谁有更漂亮完美的初等方法证明cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ | 死理性派小组 | 果壳网 科技有意思
821061人加入此小组
偶然看到四川2010年高考题2010 四川（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式Cα+β：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ因为所有三角公式都可以由以上公式推导出来，所以这个基本式子的严谨证明就显得很重要，翻遍了所有的资料，用欧拉公式证明最严谨简单，但是欧拉公式本身需要微积分的基础，怎样在初等范围内严谨的证明这个式子，四川的高考答案是不严谨的，用了显然成立或默认成立的方法。首先要说明的是，问题的关键是α,β是任意角，所以需要一些讨论，但一讨论，证明就显得不漂亮，怎样尽可能的减少讨论，又非常严谨，我目前只能做到如下证明，欢迎有更严谨更漂亮不需要讨论角度情况的证明出现。证明：我们证明cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,高考题目的情况用-β代β就可以了在直角坐标系中以原点为圆心作一个单位圆，单位圆上任取两个点A和B，他们和X轴正向的夹角分别是α和β(α,β是任意角),构成两个向量OA和OB，那么α和β可以分别表达为：α=2mπ+α0
(0&=α0&2π) (m为整数）β=2nπ+β0
(0&=β0&2π) (n为整数）OA=(cosα-0,sinα-0)
=(cosα,sinα)OB=(cosβ-0,sinβ-0)
=(cosβ,sinβ)|OA|=1,|OB|=1根据向量的点积OA*OB=|OA||OB|cos(OA和OB的夹角)所以cosαcosβ+sinαsinβ=cos(OA和OB的夹角)下面就要讨论一下了，尽管很不舒服，但是只能讨论，不讨论认为很显然的办法是不严谨的，欢迎有象欧拉法那样不需要讨论又是初等的方法的证明。首先由
0&=α0&2π和-2π&-β0&=0得到 -2π&α0-β0&2π 即
|α0-β0|&2π什么是向量OA和OB的夹角？|α0-β0|是不是？按向量夹角的定义，要求0&=|α0-β0|&=π。当π&|α0-β0|&2π时不能满足以上要求，此时应为2π-|α0-β0|但是cos(2π-|α0-β0|)=cos(|α0-β0|)于是得到证明如下：cosαcosβ+sinαsinβ=cos(OA和OB的夹角)=cos(|α0-β0|)=cos(α0-β0)=cos(2(m-n)π+α0-β0)=cos(α-β)即cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ用-β代β就可以得到高考题的结论
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ以上证明让我感觉很不漂亮的是要讨论夹角的情况，谁有更漂亮完美的初等法？请注意，问题的关键是α和β是任意角，不能想当然画个三角形就开始证明了。实际上，我们用到了向量内积两种定义的等价性设a=(a1,a2,a3,...an),b=(b1,b2,b3,...bn)那么 a*b=|a||b|cos(a,b)和a*b=a1b1+a2b2+...+anbn等价针对三维的证明见希望见到针对n维的证明
+ 加入我的果篮
(C)2015果壳网&京ICP备号-2&京公网安备当前位置：
＞＞＞已知向量a=（2cosα，2sinα），b=（3cosβ，3sinβ），若向量a与b的夹角..
已知向量=（2cosα，2sinα），=（3cosβ，3sinβ），若向量与的夹角为60°，则直线xcosα-ysinα+=0与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=的位置关系是（　　）
D．相交且过圆心
题型：单选题难度：偏易来源：不详
马上分享给同学
据魔方格专家权威分析，试题“已知向量a=（2cosα，2sinα），b=（3cosβ，3sinβ），若向量a与b的夹角..”主要考查你对&&用数量积表示两个向量的夹角，直线与圆的位置关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
用数量积表示两个向量的夹角直线与圆的位置关系
用数量积表示两个向量的夹角：
设都是非零向量，，θ是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得。向量数量积问题中方法提炼：
（1）平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据定义来计算，二是利用坐标来计算，具体应用哪种形式应根据已知条件的特征来选择；（2）平面向量数量积的计算类似于多项式的运算，解题中要注意多项式运算方法的运用；（3）平面向量数量积的计算中要注意平面向量基本定理的应用，选择合适的基底，以简化运算（4）向量的数量积是一个数而不是一个向量。直线与圆的位置关系：
由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三种位置关系：（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 其图像如下： 直线和圆的位置关系的性质：
（1）直线l和⊙O相交d＜r（2）直线l和⊙O相切d=r；（3）直线l和⊙O相离d＞r。直线与圆位置关系的判定方法：
(1)代数法:判断直线Ax+By+C=0和圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系，可由&推出mx2+nx+p=0，利用判别式△进行判断．△&0则直线与圆相交；△=0则直线与圆相切；△&0则直线与圆相离．(2)几何法:已知直线Ax+By+C=0和圆，圆心到直线的距离 d&r则直线和圆相交；d=r则直线和圆相切；d&r则直线和圆相离．特别提醒:(1)上述两种方法，以利用圆心到直线的距离进行判定较为简捷，而判别式法也适用于直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的判断．(2)直线与圆相交，应抓住半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形，可使解法简单.
直线与圆位置关系的判定方法列表如下：
直线与圆相交的弦长公式：
（1）几何法：如图所示，直线l与圆C相交于A、B两点，线段AB的长即为l与圆相交的弦长。设弦心距为d，半径为r，弦为AB，则有|AB|= （2）代数法：直线l与圆交于直线l的斜率为k，则有当直线AB的倾斜角为直角，即斜率不存在时，|AB|=
发现相似题
与“已知向量a=（2cosα，2sinα），b=（3cosβ，3sinβ），若向量a与b的夹角..”考查相似的试题有：
484674572859573519484028253061519710我来帮Ta解答
优点奖励在老师审核通过后1个工作日内补发。对以下几种情况，无优点奖励：
1、自问自答、违规作答；
2、多人三题以上相互提问、回答。
回答前请先登录，采纳后可获优点奖励。考点：平面向量数量积的运算,平面向量的坐标运算
专题：平面向量及应用
分析：（Ⅰ）建立直角坐标系，设的顶点在原点，始边在x轴非负半轴，角α、β的终边分别与单位圆交于M（cosα，sinα）、N（cosβ，sinβ），则由两个向量的数量积的定义可得OM•ON=cos(α-β)，再利用两个向量的数量积公式可得OM•ON=cosαcosβ+sinαsinβ，从而证得公式成立；（Ⅱ）根据向量a=（sinθ，-2）与b=（1，cosθ）互相垂直，得到sinθ=2cosθ，然后，求解即可．
（Ⅰ）证明：建立直角坐标系，设的顶点在原点，始边在x轴非负半轴，角α、β的终边分别与单位圆交于M（cosα，sinα）、N（cosβ，sinβ），则由两个向量的数量积的定义可得OM•ON=cos(α-β)，再利用两个向量的数量积公式可得OM•ON=cosαcosβ+sinαsinβ，∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．（Ⅱ）∵向量a=（sinθ，-2）与b=（1，cosθ）互相垂直，∴a•b=sinθ-2cosθ=0，∴sinθ=2cosθ，∵sin2θ+cos2θ=1，θ∈（0，π2），∴sinθ=255，cosθ=55，∵sin（θ-φ）=1010，cosφ=cos[θ-（θ-φ）]=cosθcos（θ-φ）+sinθsin（θ-φ）=55××1010=22．∴cosφ=22．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义、两个向量的数量积公式、两角差的三角公式等知识，属于中档题．
请在这里输入关键词：
科目：高中数学
已知函数f（n）=n2(n=2k-1，k∈N*)-n2(n=2k，k∈N*)，若an=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a2014=（　　）
A、2013B、2014C、2015D、2016
科目：高中数学
已知x2+y2-4x-2y-4=0，求2x+3y+3x+3的最大值（　　）
A、2B、174C、295D、13413
科目：高中数学
如果变量x，y满足条件x-2y+4≤0x+2y-8≤0x≥0且z=3x+y，那么z的取值范围是．
科目：高中数学
已知函数f（x）=x2-alnx，a∈R．（Ⅰ）&讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．
科目：高中数学
已知双曲线x24-y25=1的右焦点与抛物线y2=ax的焦点重合，则该抛物线的准线被双曲线所截的线段长度为（　　）
A、4B、5C、52D、52
科目：高中数学
直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=6cosθy=2sinθ（θ为参数），直线l的参数方程为x=32ty=2-12t（t为参数），T为直线l与曲线C的公共点．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点T的极坐标；（2）P是曲线C上的一点，求P到直线l的距离的最大值．
科目：高中数学
大毛和二毛两家相距1400m，大毛每分钟走60m，二毛每分钟走80m，一只小狗以140m/min的速度在他们俩之间来回跑，直到他们相遇为止．小狗跑了几米？
科目：高中数学
如右数阵共有10列，其中第一行的数是首项为1，公差为1的等差数列；第二行的数是首项为第一行第十列的数加上2，公差为2的等差数列；第三行的数是首项为第二行第十列的数加上4，公差为4的等差数列，…，第n行的数是首项为第n-1行第十列的数加上2（n-1），公差为2（n-1）的等差数列，则第n行第7列的数为．（用表示）123…5121416…30343842…………………Hi~亲，欢迎来到题谷网,新用户注册7天内每天完成登录送积分一个，7天后赠积分33个，购买课程服务可抵相同金额现金哦~
意见详细错误描述：
教师讲解错误
错误详细描述：
当前位置：>>>
已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零实数，又知f(2007)＝－1，求f(2008)．
下面这道题和您要找的题目解题方法是一样的，请您观看下面的题目视频
设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零实数，若f(2006)＝－1，则f(2007)＝________．
主讲：王士轩
解：f(2007)＝asin(2007π＋α)＋bcos(2007π＋β)＝asin(2006π＋π＋α)＋bcos(2006π＋π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asinα－bcosβ＝－(asinα＋bcosβ)，∵f(2007)＝－1，∴asinα＋bcosβ＝1，∴f(2008)＝asin(2008π＋α)＋bcos(2008π＋β)＝asinα＋bcosβ＝1．
给视频打分
电话：010-
地址：北京市西城区新街口外大街28号B座6层601
扫一扫有惊喜！
COPYRIGHT (C)
INC. ALL RIGHTS RESERVED. 题谷教育 版权所有
京ICP备号 京公网安备}