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逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
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逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
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这段视频介绍了线性代数课程中,怎么用初等变换的方法来求逆矩阵.用初等变换求逆矩阵是目前最有效最实用的方法.它比用伴随矩阵的方法求逆矩阵计算量要少得多.
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逆矩阵的几种求法与解析
矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.
1.利用定义求逆矩阵
定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.
例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且
（E-A）-1= E + A + A2+…+AK-1
因为E 与A 可以交换, 所以
(E- A )(E+A + A2+…+ AK-1)= E-AK,
因AK= 0 ,于是得
(E-A)（E+A+A2+…+AK-1）=E，
同理可得（E + A + A2+…+AK-1）(E-A)=E，
因此E-A是可逆矩阵,且
(E-A)-1= E + A + A2+…+AK-1.
同理可以证明(E+ A)也可逆,且
(E+ A)-1= E -A + A2+…+（-1）K-1AK-1.
由此可知, 只要满足AK=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.
é0ê0例2 设 A =êê0ê?úú,求
E-A的逆矩阵. 003úú000?
由于A中有许多元素为零, 考虑AK是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A的逆矩阵.
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