拉格朗日插值多项式逼近 -
拉格朗日插值多项式逼近
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　　拉格朗日插值多项式是一种最常见的多项式插值法，也是一种最常用的逼近工具。设?(x)是定义在区间【α,b】上的函数，又设x1,x2,…,xn是【α,b】上的n个互不相同的点。早在1795年就证明:如果在点xK处的函数值yK=?(xK)(k=1,2,…,n)是已知的,则存在惟一的次数不高于n-1的代数多项式ln(?,x)使得 。倘若记 ， 则ln(?,x)有表达式 常称ln(?,x)为?(x)的拉格朗日插值多项式，为其结点组。若?(x)是个次数不高于n-1的代数多项式，则ln(?,x)=?(x)。ln(?,x)的几何意义是有且仅有一条n-1次代数曲线通过平面上预先给定的 n个横坐标互不相同的点。又称为拉格朗日插值的基本多项式。不论在理论上还是在实用上，拉格朗日插值多项式都是一种重要的逼近工具。假设?(x)在 【α,b】上存在n阶导数，则ln(?,x)逼近?(x)的偏差有这样的表达式 式中ξ是【α,b】中某一与x有关的点。当然，这里对被逼近函数的要求太高，研究低度的插值逼近是很重要的。 　　对于给定的结点组记
常称λn(x)为此结点组的勒贝格函数，λn为其勒贝格常数。如果记En-1(?)为次数不高于n-1的代数多项式对连续函数?(x)的最佳逼近值，则 而且有 因此，应该选取使λn尽可能小的结点组，或说让诸结点在【α,b】上均匀分布是合理的。但事实并非这样，即使对于函数?(x)=｜2x-α-b｜,此时相应的ln(?,x)也不能实现对?(x)的逼近。至于选择其他结点组,仅要求函数连续也未必可行。因为G.费伯曾经证明,对于【α,b】上的任意一列结点组，n =1，2，…,都有【α,b】上的连续函数?(x)，使得相应的拉格朗日插值多项式序列在【α,b】上不于?(x)。此外,还有 　　因此,选择使勒贝格函数λn(x)关于 n的增长速度接近于ln n的结点组序列是人们所期望的。最常用的是在【-1,1】上取Tn(x)=cos(n arccosx)的零点全体 作为结点组。 　　其相应的勒贝格常数不超过 于是只要函数?(x)合乎迪尼－李普条件则它的拉格朗日插值多项式ln(?,x)在n →∞时，在【-1，1】上就一致收敛于?(x)。这里 ω(?,δ)是?(x)的连续性模。用这种结点组的拉格朗日插值多项式逼近连续函数，其与最佳逼近值相比较，还有一个对数因子。如何修改插值多项式的构造以改善它的逼近性能，是人们所重视的问题。修改的办法很多，常用的是由所提出的线性求和法。例如，令 x=cosθ (0≤θ≤π)，定义 或令，定义 如仍取Tn(x)的零点全体作为结点组,则存在绝对常数с，使得在［-1,1］上都有
这说明，上述两种多项式对于低度光滑函数都有良好的逼近性能。 　　代替有限区间上的一致逼近，也可以考虑积分平均逼近，以及无限区间上的逼近。代替切比雪夫多项式的零点，可以考虑用雅可比多项式的零点作结点。而在周期的情况下，代替代数多项式的插值逼近自然以三角多项式的插值逼近为宜。此时，用周期区间的均匀分布的结点组是较合适的，可以建立类似于傅里叶级数部分和逼近函数的结果。&
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高数 连续函数的多项式逼近（1） 数学分析 高数 连续函数的多项式逼近（1）
高数 连续函数的多项式逼近（1） 数学分析&高数&连续函数的多项式逼近（1）
先证明满足条件的多项式只能是0,然后用一列多项式序列一致逼近f(x)即可
谢谢老师！您指的满足条件的多项式只能是零是什么意思呢？能不能这样做：因为f（x）在[0，1]上连续，所以存在多项式列{Pn（x）}在[0，1]上一致收敛到f（x）由条件，则有∫[0，1]f（x）Pn（x）dx=0取极限，极限号与积分号交换，有lim∫[0，1]f（x）Pn（x）dx=∫[0，1]（limf（x）Pn（x））dx=∫[0，1]f^2（x）dx=0然后用这个结论证明f（x）在[0，1]上恒为0？
可以的我的本意是这样，在f是多项式的情况下直接用条件来得到=\int f^2 dx=0然后只要知道这个技术，就可以=lim =0
明白了，谢谢您！
老师有空能不能再看看这道（图片错了，直接看标题上的是题目）：
/question/2833260.html?quesup2&oldq=1
老师，请问如何判断级数1/（nsinn）的敛散性呢？
这个级数是发散的，因为通项不收敛到0
谢谢～可是我试了下发现这个极限不趋于0我也不会证…拜托老师再次提示L_M～(Ba)空间上的单调多项式逼近 - 中国学术期刊网络出版总库
中国学术期刊网络出版总库
L_M～(Ba)空间上的单调多项式逼近
【Author】
LIU Xiao-yan,WU Garidi(College of Mathematics Science,Inner Mongolia Normal University,Hohhot 010022,China)
【摘要】 讨论了L_M～(Ba)空间上的单调函数用单调多项式的逼近问题,构造了两个线性且保持单调的算子Sn(f,x)和Ln(f,x),证明了它们在L_M～(Ba)空间上有界,并且与f的误差可以用二阶带权连续模控制.
【关键词】 ；
国家自然科学基金资助项目();内蒙古自然科学基金资助项目()
【分类号】O174.41
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求f(x)=x3在[1，1]上关于ρ(x)=1的最佳平方逼近二次多项式
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求f(x)=x3在[-1，1]上关于ρ(x)=1的最佳平方逼近二次多项式
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