已知：如图，四边形ABCD中，∠ADC=60°，∠ABC=30°，AD=CD．求证：BD2=AB2+BC2．
证明：如图，将△ADB以D为旋转中心，顺时针旋转60°，使A与C点重合，B与E点重合，连接BE，∴∠ABD=∠CED，∠A=∠ECD，AB=CE，DB=DE，又∵∠ADC=60°，∴∠BDE=60°，∴△DBE为等边三角形，∴DB=BE，又∴∠ECB=360°-∠BCD-∠DCE=360°-∠BCD-∠A=360°-（360°-∠ADC-∠ABC）=60°+30°=90°，∴△ECB为直角三角形，∴EC2+BC2=BE2，∴BD2=AB2+BC2．
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将△ADB以D为旋转中心，顺时针旋转60°，使A与C点重合，B与E点重合，连接BE，根据旋转的性质得∴∠ABD=∠CED，∠A=∠ECD，AB=CE，DB=DE，易得△DBE为等边三角形，则DB=BE，根据周角的定义和四边形内角和定理得∠ECB=360°-∠BCD-∠DCE=360°-∠BCD-∠A=360°-（360°-∠ADC-∠ABC）=60°+30°=90°，则△ECB为直角三角形，根据勾股定理得EC2+BC2=BE2，利用等线段代换即可得到结论．
本题考点：
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
考点点评：
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．
把BC绕B逆时针旋转60°记为BE连接AE.CE。则角ABE为90度。所以AB的平方+BE的平方=AE的平方。∵∠ADC=60°，AD=DC,∴AC=DC又∵BC=BE,∠CBE=60°∴∠BCE=60°又有∠ACD=60°所以∠DCB=∠ACE所以△DCB全等于△ACE[SAS].∴DB=AE,∴AB平方+BC平方=BD平方。
证明:连结AC,因为AD=DC,∠ADC=60°则△ACD是等边三角形.过B作BE⊥AB,使BE=BC,连结CE,AE则∠EBC=90°－∠ABC=90°－30°=60°∴△BCE是正三角形,又∠ACE=∠ACB＋∠BCE=∠ACB＋60°∠DCB=∠ACB＋∠ACD=∠ACB＋60°∴∠ACE=∠DCB<b...
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已知：如图，四边形ABCD中，∠ADC＝60°，∠ABC＝30°，AD＝CD．求证：BD2＝AB2＋BC2．
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京ICP备号 京公网安备如图,在凸四边形ABCD中,∠ABC=30,∠ADC=60过B作AB⊥BE使BE=BC我想了好久,不知道怎么做“过B作AB⊥BE使BE=BC"
有两个方向可作AB的垂线.
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你好,不知道你的图是啥样的,你可以作线段AB的延长线,然后做一条垂直于线段AB的线段BE交线段AB于B,长度等于线段BC即可
B是垂足，所以直接过B点作一直线垂直于AB，然后截取BE=BC。
扫描下载二维码考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质
分析：（1）由∠ADC=60°，AD=DC，易得△ADC是等边三角形，又由△BCE是等边三角形，可证得△BDC≌△EAC（SAS），即可得BD=AE；（2）由△BCE是等边三角形，∠ABC=30°，易得∠ABE=90°，然后由勾股定理求得AE的长，即可求得BD的长．
解答：（1）证明：∵在△ADC中，AD=DC，∠ADC=60°，∴△ADC是等边三角形，∴DC=AC，∠DCA=60°；又∵△BCE是等边三角形，∴CB=CE，∠BCE=60°，∴∠DCA+∠ACB=∠ECB+∠ACB，即∠DCB=∠ACE，在△BDC和△EAC中，DC=AC∠DCB=∠ACECB=CE，∴△BDC≌△EAC（SAS），∴BD=AE；（2）解：∵△BCE是等边三角形，∴BE=BC=3，∠CBE=60°．∵∠ABC=30°，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．在Rt△ABE中，AE=AB2+BE2=22+32=13，∴BD=AE=13．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
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