（2012o沈阳）已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（-2，0），点B坐标为（0，2），点E为线段AB上的动点（点E不与点A，B重合），以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段0B于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=-x2+mx+n的图象经过A，C两点．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）求证：∠BEF=∠AOE；（3）当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；（4）在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1）中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（2+1）倍？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用三角形外角性质，易证∠BEF=∠AOE；（3）当△EOF为等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论，注意不要漏解；（4）本问关键是利用已知条件求得点P的纵坐标，要点是将△EPF与△EDG的面积之比转化为线段之比．如图④所示，首先证明点E为DF的中点，然后作x轴的平行线FN，则△EDG≌△EFN，从而将△EPF与△EDG的面积之比转化为PE：NE；过点P作x轴垂线，可依次求出线段PT、PM的长度，从而求得点P的纵坐标；最后解一元二次方程，确定点P的坐标．
解：（1）如图①，∵A（-2，0）B（0，2）∴OA=OB=2，∴AB2=OA2+OB2=22+22=8∴AB=2，∵OC=AB∴OC=2，即C（0，2）又∵抛物线y=-x2+mx+n的图象经过A、C两点则可得，解得．∴抛物线的表达式为y=-x2-x+2．（2）∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠BAO=∠ABO=45°又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF，∴∠BEF=∠AOE．（3）当△EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论①当OE=OF时，∠OFE=∠OEF=45°在△EOF中，∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE=180°-45°-45°=90°又∵∠AOB=90°则此时点E与点A重合，不符合题意，此种情况不成立．②如图2，当FE=FO时，∠EOF=∠OEF=45°在△EOF中，∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°∴EF∥AO，∴∠BEF=∠BAO=45° 又∵由（2）可知，∠ABO=45°∴∠BEF=∠ABO，∴BF=EF，EF=BF=OB=×2=1& ∴E（-1，1）③如图③，当EO=EF时，过点E作EH⊥y轴于点H在△AOE和△BEF中，∠EAO=∠FBE，EO=EF，∠AOE=∠BEF∴△AOE≌△BEF，∴BE=AO=2∵EH⊥OB，∴∠EHB=90°，∴∠AOB=∠EHB∴EH∥AO，∴∠BEH=∠BAO=45°在Rt△BEH中，∵∠BEH=∠ABO=45°∴EH=BH=BEcos45°=2×=∴OH=OB-BH=2-∴E（-，2-）综上所述，当△EOF为等腰三角形时，所求E点坐标为E（-1，1）或E（-，2-）．（4）假设存在这样的点P．当直线EF与x轴有交点时，由（3）知，此时E（-，2-）．如图④所示，过点E作EH⊥y轴于点H，则OH=FH=2-．由OE=EF，易知点E为Rt△DOF斜边上的中点，即DE=EF，过点F作FN∥x轴，交PG于点N．易证△EDG≌△EFN，因此S△EFN=S△EDG，依题意，可得S△EPF=（2+1）S△EDG=（2+1）S△EFN，∴PE：NE=（2+1）：1．过点P作PM⊥x轴于点M，分别交FN、EH于点S、T，则ST=TM=2-．∵FN∥EH，∴PT：ST=PE：NE=2+1，∴PT=（2+1）oST=（2+1）（2-）=3-2；∴PM=PT+TM=2，即点P的纵坐标为2，∴-x2-x+2=2，解得x1=0，x2=-1，∴P点坐标为（0，2）或（-1，2）．综上所述，在直线EF上方的抛物线上存在点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（2+1）倍；点P的坐标为（0，2）或（-1，2）．4发现相似题问题分类：初中英语初中化学初中语文
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某合作学习小组对问题一条定直线上的动点与直线外同侧两定点所连线段的夹角的最大值进行了探究。（1）如图一，点A、B是定直线CD外同侧的两个定点，E是CD上一点，且经过A、B、E的圆O恰好与直线CD相切，点P是直线CD上不与点E重合的任意一点，连接AE、BE、AP、BP，求证∠AEB＞角APB;
（2）由（1）可得若直线上存在某个点，经过这个点和两定点的圆恰好与这条直线相切，则这个点与两定点所连线段所构成的角最大。请利用这个结论解决以下问题：
①如图2，直线l与AB平行，且平行线间的距离为根号3，AB=2，P是直线l上的一个动点，求角APB得最大值;
②如图3，在平面直角坐标系中，A（1,0），B（5,0），直线l经过点C（-1,2），点P是直线l上的动点，若角APB的最大值为45°，求直线l的解析式
悬赏雨点：20 学科：【】
解：(1)如图，直线上的任意一点P，过A、B、P作圆O`，交直线CD于PP`。
显然圆O和圆O`的圆心O、O`都在直线AB的垂直平分线上，并且有∠AOB＞∠AO`B,
由圆周角定理知，∠AOB=2∠AEB,&∠AO`B=2∠APB,
∴∠AEB＞∠APB
(2)过A、B、P作圆O，那么圆心O一定在AB的垂直平分线m上，那么根据（1）可知，当∠APB最大时，⊙O与直线l相切，切点为P。
根据题目知，
AB=2，AE=EB=1，PE=√3，那么根据勾股定理，AP=PB=2，
∠APB=60°。
(3)过A、B、P作圆O,因为∠APB的最大值为45°，所以∠AOB=2∠APB=90°,
O在AB的垂直平分线上，A(1，0)B(5，0),
∴O(3，2),
过O作l 的垂线，垂足即为P，并且OP=AO=2√2。
直线l 过点C（-1,2），所以解析式可设为y=k(x+1)+2即kx -y + 2+k=0，
根据点到直线的距离公式
A=k, B=-1, C=k+2,d=2√2，带入计算即可求出k值。
&&获得：20雨点
暂无回答记录。已知,由垂径定理得,弧弧,由圆周角定理得,是的平分线,则,由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和得,,,所以,由等角对等边得证;连接,,由同角或等角的余角相等得,,可证得到,又因为,由垂径定理得,为的中点,即,得证,得,设的半径为,由勾股定理得,,,可求得,,即;(方法二提示:可连接,证)的值不变.作于,连接,,,由垂径定理得,,且,由正弦的概念得,,由直线求得,即,由垂径定理得,由三角形的外角与内角的关系得:,,由圆周角定理知,所以,.
,弧弧..,,,..连接,,则,又,而,...,为的中点.,...设的半径为,由,,得解得,或(不合题意,舍去)..(方法二提示:可连接,证)的值不变.证明:作于,连接,,,则,且,由直线得,,.又,,,,.所以的值不变,其值为.
本题利用了垂径定理,直角三角形的性质,全等三角形和相似三角形的判定及性质,勾股定理圆周角定理,一次函数的图象与坐标轴的关系,三角形的外角与内角的关系求解,综合性强,涉及多个知识点.
3928@@3@@@@圆周角定理@@@@@@260@@Math@@Junior@@$260@@2@@@@圆@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3881@@3@@@@角平分线的性质@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3925@@3@@@@垂径定理@@@@@@260@@Math@@Junior@@$260@@2@@@@圆@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3996@@3@@@@相似三角形的判定与性质@@@@@@266@@Math@@Junior@@$266@@2@@@@图形的相似@@@@@@53@@Math@@Junior@@$53@@1@@@@图形的变化@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
@@52@@7##@@52@@7##@@52@@7##@@53@@7
第三大题，第4小题
第九大题，第2小题
求解答 学习搜索引擎 | 已知:如图,直线y=kx+3(k>0)交x轴于B点,交y轴于A点,以A为圆心,AB为半径作圆A交x轴于另一点D,交y轴于E,F两点,交直线AB于C点,连接BE,CE,角CBD的平分线交CE于I点.(1)求证:BE=IF;(2)若AI垂直于CE,设Q为BF上一点,连接DQ交y轴于T,连接BQ并延长交y轴于G点,求AToAG的值;(3)设P为线段AB上的一个动点(异于A,B),连接PD交y轴于M点,过P,M,B三点作圆{{O}_{1}}交y轴于另一点N.设圆{{O}_{1}}的半径为R,当k=\frac{3}{4}时,给出下列两个结论:\textcircled{1}MN的长度不变;\textcircled{2}\frac{MN}{R}的值不变,其中有且只有一个结论是正确的,请你判断哪一个结论正确,证明正确的结论并求出其值.}