数．在23×23的方格纸中，有21×21＝441（个）　　“十”字图形．这样，根据抽屉原理把41个不同的数看作抽屉，441个“十”字图形看作苹果，然后把苹果放进抽屉里，由RM＋N＝10×41＋31可知，其中的一个抽屉至少有11个苹果．即对于小方格中的数字的任意一种填法，其中和数相等的“十”字图形至少有11个。
【思路或解法】 因为分母为1、2、3、4、5、……的分数分别有 【题477】 紧接着1989后面写一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字相乘的个位数．例如：8×9=72，在9后面写2，9×2=18，……，得到一串数字：　　1 9 8 9 2 8 6 ……　　这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？【思路或解法】 按题意所示规则，再写几个数字：6884……，从中可以看出：1989后面的数字总是不断重复出现286884，每6个数字为一组．这样可列出下式：　　（1989－4）÷6＝330……5　　所以，第1989个数字应是8。【题478】 自1开始，每隔两个自然数写出一个数来，得到数列：1、4、7、10……．问第100个数是多少？【思路或解法】 根据题意，两数相差3，可求出第100个数是：1＋（100－1）×3＝298。【题479】 把4，5，6，8，9，10，11，12，13，14，15分别填到图1的空格内，使每两个相邻长方格里的两数的和等于与之相连的方形中的数。
【思路或解法】 本题答案有多种，图2列出其中的一种。【题480】 “5·4”是中国青年书．请你选择三个互不相同的质数，填进下页图甲三角形的三个顶点位置上，再将每边两端两数之和，写进该边中点（也在周围上）的方框内，使圆周上三数之和等于54。【思路或解法】 本题需从数54的分解，通过试填倒推出要填的数．下页图乙是其中的一种填法。【题481】 将17、23、29、31、37、43六个数，分别填入下页图A圆周的六个小圆圈内，使任意相邻三个数的和除以7所得余数相等。【思路或解法】 因29与43除以7的余数是1，23与37除以7的余数都是2，17与31除以7的余数都是3，根据相
邻三个数的和除以7的余数相等，可得到如图B的一种填法。【题482】 已知5个数依次是13、12、15、25、20，它们每相邻的两个数相乘得4个数，这4个数每相邻的两个数相乘得3个数，这3个数每相邻的两个数相乘得2个数，这两个数相乘得1个数，问最后这个数从个位起左数，可以连续地数到几个0（如图）？
【思路或解法】 只要乘数中有一个2与一个5相乘，积中就会产生一个0。　　因为12＝2×2×3，15＝3×5，　　25＝5×5，20＝2×2×5　　这样，最后出现的结果是2×2×5×5×5×2×2×5，根据题意，每相邻两个数相乘，因此会出现（4＋3＋2＋1）次的连乘积，也就是104×（×1041）＝1010，所以，最后这个数从个位起向左数，可以连续地数到10个0。【题483】 如图1，四个小三角形的顶点处有六个圆圈．如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等．问这六个质数的积是多少？
【思路或解法】 根据题意，将20写成6个质数之和：20＝2＋2＋3＋3＋5＋5，再求这六个质数之积：2×2×3×3×5×5＝900，然后填入图2。　　答：这六个质数之和是900。【题484】 把5、6、7、8、9、10、11、12、13、14填入下图各圆圈中，使每个大圆圈中六个数的和是55。
【思路或解法】 因为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＝95，而55×2＝110，110－95＝15，7＋8＝15，5＋10＝15．这就是说，两圆公共的两小圆圈内填的数应是15，在已知的10个数中，和为15的两数很多，因此，可以有很多的填法．下面是其中的一种：
【题485】 将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入右图的九个圆圈中，使其中的一条边上的四个数之和与另一条边上的四个数之和的比值最大．那么这个比值是____。
【思路或解法】 按题意，应使一条边上的数之和尽可能大，另一条边上的数之和尽可能小，所以一条边上必须有9、8、7三数，另一条边必须 【题486】 在下图的七个圆圈内各填一个数，要求每一条直线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数．现在已经填好两个数，那么x＝____。　　【思路或解法】 将图中余下的四个圆圈分别编为一、二、三、四号如右上图．根据题意，“四”为（13＋17）÷2＝15，“三”、是“一”和“四”的平均数，也是“二”和17的平均数．所以，“一”加上“四”和“二”加上17相等，就是说
“一”比“二”大2，而“二”是“一”和13的平均数，所以“二”也比13大2，即“二”为13＋2＝15，“一”为15＋7＝17，那么“三”为（15＋17）÷2＝16，x＝16×2－13＝19。　　答：x＝19。【题487】 把20以内的八个质数分别填在右图的圆圈中（每一质数限填一次），使图中用箭头连接起来的四个数的和都相等。
【思路或解法】 先找出20以内的8个质数：2、3、5、7、11、13、17、19，然后试填如下图：
【题488】 如图1，大三角形被分成了9个小三角形．试将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入9个小三角形内（每个小三角形内只填一个数），要求靠近大三角形三条边的每五个数相加的和相等，请问怎样填这些数才能使五个数的和尽可能大一些，这五个数的和最大是____．
【思路或解法】 通过观察可知，计算各边五个数的和时，靠近各边中间部位的数只出现一次，其余各数都出现二次，所以要使和尽可能大，各边中间部分的数应尽可能小，因此，各边中间部分的数应取1、2和3，这样，五个数的和最大是〔（1＋2＋3）＋（4＋5＋6＋7＋8＋9）×2〕÷3＝28．试排的结果如图2．（本题还有其它排法）【题489】 把任意不相同的16个数填入右图．然后每行取最大的一个数，这样共有4个数，其中最小的一个数用A表示．再列取每行最小的一个数，也有4个数，其中最大的一个数用B表示．比较A、B两数的大小，写出理由。
【思路或解法】 依题意，B在格子中的位置有下列几种情况：　　（1）A与B在同行，这时总是A＞B；　　（2）A与B在同列，同样也总是A＞B；　　（3）A与B不在同行，也不在同列，把A所在行与B所在列相交的一格中的数用C表示，就有A＞C，C＞B，所以A＞B；　　（4）A与B恰好同格，即A＝B。　　所以，A大于B或A等于B，也就是说A不小于B。【题490】 已知右图是一个幻方，也就是每行、每列和主对角线上的三数之和相等．求A、B、C、D、E。
【思路或解法】 根据题意，从第一列知道，每三个数之和等于15＋50＋25＝90。　　因此：A＝90－（15＋35）＝40　　B＝90－（35＋25）＝30　　C＝90－（50＋30）＝10　　D＝90－（40＋30）＝20　　E＝90－（25＋20）＝45。【题491】 在下面的方格里，每边加起来的数都是5，总数是12，现在请你用任何数字重新排列，每边加起来仍是5，但总数是13、14。
【思路或解法】 根据题意，由对角线上四个数可得知每四个数的和为8＋5＋9＋12＝34，　　所以，B＝34－（4＋5＋11）＝14　　A＝34－（7＋12＋14）＝1　　E＝34－（5＋16＋3）＝10　　F＝34－（16＋9＋7）＝2　　G＝34－（11＋8＋2）＝13　　C＝34－（8＋10＋1）＝15　　D＝34－（4＋9＋15）＝6【题493】 在右边的加法算式中，相同字母表示相同的数字，不同字母表示不同的数字．问H，E和A分别代表什么数字。
【思路或解法】 由于结果是两位数，所以H应小于3；又由于H是偶数，所以H＝2．这样E只可能是3或8，而8将使结果是三位数，所以E＝3．推之A＝9。【题494】 如右的加法算式中，每个字母代表一个数字，不同字母代表不同数字．问A、B、C各代表什么数字？
【思路或解法】 由于和的个位数是C，所以A＋B的个位数字是0，而A和B又不可能是0，所以，A＋B＝10．又由于和的十位数是A，所以B＋C＋1＝10，也就是B＋C＝9．又由于和的百位数字是B，所以B可能是1或2．如果B＝2，则A＝8，C＝7，这时88＋22＋77＝187，与B＝2矛盾．因此，只能是B＝1，这样A＝9，C＝8．即99＋11＋88＝198。【题495】 下面的算式里，四个小纸片各盖住了一个数字．被盖住的四个数字总和是多少？
【思路或解法】 和的个位数是9，说明两个个位数的和是9（不可能进位）．和的十位数字是4，百位数字是1，说明两个十位数字的和是14．各位数字的总和是14＋9＝23。【题496】 在下面的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，那么D＋G＝____。
【思路或解法】 先将原算式变成等价的加法算式。　　由此明显看出A＝1，B＝0，E＝9．观察十位数，由于B＝0，A＝1知F＝8或9，但E＝9，所以F＝8．由A＋F＋1＝10，知C＝7．现还剩下2、3、4、5、6五个数字，G可以是4或5或6，D相应就是2、3、4，所以D＋G可能是6、8、10之一。　　答：D＋G＝6或8或10。【题497】 如右竖式是两个三位数相减的算式，每个方框代表一个数字．问这个方框的一位数的连乘积是多少？
【思路或解法】 根据三位数减去三位数百位上的差是8，可推出被减数、减数的百分位上应分别是9与1，再根据十位上的数相减的差是9，且排除不够减从百位上退位的可能，得到十位上的两个数字分别是9与0，只有个位数字可能出现几种情况，但由于减数的十位数字出现了0，无论其它各位数字出现几，它们各位数字出现的连乘积必是0。　　本题也可从后面来思考：894与多少的和仍是三位数．很显然这个数是介于100与105之间的整数．因此，这两个三位数的6个数字中至少有一个是0，所以这6个数字的乘积是0。　　答：连乘积是0。【题498】 在下面的算式里，四个小纸片各盖住了一个数字．被盖住的四个数字总和是多少？
【思路或解法】 因为×29，可知两个两位数是（3×19）和29或19和（3×29），也就是说或19和87的积．因此，四个数字之和是5＋7＋2＋9＝23或1＋9＋8＋7＝25．　　答：被盖住的四个数字总和是23或25。【题499】 下边乘法算式中，每个字母代表一个数字，不同字母代表不同数字，A不是零，求A、B、C和D各代表什么数字？
【思路或解法】 从乘法算式中可以判断由于C乘以C的个位数字还是C，所以C只可能是1、5或6．如果C是1，乘积为原被乘数，与条件不符，所以C只可能是5或6，A只可能是1．当C＝6时，无解．当C＝5时，B＝2或7．如果B＝2，D＝6；如果B＝7，D＝8。　　答：A、B、C、D、各代表1、2、5、6或1、7、5、8。【题500】 下面乘法的算式中：
　　A、B、C、D、E是____。【思路或解法】 因为积的个位是1，乘数是3，可推断被乘数的个位E是7.7×3＝21，在积的个位写1，向十位进2．因为积的十位数E为7，所以D×3的积的末位数就是5，可知D为5，5加上个位进上的2可满足积是7．D为5，也就是积的百位是5，由于十位向百位进了1，所以C×3的积末位是4，这样可推断C为8．用同样的方法可推得B为2，A为4，所以A、B、C、D、E是4、2、8、5、7．【题501】 下面乘法算式中，每个汉字代表一个不同的数字，这些汉字分别代表几？
　　答案：长____沙____市____数____学____选____拔____赛____。【思路或解法】 赛与赛的乘积的个位为1，只有两种可能；1×1或9×9．若赛＝1，1和任何数相乘积为原数，根据题意，一个八位数乘以1积为九位数，与题意相矛盾，可排除．因此赛代表9，然后逐一推理可知：赛＝9，拔＝7，选＝6，学＝5，数＝4，市＝3，沙＝2，长＝1。【题502】 右边乘法算式中的“来参加数学邀请赛”八个字各代表一个不同的数字．其中“赛”代表9，“来”代表___，“参”代表___，“加”代表___“数”代表___“学”代表___，“邀”代表___，“请”代表___。
【思路或解法】 因为“赛”代表9，“赛”乘以“赛”即9×9＝81，可知“来”代表1，那么乘积为．根据“积÷乘数＝被乘数”的关系，可推知÷9＝，由此可知，乘法算式中的八个字各代表1、2、3、4、5、6、7、9。　　答；“来”代表1，“参”代表2，“加”代表3，“数”代表4，“学”代表5，“邀”代表6，“请”代表7。【题503】 有一个算式，式中画的□表示被擦掉的数字（如图），那么这十三个被擦掉的数字的和是____．
【思路或解法】 根据题意，乘数个位数是6，与被乘数个位数相乘之积的个位数是4，可知被乘数个位数是4或9．又乘数十位数与被乘数个位数相乘之积的个位数字是0，这样可知被乘数的个位必定是4，乘数十位数必定是5．又根据被乘数是四位数，乘以6的积也是四位数，可知被乘数的千位数是1，如此逐一把所有的□填上适当的数字．即：
　　那么，1＋3＋4＋5＋7＋4＋6＋1＋6＋9＋1＋0＋4＝51。　　答：这十三个被擦掉的数字的和是51。【题504】 把除式修补好：
【思路或解法】 根据第一次试商末尾数为3，可推知商的第一位数字是1，那么除数的第一位数字是2。　　除数是个两位数，第三位试商是个三位数，且十位数是3，可推知商的最后一位数字是6，这样可知第三次试商是6。　　根据第一次和第三次试商，可推知第二次试商是3，与除数相乘是69，这样可以求出题中所有的数字，即：
【题505】 根据数量关系，填空。
【思路或解法】 根据除式条件，首先可知除数的十位数字是1，第二步给第一次相除后，余数是32，由此推知商数的个位数字只能是2，除数的个位数字只能是6，即
【题506】 有一个算式，式中画“×”表示缺掉的数字，那除数的所有不同的质因数的和是____。
【思路或解法】 先给×编上号，如右上图。　　根据题意，设除数为x，由x14－x17x20，可知x17≤8，因此x17x18x19是小于900的三位数，这样8x＜900，即x＜112.5，由此可知x1就是1。　　同时，除数与x10相乘之积是四位数，推理可得，x10必是9，所以9x＞999，x＞111。　　综上所述可知，除数是112，其分解质因数为112＝2×2×2×2×7，这样不同质因数的和是9。　　答：除数的所有不同的质因数的和是9。　　&&　　【思路或解法】 在△后面添一个7，相当于10×△＋7；在△前面添一个7，相当于700000＋△，根据题意得：
　　解之：△＝17948　　答：这个五位数是17948。【题508】 把1、2、3、4、5、6、8七个数字分别填入括号里，使等式成立：
【思路或解法】 运用有关性质，通过试填可得答案：
【题510】 abcd，efghi各是何数时下式成立：
　　即：abcd＝1810，efghi＝19910。【题511】 “迎春杯”三个字分别代表不同的数字．请根据：迎＋春2＝“迎春”，（迎＋杯）2＝“迎杯”这两个等式推算，“迎春杯”三字所代表的数字之和应是（ ）。【思路或解法】 根据一个数的平方是两位数，只有下面六种情况：　　a：4；5；6；7；8；9　　a2：16；25；36；49；64；81　　由此可知：（迎＋杯）2＝“迎杯”，只有a＝9，a2＝81符合条件．所以“迎”表示8，“杯”表示1，这样8＋春2＝8春则72≤春2≤81，符合条件的是春2＝81，所以“春”表示9。　　因此，这三个汉字所代表的数字之和是：　　8＋1＋9＝18【题512】 将0，1，2，3，4，5，6这七个数字填在圆圈和方格内，每个数字恰好出现一次，组成只有一位数和两位数的整除算式。问填在方格内的数字是几？　　○×○＝_____＝○÷○【思路或解法】 经试填，有3×4＝12＝60÷5，所以方格内的数字是12。【题513】 9○13○7＝100，14○2○5＝_____　　把＋、－、×、÷分别填在适当的圆圈中，并在长方形中填上适当的整数，可以使上面的两个等式都成立．这时长方形中的数是几？【思路或解法】 因为：　　9＋13×7＝100　　14÷2－5＝2　　答：所以，长方形中的数是2。【题514】 如图1，把1.2，3.7，6.5，2.9，4.6分别填入五个○内，再把每个 中填上和它相连的三个○中的数的平均值，再把三个 中的数平均数填在△中，找出一种填法，使△中的数尽可能小，那么△中填的数是多少？
【思路或解法】 根据条件试填，上面这种填法（如图2）符合题意。　　答：△中填的数是3.1。【题515】 试将1、2、3、4、5、6、7这七个数字分别填入下面的方框中，每一个数字只用一次，要求使这三个数中任意两个都互质．其中一个三位数已填好，它是714。
【思路或解法】 根据题目要求，这三个数中任意两个数互质，也就是说这三个数中每两个数之间不能有1以外的公约数存在．因为714＝2×3×7×17，可知在剩余的数字2、3、5、6这四个数字中，只有5可以填入最下面的方框中．又根据题目要求，每个数字只能用一次，可推知另一个数只能由数字2、3、6排列而成．又由于714是偶数，这样所排列的三位数是263、623两个三位数．因为这两个三位数中，623÷7＝89，所以只有263答合本题要求。【题516】 在下面的算式中，所有分母都是四位数．请在每个方格里各填入一个数字，使等式能够成立。
【题517】 把1、2、3、4、5、6、7、8、9填进下式的方框内，使等式成立．（要求写出主要的思考过程）　　□□□×□□＝□□×□□＝5568【思路或解法】 先将5568分解质因数，得：×2×2×2×2×3×29．将这些因数组合成两个两位数或一个两位数和一个三位数的乘积形式：4＝16×348＝24×232＝32×174＝48×116＝58×96＝64×87。　　根据题目要求，把1、2、3、4、5、6、7、8、9填进方框内，有很多种填法，下面是其中的一种：　　174×32＝58×96＝5568【题518】 在下面的□中，分别填上1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一个数字（每个式中的数字不能重复），使得带分数算式：
【思路或解法】 （1）根据其差值最大的要求，应考虑到整数部分被减数尽可能大，减数尽可能小；分数部分被减数的分子尽可能大，分母尽可能小，减数的分子应尽可能小，分母尽可能大．即：
　　（2）根据其和值最小的条件，应考虑整数部分尽可能小；分数部分的分子尽可能小，分母尽可能大．即：
使A是整数．A最大是多少？【思路或解法】 先找出20以内的质数，它们是2、3、5、7、11、13、17、19。　　然后求出它们的总和：2＋3＋5＋7＋11＋13＋17＋19＝77。　　根据题意，A是整数，要使A最大，就必定是70除以7等于10。
【题520】 从1至9这九个数中选出八个数，分别填在下面八个圆圈内，使算式的结果尽可能大：　　［○÷○×（○＋○）］－［○×○＋○－○］＝_____。【思路或解法】 根据题意可知，被减数尽量最大，而减数尽量最小，则差也就尽可能大，所以应填数如下：　　［9÷1×（8＋7）］—［2×3＋4—6］＝131　　答：结果是131。【题521】 有一算式，左边方框里都是整数，右边答案只写出了四舍五入后的近似值：
　　那么算式左边三个方框里的整数从左至右依次是_____。【思路或解法】 假设算式左边三个方框的整数从左往右依次是：x、y、z，根据异分母分数的加法的计算
　　因为x、y、z都是整数，所以35x＋21y＋15z之值是122，同时根据 其中A、B各是0～9十个数字中的一个；AB是一个两位数ABABAB是一个六位数．求A＝？B＝？并写出上列算式。
　　即：3A＋11B＝31　　经试验可得A＝3，B＝2。　　答：A＝3，B＝2。【题524】 在被除数小于100的条件下，在□里填上适当的数。
【思路或解法】 根据题意和乘除法的互逆关系可知被除数是三个商的最小公倍数60，又因为：　　（60－4）÷4＝56÷4＝14。　　（60－5）÷5＝55÷5＝11　　（60－6）÷6＝54÷6＝9　　所以：60÷14＝4……4　　60÷11＝5……5　　60÷9＝6……6　　60＜100，符合题意，所以，本题答案如下：
【题525】 如果让数字和字母适当，并且相同的字母都取相同的数，不同的字母取不同的数字，那么关系式：
【思路或解法】 在关系式中，刚好有10个字母是可以利用的，显然在这些字母中有一个可以等于0，又因为0不能做除数，因而只要分子中的一个因数等于0，那么整个关系式就等于0了。　　答：关系式等于零。　　 的3倍，从而得知A应是235。【题527】 请在11个8之间适当的位置填上适当的运算符号“＋、－、×、÷”，使运算结果等于1988，列式为（ ）。【思路或解法】 根据题意可知：＋888－11，又÷8，11＝88÷8，所以合乎条件的算式是：　　8－88÷8＝1988。【题528】 在1、1、9、9之间填上合适的运算符号、括号，使等式成立。　　1　1　9 9＝10【思路或解法】 根据11－1＝10或者9＋1＝10的条件填写运算符号和括号，得两个算式：　　（1）11－9÷9＝11－1＝10　　 【题529】 填上合适的符号，使等式成立。　　4 4 4 4＝1；4 4 4 4＝2；　　4 4 4 4＝3；4 4 4 4＝4；　　4 4 4 4＝5。【思路或解法】 根据题意只能是5－4＝1，1＋1＝2，12÷4＝3，0＋4＝4，20÷4＝5．这样五个算式填法如下：　　4÷4+4-4=1　　4÷4＋4÷4＝2　　（4＋4＋4）÷4＝3　　（4－4）×4＋4＝4　　（4×4＋4）÷4＝5【题530】 在图中所示的数字金字塔里填入“＋”或“－”号，使所示的等式成立．在一些相邻的数字中间也可以不填写符号而让它们表示一个数．（第一个数前面也可标符号）。
【思路或解法】 根据题意，下面是一种合乎题意的填法：　　1＋2＝3　　－1＋2＋3＝4　　12－3－4＝5　　12＋3－4－5＝6　　1＋2－3－4＋5＋6＝7　　1＋2＋3－4＋5－6＋7＝8　　12＋3＋4－5－6－7＋8＝9
本文来自ChinaUnix博客，如果查看原文请点：
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