当x-&0时，lim(tanx-sinx)/x^3的极限_百度知道
当x-&0时，lim(tanx-sinx)/x^3的极限
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原式=lim(sinx/cosx-sinx)/x³=limsinx(1-cosx)/x³cosx因为x趋于0时sin~x1-cosx~x²/2所以原式=limx*(x²/2)/x³cosx=(1/2)/cos0=1/2
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(1)已知x＞1,求证不等式x＞ln(1+x); (2)当0＜x＜时，求证tanx＞x+;(3)当x＞0时，证明：不等式ex＞1+x+x2.
分析：利用函数的单调性证明不等式是常用的一种方法.首先构造适当的函数关系式.在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数.一般地，若证明f(x)＞g(x)，x∈(a,b)，可以等价转化证明F(x)=f(x)-g(x)＞0.如果F′(x)＞0,则函数F(x)在（a,b）上是增函数，如果F(a)≥0,由增函数的定义可知，当x∈(a,b)时,有F（x）＞0,即f(x)＞g(x). 证明：(1)设f(x)=x-ln(1+x),x＞1.f′(x)=1-=,由x＞1,知f′(x)＞0.∴f(x)在（1，+∞)上是增函数.又f(1)=1-ln2＞1-lne=0,即f(1)＞0,∴f(x)＞f(1)＞0,即x＞ln(1+x),(x＞1).(2)设f(x)=tanx-(x+),则f′(x)=-1-x2=tan2x-x2=(tanx+x)·(tanx-x).∵x∈(0,).∴tanx＞x＞0.∴f′(x)＞0,即f(x)在（0，）内递增.又f(0)=0.∴当x∈(0,)时，f(x)＞0,即tanx＞x+.(3)设f(x)=ex-1-x-x2,则f′(x)=ex-1-x.下面证明g(x)=ex-1-x在x＞0时恒为正.∵g′(x)=ex-1,当x＞0时g′(x)=ex-1＞0.∴g(x)在(0,+∞)上为增函数.当x＞0时g(x)＞g(0)=0,即f′(x)在(0,+∞)上恒为正.∴f(x)在（0，+∞)上为增函数.又f(0)=e0-1-0-0=0,∴x＞0时，f(x)＞f(0)=0.∴ex-1-x-x2＞0,即x＞0时，ex＞1+x+x2成立.
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当x趋于0时，求(1/x)^tanx极限，用洛必达法则
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如题原式可转化为e^tanx*ln(1/x)=e^tan*1/x,而tan又等于x-x^3/3(可参见泰勒公式） 从而得到1/(x-x^3/3)x,x趋于0,所以为e^0=1
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(1/x)^tanx=e^(tanxln(1/x))=e^(-tanxlnx)，所以求tanxlnx的极限即可，tanxlnx=lnx/cotx,分子分母求导得（-(sinx)^2/x），再求导得，-sin2x,x趋于0,，-sin2x趋于0,所以原式极限为e^0=1
洛必达法则的相关知识
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出门在外也不愁当x趋于0时（tanx-x)/(x*x*sinx)的极限是多少，求详细过程_百度知道
当x趋于0时（tanx-x)/(x*x*sinx)的极限是多少，求详细过程
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limx趋于0时（tanx-x)/(x*x*sinx)=limx趋于0时（sinx-xcosx)/(x^3=limx趋于0时（cosx-cosx+xsinx)/(3x^2)=limx趋于0时（xsinx)/(3x^2)=1/3
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将tanx泰勒展开，得tanx-x与x³同阶，做比用洛必达知tanx-x与x³/3为等价阶当x趋于0时，原式化为x³/3x²sinx化简得x/3sinx极限为1/3
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