等腰直角三角形ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于D．（1）当点P运动几秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积？（2）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．-乐乐题库
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等腰直角三角形ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于D．（1）当点P运动几秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积？（2）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．　
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“等腰直角三角形ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于D．（1）当点P运动几秒...”的分析与解答如下所示：
（1）根据s△ABC=12ABoBC=50，设P运动的时间为t秒，分别分析当t＜10秒时，以及当t＞10秒时得出t的值即可；（2）根据当t＜10秒时，P在线段AB上，得出△APE≌△QCF，以及当t＞10秒时，P在线段AB的延长线上，得出DE的长．
解：（1）∵s△ABC=12ABoBC=50（1分），设P运动的时间为t秒．①当t＜10秒时，P在线段AB上，如图1，此时CQ=t，PB=10-t∴s△PCQ=122)=50（2分）整理得t2-10t+100=0无解（3分）②当t＞10秒时，P在线段AB的延长线上，如图2，此时CQ=t，PB=t-10∴s△PCQ=122-10t)=50（3分）整理得t2-10t-100=0解得t=5±5√5（舍去负值）（5分）∴当点P运动（5+5√5）秒时，s△PCQ=s△ABC（5分）（得分同上）（2）当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明如下：（（6分），评分细则见后注）①当t＜10秒时，P在线段AB上，如图1，过Q作QF⊥AC，交直线AC于点F在Rt△APE和Rt△QCF中∵∠A=45°，∠QCF=∠ACB=45°AP=QC=t∴△APE≌△QCF∴AE=PE=CF=QF=√22t（7分）∴四边形PEQF是平行四边形，且DE是对角线EF的一半又∵EF=AC=10√2∴DE=5√2（8分）②当t＞10秒时，P在线段AB的延长线上，如图2，作PE⊥AC，交直线AC于点E，过Q作QF⊥AC，交直线AC于点F．同理可得DE=5√2（10分）∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变（10分）（得分同上）注：①未说明P在线段AB的延长线上情形者，相应步骤分不给．是否在答卷上画出第二种情形的图形不做统一要求．②对于做出了正确判断，未做证明或虽做证明但证法错误的，给判断分（1分）．③对于未写出判断，直接按“线段DE的长度不会改变”证明的情况，视同已做判断处理．即：若证法正确给满分（5分），若证法不对，判断分1分仍给．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，根据已知分别进行讨论当t＜10秒以及当t＞10秒是解题关键．
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等腰直角三角形ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于D．（1）当点...
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经过分析，习题“等腰直角三角形ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于D．（1）当点P运动几秒...”主要考察你对“平行四边形的判定与性质”
等考点的理解。
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平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
与“等腰直角三角形ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于D．（1）当点P运动几秒...”相似的题目：
如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O点，M、N分别是OA、OC的中点，求证：BM∥DN且BM=DN．&&&&
在?ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．&&&&
如图，在?ABCD的各边AB、BC、CD、DA上，分别取点K、L、M、N，使AK=CM、BL=DN，则四边形KLMN为平行四边形吗？说明理由．&&&&
“等腰直角三角形ABC的直角边AB=BC=...”的最新评论
该知识点好题
1如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作EF∥BC，HG∥AB，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分另为S1和S2，则S1与S2的大小关系为&&&&
2等腰梯形的上底是2cm，腰长是4cm，一个底角是60°，则等腰梯形的下底是&&&&
3如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件&&&&，使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．
该知识点易错题
1如图，一次函数y=ax+b与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数y=kx相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE，EF．有下列四个结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC=BD．其中正确的结论个数是&&&&
2下列命题错误的是&&&&
3下列说法中错误的是&&&&
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AB=AC,∠A=36°∠C=∠ABC=(180-36)/2=72°DE垂直平分AB,则AE=BE,角A=角ABE=36 所以,∠EBC=72-36=36°∠BEC=180-36-72=72°=角C,即BC=BE=AE三角形BEC∽三角形ABC即:BC/AC=EC/BC即:AE^2=BC^2=AC*EC如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）判断线段AC与AE是否相等，并说明理由；（2）求过A、C、D三点的圆的直径．考点：．专题：．分析：（1）AC=AE，理由为：由∠ACB=90°，根据90°圆周角所对的弦为直径得到AD为圆的直径，利用AD为角平分线，得到一对圆周角相等，利用等角对等弧，得到弧CD=弧DE，进而确定出弧AC=弧AE，利用等弧对等弦即可得证；（2）在直角三角形ABC中，由AC与CB的长，利用勾股定理求出AB的长，再由AC=AE，由AB-AE求出EB的长，由一对直角相等，及一对公共角，得到三角形BDE与三角形ABC相似，由相似得比例求出ED的长，在直角三角形AED中，利用勾股定理求出AD的长，即为过A、C、D三点的圆的直径．解答：解：（1）AC=AE，理由为：∵∠ACB=90°，∴AD为直径，又∵AD是△ABC的角平分线，∴，∴，∴在同一个⊙O中，AC=AE；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（2）∵在Rt△ABC中，AC=5，CB=12，∴根据勾股定理得：AB=2+CB2=2+122=13，∵AE=AC=5，∴BE=AB-AE=13-5=8，∵AD是直径，∴∠AED=∠ACB=90°，∵∠B=∠B，∴△ABC∽△DBE，∴=，∴DE=，∴AD=2+DE2=2+(103)2=，∴△ACD外接圆的直径为．点评：此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：勾股定理，圆周角定理，圆心角、弧及弦的关系，相似三角形的判定与性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：☆☆☆☆☆推荐试卷
解析质量好解析质量中解析质量差教师讲解错误
错误详细描述：
如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF∥AB，分别交AC，BC于E，F点，作PM∥AC，交AB于M点，连接ME．（1）求证：四边形AEPM为菱形；（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半?
【思路分析】
(1)有一组邻边相等的平行四边形为菱形，在本题中，可证出四边形AEPM为平行四边形，关键是找一组邻边相等，∵AD平分∠BAC再者PE∥AM所以可证∠EAP=∠EPA即AE=EP，所以为菱形；(2)S菱形AEPM=EP•h，S平行四边形EFBM=EF•h，若菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半，则EP= EF，所以，P为EF中点时，S菱形AEPM= S四边形EFBM．
【解析过程】
(1)证明：∵EF∥AB，PM∥AC，∴四边形AEPM为平行四边形．∵AB=AC，AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，∵AD⊥BC(三线合一的性质)，∵∠BAD=∠EPA，∴∠CAD=∠EPA，∵EA=EP，∴四边形AEPM为菱形．(2)解：如图：P为EF中点时，S菱形AEPM=S四边形EFBM∵四边形AEPM为菱形，∴AD⊥EM，∵AD⊥BC，∴EM∥BC，又EF∥AB，∴四边形EFBM为平行四边形．作EN⊥AB于N，则S菱形AEPM=EP•EN=EF•EN=S四边形EFBM．
(1)∵EF∥AB，PM∥AC，∴四边形AEPM为平行四边形．∵AB=AC，AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，∵AD⊥BC(三线合一的性质)，∵∠BAD=∠EPA，∴∠CAD=∠EPA，∵EA=EP，∴四边形AEPM为菱形．(2)P为EF中点时，S菱形AEPM=S四边形EFBM
此题主要考查了菱形的判定，以及平行四边形的性质，题型比较新颖．
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因为DE是AB的垂直平分线,又因为三角形为等腰三角形,所以ADE全等于BDE所以BE=AE所以BCE的周长为BE+BC+CE=AC+BC=B-a}