从齐次方程的一个特解到非齐次方程的通解_二阶线性微分方程的又一种常数变易法_百度文库
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从齐次方程的一个特解到非齐次方程的通解_二阶线性微分方程的又一种常数变易法
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你可能喜欢一阶非齐次线性微分方程的通解为什么会出现一个lnC,而不是C,这不会对结果产生影响吗?难道这个常数C可以写成任何形式吗?_百度作业帮
一阶非齐次线性微分方程的通解为什么会出现一个lnC,而不是C,这不会对结果产生影响吗?难道这个常数C可以写成任何形式吗?
一阶非齐次线性微分方程的通解为什么会出现一个lnC,而不是C,这不会对结果产生影响吗?难道这个常数C可以写成任何形式吗?
C表示任意一个常数,lnC也表示任意一个常数,所以也是可以的.任何一个能表示任意一个常数的表示形式都是允许的,对结果都不会产生影响.但是,在解一阶非齐次线性微分方程的通解时,为什么会出现一个lnC哪?这是因为,一阶非齐次线性微分方程形如：y'+P(x)y=Q(x),往往不好直接解出,而用常数变易法,先求对应的齐次线性微分方程的通解,然后把常数变易为函数,代入非齐次线性微分方程求的一个特解,最后把对应的齐次线性微分方程的通解加上求得的特解,作为非齐次线性微分方程的通解.但是对应的齐次线性微分方程为：y'+P(x)y=0 解时变成：dy/y=-P(x)dx 两端积分得：lny=-∫P(x)dx 假如积分部分积分出的原函数写为：R(x)+C,则 y=e^[-R(x)+c] ,不但形式复杂,而且不便于常数变易.假如积分部分积分出的原函数写为：R(x)+lnC,则y=Ce^[-R(x)],不但形式紧凑,而且便于常数变易.因为C(x)与e^x乘积型不仅好微分,而且微分后结果简单.这就是不取常数C,而取lnC的原因.
嗯，只要能表示一个常数就行，一般是取最简洁的一种表示方法提问回答都赚钱
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求微分方程xdy(x2y)dx=0的一个解y=y(x)，使得由曲线y=y(x)与直线x=1，x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转
悬赏：0&&答案豆&&&&提问人：匿名网友&&&&提问收益：0.00答案豆&&&&&&
求微分方程xdy+(x-2y)dx=0的一个解y=y(x)，使得由曲线y=y(x)与直线x=1，x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小．
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请先输入下方的验证码查看最佳答案1402.　(全国1987年，试卷三；全国1988年，试卷一；全国1989年，试卷一、试卷四；全国1990年，试卷一，试卷三；全国1991年，试卷三；全国1992年，试卷一，试卷三；全国1993年，试卷三；全国1994年，试卷一、试卷三、试卷四)求下列微分方程的通解或特解:(1) y″+2y′+y=xex；(2) y″-3y′+2y=2ex且满足y(0)=1，y′(0)=-1；(3) f(x)=sin?x-∫x0(x-t)f(t)dt，f为连续函数；(4) y″+5y′+6y=2e-x；(5) y″+4y′+4y=e-2x；(6) y″+4y′+4y=eax(a为实数)；(7) y″+y=x+cos?x；(8) y″+2y′-3y=e-3x；(9) y″-3y′+2y=xex；(10) y″+αy′+βy=γex且已知其一个特解为y=e2x+(1+x)ex；(11) [xy(x+y)-f(x)y]dx+[f′(x)+x2y]dy=0为全微分方程，且f(0)=0，f″(0)=1，f(x)有二阶连续导数；(12) y″+a2y=sin?x(a〉0)；(13) y″+4y′+4y=0，y(0)=2，y′(0)=-4，求∫∞0y(x)dx.
相关工具书解释
解　(1) 对应齐次方程的特征方程为r2+2r+1=0.特征根为r1＝r2＝1.通解为Y=(C1+C2x)e-x.设原方程的特解为y*＝(ax+b)ex代入原方程并整理得(4ax+4a+4b)ex＝xex.解得原方程通解为(2) 对应齐次方程的通解为　Y=C1ex+C2e2x.设原方程的特解为y*＝Axex,代入原方程得A=-2.故原方程通解是y(x)=C1ex+C2e2x-2xex.由y(0)=1,y′(0)=-1,得解得C1＝1,C2＝0,所以y=(1-2x)ex.(3) f(x)=sin?x-x∫x0f(t)dt+∫x0tf(t)dt,f′(x)=cos?x-∫x0f(t)dt,f″(x...
(本文共1448字)
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一个偏微分方程组，求解总是出问题（求大神看看）
做的一个数学模型，得出一个偏微分方程组，但是求解总是出问题，求大神看看:cry: 非数学专也，不知道问题出在哪里，还恳请大神们指点:hand:
已知方程：
边界条件：
初始条件：
其中， 为参数，其值分别为68E-5，6.5969E-5
用了现成软件求解：
1）& & & & 用COMSOL43b建模求解，方法为有限元，求解错误，结果偏差的离谱，u1为e100左右；
2）& & & & 用NAG MATLAB工具箱中偏微分方程的函数(nag_pde_1d_parab_fd (d03pc)以及nag_pde_1d_parab_coll (d03pd))，求解。（使用有限差分法(finite difference)/ Chebyshev C0 collocation法离散，使用method of lines, backward differentiation formula (BDF)算法求解），结果也非想要的值（负数！）。
1．& & & & 如上文中，最终的参数有三个，相差10个数量级！若用数值解法，应该使用什么样的方法求解能得到可靠的结果？
2．& & & & 是不是少了边界条件？因为没有u2的边界条件。
3.& & 难道可以求出传说中的解析解？
请给些宝贵的意见，谢谢大神！
你的方程的初始条件和边界条件不缺的，能够计算
第一个分布参数方程是一个对流扩散方程吧，如果是强对流问题，用中心差分应该好一些。
根据你的C的相关参数，U1数值解应该是负值，这个我也算过，BDF和CDF的结果相差蛮大的，但U1确实基本都是负值。
至于是否有解析解，这个我不清楚，反正U2是有关于时间t的解析表达式的，至于第一个方程剩下的部分，你去找找相关的微分方程手册吧，说不准有相关形式。
或者你对方程两边进行拉普拉斯变换，说不准就得到解析解了，这块我都快忘光了，你自己再看看吧。 建议楼主自己手工推导一下，第一项方程其实用差分法就可以得到线性方程组，第二项方程组甚至可以求出解析解。分析一下应该能找出软件求解出现问题的原因。 : Originally posted by twoflm at
你的方程的初始条件和边界条件不缺的，能够计算
第一个分布参数方程是一个对流扩散方程吧，如果是强对流问题，用中心差分应该好一些。
根据你的C的相关参数，U1数值解应该是负值，这个我也算过，BDF和CDF的结 ... 事实上，如果求解正确U1应该是一段时间为0，然后逐渐增大到1.
你算过吗？用什么软件算的，或者算法？
Laplace变换不是时候求解半无限边界的问题吗？这个固定区间的问题也可以？
:hand: : Originally posted by yinhu1988 at
建议楼主自己手工推导一下，第一项方程其实用差分法就可以得到线性方程组，第二项方程组甚至可以求出解析解。分析一下应该能找出软件求解出现问题的原因。 想过自己写格式，但是边界条件不知道如何处理，U2没有边界，是不是需要自己推到出边界？
第二方程有解析解吗？只有关于t的关系呀，不好定解析解吧。第一个和第二个方程时耦合在一起的吧。
多谢:hand: : Originally posted by longwen36 at
事实上，如果求解正确U1应该是一段时间为0，然后逐渐增大到1.
你算过吗？用什么软件算的，或者算法？
Laplace变换不是时候求解半无限边界的问题吗？这个固定区间的问题也可以？
:hand:... 对于PDE的求解一般我用有限元离散化后自己设计算法求解，不用那些商业软件，目前正在做PDE数值求解的一些研究工作。 : Originally posted by longwen36 at
事实上，如果求解正确U1应该是一段时间为0，然后逐渐增大到1.
你算过吗？用什么软件算的，或者算法？
Laplace变换不是时候求解半无限边界的问题吗？这个固定区间的问题也可以？
:hand:... 算过，离散后用C算的，没细致检查，不过我还是认为你的C相关参数有问题，导致U1的值大都为负值
空间差分我用的向后或者中心差分，求解结果又明显差异。但如果c那几个参数接近，如都为1，那么两个离散方程的结果很接近，应该是数量级相差太大引起的数值误差。至于其为负值，很可能是你给的C的参数有问题。
拉氏变换为什么不能处理固定区间问题？
第二个常微分方程一看就有解析解，关于时间的，带到第一个方程，相当于非齐次项。还是建议你找一些偏微分方程手册看看，有一些有解析解的
这只是个很简单的方程组，被你想复杂了。。 u2有解析解，但解的形式与u2的取值范围有关：（1）若u2&1,&&得 ln(1-u2)=-c3*t; (2)若u2恒大于1，得ln(u2－1)=-c3*t； （3）若某些时间段u2&1，而某些时间段u2&1，在解u1时，u2 的形式要根据不同的时间分段讨论；（4） 若 u2=1，u1与u2无关，u1是一个对流扩散问题。实际上，这里的u2是一个与时间相关的输入信号，有点类似于一般对流扩散问题的外力项 f. 问题：
Pu1(x,t)/Px+Pu1(x,t)/Pt+c1*Pu2(x,t)/Pt=c2*P^2u1(x,t)/Px^2 (1)
& &&&Pu2(x,t)/Pt=c3-c3*u2(x,t)& && && && && && && && && && && && && && && &&&(2)
& &&&x=0时，c2*Pu1(x,t)/Px=f(t)=t;& && && && && && && && && && && && && & (3)
& &&&x=1时，Pu1(x，t）/Px(当x=1)=0;& && && && && && && && && && && && & (4)
& &&&u1(x,0)=u2(x,0)=0& && && && && && && && && && && && && && && && && && && &(5)
& &&&c1、c2、c3均为实常数,f(t)为已知函数。Pu1(x,t)/Px表示u1（x，t）对x的偏导数，以此类推。
求解过程：
& &对第二个方程关于t求Laplace 变换，u2(x,t)关于对t的的拉氏变换记为U2(x,s)。
& & s*U2(x,s)-u2(x,0)=c3/s-c3*U2(x,s),将u2(x,0)=0代入后得：
& & U2(x,s)=c3/=1/s-1/(s+c3)& && && && && && && && && && & (6)
& & 故u2(x,t)=1-exp(-c3*t)。由此得知u2(x,t)仅是t的一元函数。将u2(x,t)代入方程(1)，然后对方程两边关于t求拉氏变换,u1(x,t)的拉氏变换记为U1(x,s)。
dU1(x,s)/dx+s*U1(x,s)-u1(x,0)+c1*c3/(s+c3)=c2*d^2U(x,s)/dx^2
& & 将初始条件u1(x,0)=0代入，
&&c2*d^2U1/dx^2-dU1(x,s)/dx-s*U1(s,t)=c1*c3/(s+c3)& && && &(7)
& & 把s当作常数，则这是一个U1(x,s)关于x的二阶常系数微分方程。由边界条件(3)、(4)可推得：
& && & dU1(x,s)/dt(当x=0)=1/(c2*s^2);& && && && && && && && &&&(8)
& && && &&&dU1(x,s)/dt(当x=1)=0;& && && && && && && && && && && && && &(9)
& && & 再次对方程(7)关于x求拉氏变换，将U1(x,s)关于x的Laplace变换记为Δ(ω，s),此处要用到dU1(x,s)/dx(当x=0)和U1(0,s).前者已在(8)式中求出,但后者未知。暂且把U1(0,s)当作未知常量处理，等求出含有
U1(0,s)的U1(x,s)的表达式后，代入边界条件(9),最终确定U1(0,s)的具体表达式U1=U1(x,s),然后对U1(x,s)关于s求拉氏反变换，求出u1=u1(x,t)。
& & Δ(ω，s)=α/ω+β/+γ/,其中α、β、γ为自变量为s的系数,δ=sqrt(1+4*c2*s)/(2*c2)。
& & 对 Δ(ω，s)求关于ω的拉氏反变换，求得U1=U1(x，s),再代入边界条件（9），求出U1(0,s),得到具体的U1=U1(x，s)表达式。
& & 再对U1(x,s)取拉氏反变换，即求得u1=u1(x,t)的具体表达式。由于U1（x,s)已完全求出，因此原则上u1=u1(x,t)的求出已无困难，同时再加上书写极其繁琐，这里就不给出u1的具体表达式了，楼主可轻松得出。& &
& &&&解题完毕。
&&楼主若有交流意向，下面是我的具体联络方式：
& &我的QQ：，信箱：
peterflyer
楼主的定解问题的表达有些问题，比如边界条件c2*Pu1(x,t)/Px(当x=0)=u1(x,t)-1即有问题。因为Pu1(x,t)/Px(当x=0)只是t的函数，而边界条件这样写就直接宣布u1(x，t)只是x的一元函数了。是不是应该写成：
c2*Pu1(x,t)/Px(当x=0)=u1(0,t)-1呢？我在刚才的计算中暂时将u1(0,t)-1以t的形式代入进行了计算。请楼主注意查收和演算我的解析方案。
peterflyer
定解问题：
Pu1(x,t)/Px+Pu1(x,t)/Pt+c1*Pu2(x,t)/Pt=c2*P^2u1(x,t)/Px^2 (1)
& &&&Pu2(x,t)/Pt=c3-c3*u2(x,t)& && && && && && && && && && && && && && && &&&(2)
& &&&x=0时，c2*Pu1(x,t)/Px=u1(0,t)-1;& && && && && && && && && && && && &(3)
& &&&x=1时，Pu1(x，t）/Px(当x=1)=0;& && && && && && && && && && && && & (4)
& &&&u1(x,0)=u2(x,0)=0& && && && && && && && && && && && && && && && && && && & (5)
& &&&c1、c2、c3均为实常数,f(t)为已知函数。Pu1(x,t)/Px表示u1（x，t）对x的偏导数，以此类推。
求解过程：
& &对第二个方程两边求函数u1(x,t)关于t的Laplace 变换，并将u2(x,t)关于对t的的拉氏变换记为U2(x,s)。
& & s*U2(x,s)-u2(x,0)=c3/s-c3*U2(x,s),将u2(x,0)=0代入后得：
& & U2(x,s)=c3/=1/s-1/(s+c3)& && && && && && && && && && & (6)
& &对上式两边求拉氏反变换， 故u2(x,t)=1-exp(-c3*t)。由此得知u2(x,t)仅是t的一元函数。将u2(x,t)代入方程(1)，然后对方程两边关于t求拉氏变换,并将u1(x,t)关于t的拉氏变换记为U1(x,s)。
& &dU1(x,s)/dx+s*U1(x,s)-u1(x,0)+c1*c3/(s+c3)=c2*d^2U(x,s)/dx^2
& & 将初始条件u1(x,0)=0代入，
&&c2*d^2U1/dx^2-dU1(x,s)/dx-s*U1(s,t)=c1*c3/(s+c3)& && && && && && && && && && && && && && && && && && && &&&(7)
& & 把s当作常数，则这是一个U1(x,s)关于x的二阶常系数微分方程。由边界条件(3)、(4)可推得：
& && & dU1(x,s)/dt(当x=0)=U（0，s）/c2-1/(c2*s);& && && && && && && && && && && && && && && && && && && && && &&&(8)
& && && &&&dU1(x,s)/dt(当x=1)=0;& && && && && && && && && && && && && && && && && && && && && && && && && && && && && && && & (9)
& && & 再次对方程(7)关于x求拉氏变换，将U1(x,s)关于x的Laplace变换记为Δ(ω，s),此处要用到dU1(x,s)/dx(当x=0)和U1(0,s)。前者已在(8)式中求出,但后者未知。暂且把U1(0,s)当作未知常量处理，等求出含有
U1(0,s)的U1(x,s)的表达式后，代入边界条件(9),最终确定U1(0,s)的具体表达式U1=U1(x,s),然后对U1(x,s)求其关于s的拉氏反变换，从而求出u1=u1(x,t)。
& & 方程（7）两边求U1(x，s）关于x的拉氏变换并整理后得：
& & Δ(ω，s)={*ω^2+(1-1/c2)*U1(0,s)*ω+c1*c3/(s+c3)}/
& && && && && && & /{ω*{^2-(1+4c2*s)/(4*c2^2)}}& && && && && && && && && && && && && && && && && &&&(10)
& && && &(1) 若SQRT(1+4*c2*s)/(2*c2)≥0,&&令a=SQRT(1+4*c2*s)/(2*c2)≥0。
& && &&&则：ω*{^2-(1+4c2*s)/(4*c2^2)}=ω**
& && &&&而由代数中真有理分式的分解知识，Δ(ω，s)可表达为以下形式：
& && && &Δ(ω，s)=α/ω+β/+γ/& && && && && && && && && && && && && && && && && && &(11)
& && && &&&其中α、β、γ为自变量为系数,可由原式两端进行关于ω的同类项系数比较而求得。
& & 经过比较系数的相关计算，得到：
& && && &&&α=--c1*c3/
& && && && && &&&β=(c2-1-a)*U1(0,s)/(2*a*c2)-1/(2*c2*s)+c1*c3/
& && && && && &&&γ=(1-c2-a)*U1(0,s)/(2*a*c2)-1/(2*c2*s)+c1*c3/
& && &&&将α、β、γ代入(11),并对 Δ(ω，s)求关于ω的拉氏反变换，求得U1=U1(x，s)：
& && && && &U1(x,s)=α+β*exp{*x}+γ*exp{*x}& && && && && && && && && && & （12）
& && && &&&再将边界条件(9)代入式(12)，求得U1(0,s)为：
& && && &&&U1(0,s)=a* γ*c2*/(1-c2)
& && && &&&将求出的U1(0,s)代入α、β、γ的表达式中，至此，U1(x,s)的表达式彻底求得了。
& & 再对U1(x,s)取拉氏反变换，即求得u1=u1(x,t)的具体表达式。由于U1（x,s)已完全求出，因此原则上u1=u1(x,t)的求出已无困难，同时再加上书写极其繁琐，这里就不给出u1的具体表达式了，楼主可轻松得出。& &
& && & (2) 若（1+4*c2*s)/(4*c2^2)≤0,则令a^2=-(1+4*c2*s)/(4*c2^2)≥0。
& &&&故和(1)的讨论相似，有：
& && & Δ(ω，s)=α/ω+β*/{^2+a^2]+γ/{^2+a^2}& && && && && &(13)&&
& && && & 和前面同样的方法，可求得α、β、γ：
& && && & α=
& && && & β=
& && && & γ=
& && && & 代入(13),求得Δ(ω，s)，再对Δ(ω，s)求反变换，求得U1(x，s)：
& && && & U1(x,s)=α+β*exp{1/(2*c2)*x}*Cos(a*x)+*exp{*x} *Sin(a*x)& & (14)
& && && &&&再将边界条件（9）代入（14），求出U1(0，s)：
& && &&&U1(0,s)=
& && && &将U1(0,s)回代代入（14）,彻底求出 U1(x,s)，最后对U1(x,s)求拉氏反变换，求出u1(x,t):
& && &&&u1(x,t)=
解题完毕。 : Originally posted by peterflyer at
楼主的定解问题的表达有些问题，比如边界条件c2*Pu1(x,t)/Px(当x=0)=u1(x,t)-1即有问题。因为Pu1(x,t)/Px(当x=0)只是t的函数，而边界条件这样写就直接宣布u1(x，t)只是x的一元函数了。是不是应该写成：
c2*Pu1(x,t ... 大赞:cry:
您说的是对的，实际边界条件就是c2*Pu1(x,t)/Px(当x=0)=u1(0,t)-1，我的意思也是这样的 : Originally posted by peterflyer at
Pu1(x,t)/Px+Pu1(x,t)/Pt+c1*Pu2(x,t)/Pt=c2*P^2u1(x,t)/Px^2 (1)
& &&&Pu2(x,t)/Pt=c3-c3*u2(x,t)& && && && && && && && && && && && && && && &&&(2)
& &&&x=0时，c2*Pu1(x,t)/Px=f(t)=t;& && && && & ... 感谢:hand:
按您的求解结果，看来u2跟u1没有关系了，我原来一直以为耦合在一起的。
请问您能否帮忙求解出最后结果？数学基础薄弱，卡在这里很久了。
最后怎么反变换回去，对于这么复杂的一个结果？查手册还是有什么别的办法吗？
能否帮个忙？:hand::hand:&&QQ没法加，需要提供您的信息，我给您发了封邮件，还请您抽空查收。
谢谢！ : Originally posted by longwen36 at
您说的是对的，实际边界条件就是c2*Pu1(x,t)/Px(当x=0)=u1(0,t)-1，我的意思也是这样的... 谢谢你的红花，我很喜欢。数学要求人有很严谨的工作态度，真所谓&差之毫厘谬以千里&。现在工作真的很忙，但我会尽量挤时间办这事的，实际上我也是将这个两日的公休全部豁上才做了个小木虫的题的。因此可能要慢一些，请见谅。另外，我给你推荐一本“Integral Transform for Engineer”,图书馆应有馆藏；另外到google上也可免费下载的。里面讲解很明白透彻。若有工科微积分的基础，刻苦钻研一下应该能两三个星期将其中拉氏和傅立叶变换两部分看完并熟练使用的（其他的如梅林、汉克尔、正弦等变换方法在微分方程求解上也很有用，若有时间也可学习一下）。这是个很有用的工具，和变量代换法、分离变量法、行波法、电像法等构成了目前偏微分方程解析解法的主流。 : Originally posted by twoflm at
算过，离散后用C算的，没细致检查，不过我还是认为你的C相关参数有问题，导致U1的值大都为负值
空间差分我用的向后或者中心差分，求解结果又明显差异。但如果c那几个参数接近，如都为1，那么两个离散方程的结果 ... 你好，我最近也在用c编写程序解偏微分方程，没什么头绪，不知道你有没有这方面的例子，可不可以给我发一些？万分感谢！邮箱。 : Originally posted by yunzhonglang at
你好，我最近也在用c编写程序解偏微分方程，没什么头绪，不知道你有没有这方面的例子，可不可以给我发一些？万分感谢！邮箱。... 可以看看这本书/.html
不知道你要做的是哪类PDE，不过一般的方法可以用有限差分法求解。编程语言方面C和fortran应该差不了多少，后者用的更多一些，两者都有相关算法集。 : Originally posted by twoflm at
可以看看这本书/.html
不知道你要做的是哪类PDE，不过一般的方法可以用有限差分法求解。编程语言方面C和fortran应该差不了多少，后者用的更多一些，两者都有相关算法集。... 谢谢，我做的是钢轨冷却过程的温度场计算，想用有限差分法计算，式子已经列出来了，程序以前没弄过，不知道从何开始。不知道你有没有做过类似的或者有相关的资料，学习一下。具体是哪类pde我也不太清楚，方程如下
QQ图片24.jpg : Originally posted by yunzhonglang at
谢谢，我做的是钢轨冷却过程的温度场计算，想用有限差分法计算，式子已经列出来了，程序以前没弄过，不知道从何开始。不知道你有没有做过类似的或者有相关的资料，学习一下。具体是哪类pde我也不太清楚，方程如下
... 这是个基本的抛物型方程，你先看看传热学课本关于热传导数值计算的部分，或者我推荐的那本书吧 : Originally posted by twoflm at
这是个基本的抛物型方程，你先看看传热学课本关于热传导数值计算的部分，或者我推荐的那本书吧... 恩，谢谢啦 是不是还应该有关于u2的边界条件，才比较完整呢？}