已知函数f（x）=lnx-kx+1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：ln[2o3o4o…（n+1）]2≤n（n+1）（n∈N，n＞1）【考点】；；．【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用．【分析】（1）由函数f（x）的定义域为（0，+∞），而f′（x）=-k．能求出函数f（x）的单调区间．（2）由（1）知k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值为f（），由此能确定实数k的取值范围；（3）根据lnx≤x-1，得到ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）≤1+2+3+…+n，整理即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=-k．当k≤0时，f′（x）=-k＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当k＞0时，若x∈（0，）时，有f′（x）＞0，若x∈（，+∞）时，有f′（x）＜0，则f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数．（2）由（1）知k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值为f（），要使f（x）≤0恒成立，则f（）≤0即可，即-lnk≤0，得k≥1；（3）由（2）得：k=1时，lnx≤x-1，令x=2，3，4，…，n+1，则ln2＜2-1=1，ln3＜3-1=2，ln4＜4-1=3，…，ln（n+1）＜（n+1）-1=n，左右两边分别相加得：ln2+ln3+ln4+…+ln（n+1）≤1+2+3+…+n，∴ln（2o3o4…（n+1））≤，∴ln[2o3o4o…（n+1）]2≤n（n+1）（n∈N，n＞1）．【点评】本题考查函数单调区间的求法，确定实数的取值范围，渗透了分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：老师　难度：0.60真题：1组卷：0
解析质量好中差
&&&&，V2.26469已知函数f（x）=（x＞0）（1）当x＞0时，f（x）＞恒成立，求正整数k的最大值；（2）求证：（1+1o2）（1+2o3）（1+3o4）…（1+n（n+1））＞e2n-3（n∈N*）．
（1）∵f（x）=（x＞0）∴f（x）＞可化为＞，即（x+1）＞k，令f（x）=（x+1），则2=2，令h（x）=x-1-ln（x+1），则，∵x＞0，∴＞0，∴f′（x）在（0，+∞）上单调递增，又∵f′（2）=，f′（3）=＞0，∴在（2，3）上存在x0使f′（x0）=0，即ln（x0+1）=x0-1，当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴0)＝1+ln(x0+1)x0(x0+1)=x0+1，∵3＜x0+1＜4，∴正整数k的最大值是3．（2）由（1）可知，（x+1）＞3，∴=2-＞2-．∴ln（1+n（n+1））＞2-．∴ln（1+1o2）+ln（1+2o3）+ln（1+3o4）…+ln（1+n（n+1））＞2-+2-+…+2-=2n-3（++…+）=2n-3（-+-+…+-）=2n-3（1-）＞2n-3．∴（1+1o2）（1+2o3）（1+3o4）…（1+n（n+1））＞e2n-3．
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（1）将不等式f（x）＞转化为（x+1）＞k，构造函数f（x）=（x+1），利用导数研究函数单调性并确定其最值．从而得到正整数k的最大值．（2）根据（1）的结论得到ln（1+n（n+1））＞2-，从而可得ln（1+1o2）+ln（1+2o3）+ln（1+3o4）…+ln（1+n（n+1））＞2-+2-+…+2-，利用裂项相消法求和即可证明不等式．
本题考点：
导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评：
本题考查导数在函数单调性、最值中的应用，以及放缩法证明不等式的技巧，属于难题．
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证明：对任意的正整数n,不等式ln(e^n+1)&n+1/e^n恒成立
令f(n)=ln(e^n+1)-n-e^-nf'(n)=e^n/(e^n+1)-1+1/e^n=1/(e^n+1)·e^n 恒大于0∴f(n)单调递增∵lim(n→+∞)f(n)=n-n=0∴f(n)&0∴不等式ln(e^n+1)&n+1/e^n恒成立
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出门在外也不愁证明:对任意正整数n,不等式ln（n+1）/n<（n+1）/（n^2）
令f(x)=xln(x+1)－xlnx－(x+1)/x,x>=1.则f'(x)=ln(x+1)－lnx+x/(x+1)－1+1/x^2,f''(x)=1/(x+1)－1/x+1/(x+1)^2－2/x^3=－1/【(x+1)x】+1/(x+1)^2－2/x^3＝－1/【x(x+1)^2】－2/x^3<0于是f'(x)是递减函数,注意到lim (x趋于无穷)f'(x)=lim ln(1+1/x)+1/x^2－1/(x+1)=0,因此f'(x)>0对任意的x>=1.故f(x)是递增函数,但lim (x趋于无穷)f(x)=lim 【xln(1+1/x)－(x+1)/x】＝0,于是f(x)<0对所有的x成立.即有ln(1+1/x)=1时.令x取正整数即可.
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你这题应该是一道大题里面的一个小题,所以才会有a＝-1和g(x)g(x)应该是题目给出的一个函数,辅助证明这道题的&如果不知道,自己也可以根据题目构造然后利用单调性证明&过程如下图：&
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