【压轴题&精讲特训】挑战2014数学中考压轴题：因动点产生的梯形问题（含2013试题，含详解）&&共用
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因动点产生的梯形问题例12012年上海市松江区中考模拟第24题已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B．[来&源:中@教~#*网]（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．①求点D的坐标；②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x－3交于点E，若，求四边形BDEP的面积．图1动感体验[www#.z%zst*ep.c@om~]请打开几何画板文件名“12松江24”，拖动点P向右运动，可以体验到，D、P间的垂直距离等于7保持不变，∠DPE与∠PDH保持相等．请打开超级画板文件名“12松江24”，拖动点P向右运动，可以体验到，D、P间的垂直距离等于7保持不变，∠DPE与∠PDH保持相等，，四边形BDEP的面积为24．思路点拨1．这道题的最大障碍是画图，A、B、C、D四个点必须画准确，其实抛物线不必画出，画出对称轴就可以了．2．抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是D、P两点间的垂直距离等于7．3．已知∠DPE的正切值中的7的几何意义就是D、P两点间的垂直距离等于7，那么点P向右平移到直线x＝3时，就停止平移．满分解答[来~#源:中国教育出版^&%网]（1）直线y＝3x－3与x轴的交点为A(1，0)，与y轴的交点为B(0,－3)．将A(1，0)、B(0,－3)分别代入y＝ax2＋2x＋c，得解得[来源:www.shulihua.net]所以抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3．对称轴为直线x＝－1，顶点为(－1,－4)．（2）①如图2，点B关于直线l的对称点C的坐标为(－2,－3)．因为CD//AB，设直线CD的解析式为y＝3x＋b，代入点C(－2,－3)，可得b＝3．所以点D的坐标为（0，3）．②过点P作PH⊥y轴，垂足为H，那么∠PDH＝∠DPE．由，得．[中国教&~育出*@^版网]而DH＝7，所以PH＝3．因此点E的坐标为（3，6）．所以．[来@^源&*:#中教网]图2图3[中&国教育出版@*#%网]考点伸展第（2）①用几何法求点D的坐标更简便：因为CD//AB，所以∠CDB＝∠ABO．[中国#&教育出*版~@网]因此．所以BD＝3BC＝6，OD＝3．因此D（0，3）．[中#@%国教~育出版&网][来#%源:中国教育&出版网^@][来源:z^zstep*.com~@#][来源^:@中国教育%*出&版网][中国#教~&@育%出版网][www.zzst&e@#p.c^o%m][中*%@国教育^出版#网]例22012年衢州市中考第24题[来源:*中#教&@网~]如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．图1[w~w&w.zz*ste%p^.com]动感体验请打开几何画板文件名“12衢州24”，拖动点P在线段OC上运动，可以体验到，在AB的左侧，存在等腰梯形ABPM．拖动点A′在线段AC上运动，可以体验到，Rt△A′OB′、Rt△COD、Rt△A′HG、Rt△OEK、Rt△OFG和Rt△EHK的两条直角边的比都为1∶2．请打开超级画板文件名“12衢州24”，拖动点P在线段OC上运动，可以体验到，在AB的左侧，存在AM=BP．拖动点A′在线段AC上运动，发现S最大值为0.375．[来源^:zz#~&]思路点拨1．如果四边形ABPM是等腰梯形，那么AB为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形，AB边分成的3小段，两侧的线段长线段．2．△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，可以通过割补得到，即△OFG减去△OEH．[中~@国#教育&^出版网]3．求△OEH的面积时，如果构造底边OH上的高EK，那么Rt△EHK的直角边的比为1∶2．4．设点A′移动的水平距离为m，那么所有的直角三角形的直角边都可以用m表示．满分解答（1）将A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入y＝ax2＋bx＋c，得解得，，．所以．（2）如图2，过点P、M分别作梯形ABPM的高PP′、MM′，如果梯形ABPM是等腰梯形，那么AM′＝BP′，因此yA－yM′＝yP′－yB．直线OC的解析式为，设点P的坐标为，那么．[中%国教育出&*版网#~]解方程，得，．x＝2的几何意义是P与C重合，此时梯形不存在．所以．[来源:zzstep%.c@#o*&m]图2图3（3）如图3，△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，作EK⊥OD于K．[w@ww.zzs*&~]设点A′移动的水平距离为m，那么OG＝1＋m，GB′＝m．在Rt△OFG中，．所以．在Rt△A′HG中，A′G＝2－m，所以．所以．在Rt△OEK中，OK＝2EK；在Rt△EHK中，EK＝2HK；所以OK＝4HK．因此．所以．[来%源:&~中*^教网]所以．于是．[来源:www.shulihua.net]因为0＜m＜1，所以当时，S取得最大值，最大值为．考点伸展[来%源@:#&中教网*]第（3）题也可以这样来解：设点A′的横坐标为a．[来源&:%中国教育出~版网#*]由直线AC：y＝－x＋3，可得A′(a,－a＋3)．由直线OC：，可得．由直线OA：y＝2x及A′(a,－a＋3)，可得直线O′A′：y＝2x－3a＋3，．由直线OC和直线O′A′可求得交点E(2a－2，a－1)．由E、F、G、H4个点的坐标，可得[www.z%#z&step^@.com][来源:zzs@^te*&p.c~om]例42011年义乌市中考第24题已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12)两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]图1图2动感体验请打开几何画板文件名“11义乌24”，拖动点M从P向O运动，可以体验到，M在到达PO的中点前，重叠部分是三角形；经过中点以后，重叠部分是梯形．思路点拨[www.zzs&t@#%ep.c^om]1．第（2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况．[中%&^#国教育@出版网]2．第（3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是PO的中点．[w~ww@%.zzstep#.&com]满分解答[来源^:%zzstep.co~m#*]（1）设抛物线的解析式为，代入A（2，0）、C(0，12)两点，得解得所以二次函数的解析式为，顶点P的坐标为（4，－4）．（2）由，知点B的坐标为（6，0）．假设在等腰梯形OPBD，那么DP＝OB＝6．设点D的坐标为(x，2x)．由两点间的距离公式，得．解得或x＝－2．如图3，当x＝－2时，四边形ODPB是平行四边形．所以，当点D的坐标为(，)时，四边形OPBD为等腰梯形．[来源:~#z^zstep@*.com]图3图4图5（3）设△PMN与△POB的高分别为PH、PG．在Rt△PMH中，，．所以．在Rt△PNH中，，．所以．①如图4，当0＜t≤2时，重叠部分的面积等于△PMN的面积．此时．②如图5，当2＜t＜4时，重叠部分是梯形，面积等于△PMN的面积减去△P′DC的面积．由于，所以．[ww#w~.%zzst@ep^.com]此时．考点伸展第（2）题最好的解题策略就是拿起尺、规画图：方法一，按照对角线相等画圆．以P为圆心，OB长为半径画圆，与直线y＝2x有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点．方法二，按照对边相等画圆．以B为圆心，OP长为半径画圆，与直线y＝2x有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点．[w#ww.z&zste^p.co@m~][www.z#zste&*p~.co@m][来源:中国教*#育^&出版%网][来源~:中&*^@教网][中国^&教育*出%#版网]例52010年杭州市中考第24题如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y＝，点C的坐标为(C4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上．[来源:@^zz&st*ep#.com](1)写出点M的坐标；(2)当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时．①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；②当梯形CMQP的两底的长度之比为1∶2时，求t的值．[来源:www.shulihua.net图1动感体验请打开几何画板文件名“10杭州24”，拖动点Q在抛物线上运动，从t随x变化的图象可以看到，t是x的二次函数，抛物线的开口向下．还可以感受到，PQ∶CM＝1∶2只有一种情况，此时Q在y轴上；CM∶PQ＝1∶2有两种情况．思路点拨1．第（1）题求点M的坐标以后，Rt△OCM的两条直角边的比为1∶2，这是本题的基本背景图．2．第（2）题中，不变的关系是由平行得到的等角的正切值相等，根据数形结合，列关于t与x的比例式，从而得到t关于x的函数关系．3．探求自变量x的取值范围，要考虑梯形不存在的情况，排除平行四边形的情况．4．梯形的两底的长度之比为1∶2，要分两种情况讨论．把两底的长度比转化为QH与MO的长度比．[来源:zzs@t%ep.~c&*om]满分解答(1)因为AB＝OC＝4，A、B关于y轴对称，所以点A的横坐标为2．将x＝2代入y＝，得y＝2．所以点M的坐标为（0，2）．[来源:中*国教育出^版网@&#](2)①如图2，过点Q作QH(x轴，设垂足为H，则HQ＝y，HP＝xCt．因为CM//PQ，所以∠QPH＝∠MCO．因此tan∠QPH＝tan∠MCO，即．所以．整理，得．如图3，当P与C重合时，，解方程，得．如图4，当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x＝(2．因此自变量x的取值范围是，且x((2的所有实数．图2图3图4②因为sin∠QPH＝sin∠MCO，所以，即．当时，．解方程，得（如图5）．此时．当时，．解方程，得．如图6，当时，；如图6，当时，．[中国教育出%版网^@*&]图5图6图7考点伸展本题情境下，以Q为圆心、QM为半径的动圆与x轴有怎样的位置关系呢？[来&源:@~中教^#网]设点Q的坐标为，那么．而点Q到x轴的距离为．因此圆Q的半径QM等于圆心Q到x轴的距离，圆Q与x轴相切．[来^%&源#:中@教网][ww@w.#zzstep~.^com*][中~国&^教育出%版网@][来源:中国教%*育出^#@版网][来~*源#:中国教育出版网&%]例72009年广州市中考第25题如图1，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－1），△ABC的面积为．（1）求该二次函数的关系式；（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．[来源@%~^:中教网&]图1动感体验请打开几何画板文件名“09广州25”，可以看到，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AB是它的外接圆直径，拖动点M在y轴上运动，可以体验到，过M的直线与圆相切或者相交时有公共点．[中^#国教@育出&%版网]在抛物线上有两个符合条件的点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为直角梯形．思路点拨1．根据△ABC的面积和AB边上的高确定AB的长，这样就可以把两个点的坐标用一个字母表示．2．数形结合，根据点A、B、C的坐标确定OA、OB、OC间的数量关系，得到△AOC∽△COB，从而得到△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AB是它的外接圆直径，再根据对称性写出m的取值范围．[中^#国教育出版~&网@]3．根据直角梯形的定义，很容易确定符合条件的点D有两个，但是求点D的坐标比较麻烦，根据等角的正切相等列方程相对简单一些．满分解答（1）因为OC＝1，△ABC的面积为，所以AB＝．设点A的坐标为（a，0），那么点B的坐标为（a＋，0）．[来~源*:中国%教育^出&版网]设抛物线的解析式为，代入点C（0，－1），得．解得或．因为二次函数的解析式中，，所以抛物线的对称轴在y轴右侧．因此点A、B的坐标分别为，．所以抛物线的解析式为．（2）如图2，因为，，所以．因此△AOC∽△COB．所以△ABC是以AB为斜边的直角三角形，外接圆的...
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动点问题——初三压轴题
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内容提示：动点问题。考情分析。第一讲、动点存在。1．知识回顾。（1）题型分类。在中考中，存在性问题一般分为四类：。1.是否存在三角形（等腰三角形、直角三角形）；。2.是否存在四边形（平行四边形、直角梯形和等腰梯形）；。3.是否存在三角形与已知三角形相似或者全等；。4.是否存在三角形与已知三角形的面积之间有数量关系。。（2）方法归纳。在解决动点存在性问题时，一般先假设其存在，得到方程，如果有解，则存在，反之，则不存在。而在列方程时，一般要用到特殊三角形以及特殊平行四边形的性质、相似、解直角三角形等知识点，需要注意的是，列方程时，一定要遵循：用两种不同的方法表示同一个量，否则，将会得到“1=1”之类的恒等式。。对于是否存在三角形，一般按顶点分为三类情况。。而对于是否存在平行四边形则有两种形式的题目：如果已知三个定点，就有三种情况，一般利用平移坐标法即可求出答案；如果只有两个定点就应该按与边平行以及与对角线平行两种情况考虑了。。对于等腰梯形，就应该考虑腰长在下底边上的投影了。。对于是否存在三角形与已知三角形相似或者全等，则与是否存在三角形一样，分三类情况，当然，如果有一个角是一个定角（比如直角），则就分为两类情况。。
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求初中数学的压轴题求题目
如图,已知直线y=-x+5与y轴、x轴分别交于A、B两点,抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点,抛物线对称轴与直线y=-x+5交与D,C点为抛物线顶点.（1）求A、B两点坐标,并求抛物线解析式；（2）若点P以1个单位/秒的速度从点B沿x轴向点O运动.过点P与抛物线对称轴的平行线交直线AB于点M,交抛物线于点M①设点P运动时间为t,点P在运动过程中,若以MN为直径的圆与y轴相切,试求出此时t值；②是否存在这样的t值,使得CN=DM?若能,求出t的值；若不能,请说明理由./f?ct=&tn=baiduPostBrowser&sc=&z=&pn=0&rn=30&lm=0&rs16=0&word=%B3%F5%D6%D0%CA%FD%D1%A7#
抛物线y=a（x+3）（x-1）与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）。1、求a的值和直线AC的函数关系式；2、P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交X轴于N。①求线段PM的最大值②抛物线上是否存在这样的点M，使得三角形CMP与三角形APN相似，写出所有满足条件的M的坐标
题目：抛物线y=a（x+3）（x-1）与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）。（如图）(1)、求a的值和直线AC的函数关系式；(2)、P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交X轴于N。①求线段PM的最大值②抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似，写出所有满足条件的M的坐标.答案：1)把(-2,6)代入抛物线方程：&&6=a(-2+3)(-2-1)&&-3a=6&&a=-2&&抛物线方程为：y=-2(x+3)(x-1)&&令y=0&&解得：x=-3&或&x=1&&则点A坐标为(1,0)&&点B坐标为(-3,0)&&直线AC的方程为：y=-2(x-1)&&&&&&&&&&&&&&&&即：y=-2x+2。2)①设点P的坐标为(p，-2p+2)&&-2≤p≤1&&则点M的横坐标为p&&当x=p时，y=-2(p+3)(p-1)&&线段PM=-2(p+3)(p-1)-(-2p+2)&&&&&&&&=-2p²-4p+6+2p-2&&&&&&&&=-2p²-2p+4&&&&&&&&=-2(p+1/2)²+9/2&&则当p=-1/2时，线段PM有最大值9/2。②∵PM⊥X轴∴⊿CMP∽⊿APN时，CM//AN设M(x,6)∵抛物线方程为：y=-2(x+3)(x-1)∴其对称轴为x=(1-3)/2=-1∴M(0,6)∵直线AC的方程为：y=-2x+2过C作CM⊥AC，则⊿MCP∽⊿ANPCM方程为：y-6=1/2(x+2)==&x-2y+14=0与抛物线方程联立得4x^2+9x+2=0==&x1=-2,x2=-1/4代入抛物线得y2=55/8∴M2(-1/4,55/8)&希望该题及解答对你有帮助。
童靴，给题撒
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专题27 动态几何之单动点形成的面积问题（压轴题）-决胜2014中考数学压轴题全揭秘资料
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