如图甲正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，先将△ABC沿CD折叠成直二面角A-DC-B（如图乙），在乙图中：（Ⅰ）求二面角E-DF-C的余弦值；（Ⅱ）在线段BC上找一点P_作业帮
如图甲正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，先将△ABC沿CD折叠成直二面角A-DC-B（如图乙），在乙图中：（Ⅰ）求二面角E-DF-C的余弦值；（Ⅱ）在线段BC上找一点P
如图甲正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，先将△ABC沿CD折叠成直二面角A-DC-B（如图乙），在乙图中：（Ⅰ）求二面角E-DF-C的余弦值；（Ⅱ）在线段BC上找一点P，使AP⊥DE，并求BP．（Ⅲ）求三棱锥D-ABC外接球的表面积．（只需用数字回答，可不写过程）
（Ⅰ）∵AD⊥CD，BD⊥CD，∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角∴AD⊥BD∴AD⊥平面BCD，取CD的中点M，这时EM∥AD，∴EM⊥平面BCD过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则EN⊥DF∴∠MNE是二面角E-DF-N的平面角在&Rt△EMN中，EM=AD=AB=1，MN=，∴EN=，cos∠MNE=，∴二面角E-DF-C的余弦值为．（Ⅱ）在线段BC上取点P，使BP=，过P作PQ⊥CD于Q，∴PQ⊥平面ACD，∵DQ=，在等边△ADE中，∠DAQ=30°，∴AQ⊥DE，∴AP⊥DE．（3）∵正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，将△ABC沿CD折叠成直二面角A-DC-B，∴CD、BD、AD两两垂直，AD=BD=2，CD=
本题考点：
二面角的平面角及求法；球的体积和表面积；点、线、面间的距离计算．
问题解析：
（Ⅰ）由已知条件推导出∠ADB是二面角A-CD-B的平面角，过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则∠MNE是二面角E-DF-N的平面角，由此能求出二面角E-DF-C的余弦值．（Ⅱ）在线段BC上取点P，使BP=，过P作PQ⊥CD于Q，由此能求出结果．（3）分别以CD、BD、AD为棱构造一个长方体，则这个长方体的外接球就是三棱锥D-ABC外接球，由此能求出三棱锥D-ABC外接球的表面积．已知：如图①，△ABC为边长为2的等边三角形，D、E、F分别为AB、AC、BC中点，连接DE、DF、EF．将△BDF向右平移，使点B与点C重合；将△ADE向下平移，使点A与点C重合，如图②．
（1）设△ADE、△BDF、△EFC的面积分别为&S1、S2、S3，则S1+S2+S3＜ （用“＜、=、＞”填空）
（2）已知：如图③，∠AOB=∠COD=∠EOF=60°，AD=CF=BE=2，设△ABO、△CDO、△EFO的面积分别为S1、S2、S3；问：上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（可利用图④进行探究）
解：（1）S1+S2+S3＜（2分）
（2）结论成立（3分）
证明一：延长OB到H使BH=OE
延长OA到G使AG=OD
连接HG（4分）
∵OA+AG=OA+DO=AD=2
OB+BH=OB+OE=BE=2
∠AOB=60°
∴△GHO是等边三角形
∵OG=OH=HG=2
∴S△GHO=（5分）
在HG上取点M，使MG=OC
∵HM+MG=HG=2
OC+OF=CF=2
在△MGA和△COD中，
∴△MGA≌△COD
同理可证：△MHB≌△FOE（6分）
∴S2=S△MHB，S3=S△MGA
由图形可知：S△ABO+S△MHB+S△MGA+＜S△GHO（7分）
∴S1+S2+S3＜S△GHO=
即S1+S2+S3＜（8分）已知如图,三角形abc中,角a c b等于90度,ac等于bc,d是a b的中点,点e在ac上,点已知如图,三角形abc中,角a c b等于90度,ac等于bc,d是a b的中点,点e在ac上,点f在bc上,且ae等干于c f.求证:de等于df
d e垂直_作业帮
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连接CD.因为在三角形ABC中,角ACB=90度,ac=所以三角形ABC为等腰直角三角形.又因为d是斜边的中点,（三线合一）证明三角形全等（SAS)一问解毕.2.四边形的对角互补.则角EDF=180-90=90度易得结果了.步骤不详细,这是卷子,还是自己完善一下.主体思想我已给出,
证明：(1)连接CD．∵BC=AC，∠BCA=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵D为BC中点，∴BD=CD，CD平分∠BCA，CD⊥AB．∵∠A+∠ACD=∠ACD+∠FCD=90°，∴∠A=∠FCD，在△ADE和△CFD中，AE＝CF
∠A＝∠FCD如图，在三角形abc中，ab等于a c，d为bc的中点，de垂直a b于点e，df垂直ac于点f，_百度知道
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太给力了，你的回答完美地解决了我的问题，非常感谢！
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证明：∵DF//AB∴∠DFC＝∠A,∠FDC＝∠B∵DE//AC∴∠EDF＝∠DFC,∠EDB＝∠C∴∠EDF＝∠A∵∠EDF+∠FDC+∠EDB＝∠BDC＝180° （平角）∴∠A+∠B+∠C＝180°}