上帝公式如何体现数学的高度统一性。圆周率，e，i，1，0。完美得呈现在一个式子里，我感觉不是偶然。
无 产生 万物，世界是无中生有
这个公式是由指数函数在复数域的推广得到的。&br&&br&在实数范围内，将指数函数&img src=&///equation?tex=e%5Ex& alt=&e^x& eeimg=&1&&泰勒展开，得到&img src=&///equation?tex=e%5Ex%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn%21%7D%3D1%2Bx%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%21%7Dx%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%21%7Dx%5E3%2B...& alt=&e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+...& eeimg=&1&&&br&解析延拓到复平面，得到类似的形式&img src=&///equation?tex=e%5Ez%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bz%5En%7D%7Bn%21%7D%3D1%2Bz%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%21%7Dz%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%21%7Dz%5E3%2B...& alt=&e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}=1+z+\frac{1}{2!}z^2+\frac{1}{3!}z^3+...& eeimg=&1&& (z为任意复数)&br&此为复平面上的指数函数。&br&&br&将&img src=&///equation?tex=z%3Dix& alt=&z=ix& eeimg=&1&&带入，得到&img src=&///equation?tex=e%5E%7Bix%7D%3D1%2Bix%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%21%7D%28ix%29%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%21%7D%28ix%29%5E3%2B...& alt=&e^{ix}=1+ix+\frac{1}{2!}(ix)^2+\frac{1}{3!}(ix)^3+...& eeimg=&1&&&br&注意到&img src=&///equation?tex=i%5E1%3Di%5Cquad+i%5E2%3D-1%5Cquad+i%5E3%3D-i%5Cquad+i%5E4%3D1%5Cquad+i%5E5%3Di...& alt=&i^1=i\quad i^2=-1\quad i^3=-i\quad i^4=1\quad i^5=i...& eeimg=&1&&&br&即&img src=&///equation?tex=e%5E%7Bix%7D%3D1%2Bix-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%21%7D-i%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B3%21%7D%2B%5Cfrac%7Bx%5E4%7D%7B4%21%7D%2Bi%5Cfrac%7Bx%5E5%7D%7B5%21%7D%2B...& alt=&e^{ix}=1+ix-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+i\frac{x^5}{5!}+...& eeimg=&1&&&br&&br&其中第1、3、5…项（奇数项）恰好是余弦函数的泰勒展开&br&&img src=&///equation?tex=cos%28x%29%3D1-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%21%7D%2B%5Cfrac%7Bx%5E4%7D%7B4%21%7D-%5Cfrac%7Bx%5E6%7D%7B6%21%7D%2B...& alt=&cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...& eeimg=&1&&&br&而第2、4、6…项（偶数项）是正弦函数的泰勒展开的&img src=&///equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&倍&br&&img src=&///equation?tex=isin%28x%29%3Dix-i%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B3%21%7D%2Bi%5Cfrac%7Bx%5E5%7D%7B5%21%7D-i%5Cfrac%7Bx%5E7%7D%7B7%21%7D%2B...& alt=&isin(x)=ix-i\frac{x^3}{3!}+i\frac{x^5}{5!}-i\frac{x^7}{7!}+...& eeimg=&1&&&br&&br&于是我们得到&img src=&///equation?tex=e%5E%7Bix%7D%3Dcos%28x%29%2Bisin%28x%29& alt=&e^{ix}=cos(x)+isin(x)& eeimg=&1&&,此为复分析中的欧拉公式(Euler's formula).&br&&br&将&img src=&///equation?tex=x%3D%5Cpi& alt=&x=\pi& eeimg=&1&&带入，得到&img src=&///equation?tex=e%5E%7Bi%5Cpi%7D%3Dcos%28%5Cpi%29%2Bisin%28%5Cpi%29%3D-1%2B0%3D-1& alt=&e^{i\pi}=cos(\pi)+isin(\pi)=-1+0=-1& eeimg=&1&&&br&移项后得到欧拉恒等式(Euler's identity) &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bi%5Cpi%7D%2B1%3D0& alt=&e^{i\pi}+1=0& eeimg=&1&&&br&&br&当然不用泰勒展开，直接微积分法构造函数也能得到欧拉公式，就不详细说了。&br&&br&为什么“自洽”，因为是推导出来的。非要再深究的话就要涉及泰勒公式的推导了，任意一本高数书、网上部分课件里都有介绍，需要一定微积分基础，自己找找看就好了。至于什么是“高度统一性”，这个词我不太明白。
这个公式是由指数函数在复数域的推广得到的。在实数范围内，将指数函数e^x泰勒展开，得到e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+...解析延拓到复平面，得到类似的形式e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}=1+z+\fra…
为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平“*”在数学公式中是什么意思_百度知道
“*”在数学公式中是什么意思
提问者采纳
就是乘以的意思啦~~~~
其他类似问题
为您推荐：
数学公式的相关知识
等待您来回答
下载知道APP
随时随地咨询
出门在外也不愁//在数学公式中是什么意思?_百度知道
//在数学公式中是什么意思?
我有更好的答案
两直线平行：AB / CD ;&#47。例如：AB与CD相互平行，记作//
在数学公式中是什么意思
其他类似问题
为您推荐：
数学公式的相关知识
等待您来回答
下载知道APP
随时随地咨询
出门在外也不愁}