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学年广东省广州市增城中学高三（上）综合测试数学试卷1（理科）
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一．选择题（本大题共有8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的4个选项中，只有1项是符合题目要求的）
1．已知集合，则集合{x|x≥1}为（　　）A．M∩NB．M∪NC．CR（M∩N）D．CR（M∪N）
2．设集合A={1，2，3，4}，集合B={-1，-2}，设映射f：A→B．如果集合B中的元素都是A中元素在f下的象，那么这样的映射f有（　　）A．16个B．14个C．12个D．8个
3．函数y=f（x）与y=g（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）•g（x）的图象可能是（　　A．B．C．D．
4．已知定义在R上的奇函数y=f（x），当x＜0时，x，那么，等于（　　）A．B．C．-D．9
5．函数y=ln|ax-1|（a≠0）图象的对称轴方程是x=2，那么a等于（　　）A．B．C．2D．-2
6．集合A1，A2，…，An的元素个数分别?1、2、…、n，它们的真子集个数分别为f（1），f（2），…，f（n），则f（1）+f（2）+…+f（n）=（　　）A．2n-2B．C．2n+1-2D．2n+1-n-2
7．设0＜a＜1，0＜b＜1，不等式logb(3-x)＜1的解集是（　　）A．（2，+∞）B．（-∞，2）C．（2，3）D．（-∞，3）
8．已知函数12(3x2-ax+5)在[-1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）A．[-8，-6]B．（-∞，-6]C．（-8，-6]D．
二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.各题答案必须填写在答卷上，只填结果，不要过程）
9．函数12(2x-1)的定义域为（，1]．
10．偶函数f（x）在（-∞，0）内是减函数，若f（-1）＜f（lgx），则实数x的取值范围是．
11．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为3．
12．在函数f（x）=ax2+bx+c中，若a，b，c成等比数列且f（0）=-4，则f（x）有最大值（填“大”或“小”），且该值为-3．
13．已知定义在区间[0，1]上的函数y=f（x）的图象如图所示，对于满足0＜x1＜x2＜1的任意x1、x2，给出下列结论：①f（x2）-f（x1）＞x2-x1；②x2f（x1）＞x1f（x2）；③1)+f(x)2＜f&（1+x22）．其中正确结论的序号是②③（把所有正确结论的序号都填上）．
14．在计算机的算法语言中有一种函数[x]叫做取整函数（也称高斯函数），它表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．例如：[2]=2，[3.1]=3，[-2.6]=-3．设函数x1+2x-12，则函数y=[f（x）]+[f（-x）]的值域为
三．解答题（本大题6个小题，共80分．各题解答必须答在答卷上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．设函数2(x-1)，(x＞1)，解不等式f（x）＞1．
16．已知函数y=f（x）由下列关系式确定：xy＞0，且4x2+9y2=36．（ I）求出函数y=f（x）的解析式，并在所给坐标系中画出y=f（x）的图象；（ II）判断f（x）的奇偶性，并证明．
17．已知函数f（x）对任意的a、b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且当x＞0时，f（x）＞1．（1）求证：f（x）是R上的增函数； （2）若f（4）=5，解不等式f（3m2-m-2）＜3．
18．设f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c），f（1）=0，g（x）=ax+b．（ I）求证：函数f（x）与g（x）的图象有两个交点；（ II）设函数f（x）与g（x）的图象的两个交点A、B在x轴上的射影为A1、B1，求|A1B1|的取值范围．
19．已知函数，g（x）=x+a（a＞0）（1）求a的值，使点M（f（x），g（x））到直线x+y-1=0的最短距离为；（2）若不等式在x∈[1，4]恒成立，求a的取值范围．
20．已知函数1(x)=3|x-p1|，2(x)=2•3|x-p2|（x∈R，p1，p2为常数）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，1(x)若f1(x)≤f2(x)f2(x)若f1(x)＞f2(x)（1）求f（x）=f1（x）对所有实数x成立的充分必要条件（用p1，p2表示）；（2）设a，b是两个实数，满足a＜b，且p1，p2∈（a，b）．若f（a）=f（b），求证：函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（闭区间[m，n]的长度定义为n-m）--博才网
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已知函数f1(x)=3^丨x-p1丨，f2(x)=肌沪岗轿瞢计哥袭工陋2×3^丨x-p2丨（x为实数，为常数）。
函数f(x)定义为：对每个给定的实数x,f(x)取f1(x),f2(x)中的较小数值。求f（x）=f1(x)对所有实数x成立的条件（用p1,p2表示）设a,b是两个实数，满足a＜b，且（a,b）若f(a)=f(b),求证：函数f(x)在区间[a,b]上单调递增的概率为1/2。
提问者采纳
|p1-p2|&=ln[2]/ln[3]时满足f1（x）=f(x);肌沪岗轿瞢计哥袭工陋由对称性可知，f是关于x=p1或p2对称的图像，而且在p1或p2两侧均属于单调函数。a,b两点处函数值相等，说明a，b是关于p1或p2对称的；所以在【a，b】内，【a，(a+b)/2】上f是单调减；而在【(a+b)/2，b】上式单调增。故单调增概念为1 /2,同样单调减概率也为1/2
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输 入：三个点p1,p2,p3
返回值：如果三点共线，返回false；反之，返回true。圆心由q返回，半径由r返回
bool cocircle(POINT p1,POINT p2,POINT p3,POINT &q,double &r)
double x12=p2.x-p1.x;
double y12=p2.y-p1.y;
double x13=p3.x-p1.x;
double y13=p3.y-p1.y;
double z2=x12*(p1.x+p2.x)+y12*(p1.y+p2.y);
double z3=x13*(p1.x+p3.x)+y13*(p1.y+p3.y);
double d=2.0*(x12*(p3.y-p2.y)-y12*(p3.x-p2.x));
if(abs(d) &EP) //共线，圆不存在
q.x=(y13*z2-y12*z3)/d;
q.y=(x12*z3-x13*z2)/d;
r=dist(p1,q);
基础的2-D绕原点旋转
在2-D的迪卡尔坐标系中，一个位置向量的旋转公式可以由三角函数的几何意义推出。比如上图所示是位置向量R逆时针旋转角度B前后的情况。在左图中，我们有关系：
　　x0 = |R| * cosA
　　y0 = |R| * sinA
　　cosA = x0 / |R|
　　sinA = y0 / |R|
　　在右图中，我们有关系：
　　x1 = |R| * cos（A+B）
　　y1 = |R| * sin（A+B）
　　其中（x1， y1）就是（x0， y0）旋转角B后得到的点，也就是位置向量R最后指向的点。我们展开cos（A+B）和sin（A+B），得到
　　x1 = |R| * （cosAcosB - sinAsinB）
　　y1 = |R| * （sinAcosB + cosAsinB）
　　现在把
　　cosA = x0 / |R|
　　sinA = y0 / |R|
　　代入上面的式子，得到
　　x1 = |R| * （x0 * cosB / |R| - y0 * sinB / |R|）
　　y1 = |R| * （y0 * cosB / |R| + x0 * sinB / |R|）
　　x1 = x0 * cosB - y0 * sinB
　　y1 = x0 * sinB + y0 * cosB
　　这样我们就得到了2-D迪卡尔坐标下向量围绕圆点的逆时针旋转公式。顺时针旋转就把角度变为负：
　　x1 = x0 * cos（-B） - y0 * sin（-B）
　　y1 = x0 * sin（-B） + y0 * cos（-B）
　　x1 = x0 * cosB + y0 * sinB
　　y1 = -x0 * sinB + y0 * cosB
　　现在我要把这个旋转公式写成矩阵的形式，有一个概念我简单提一下，平面或空间里的每个线性变换（这里就是旋转变换）都对应一个矩阵，叫做变换矩阵。对一个点实施线性变换就是通过乘上该线性变换的矩阵完成的。好了，打住，不然就跑题了。
所以2-D旋转变换矩阵就是：
[cosA& sinA]&&&&& [cosA -sinA]
[-sinA cosA] 或者 [sinA cosA]
　　我们对点进行旋转变换可以通过矩阵完成，比如我要点（x， y）绕原点逆时针旋转：
&&&&&&&&& [cosA& sinA]
[x, y] x& [-sinA cosA] = [x*cosA-y*sinA& x*sinA+y*cosA]
为了编程方便，我们把它写成两个方阵
[x, y]&& [cosA& sinA]&& [x*cosA-y*sinA& x*sinA+y*cosA]
[0, 0] x [-sinA cosA] = [0&&&&&&&&&&&&& 0&&&&&&&&&&& ]
也可以写成
[cosA -sinA]&& [x 0]&& [x*cosA-y*sinA& 0]
[sinA& cosA] x [y 0] = [x*sinA+y*cosA& 0]
三、2-D的绕任一点旋转
　　下面我们深入一些，思考另一种情况：求一个点围绕任一个非原点的中心点旋转。
　　我们刚刚导出的公式是围绕原点旋转的公式，所以我们要想继续使用它，就要把想要围绕的那个非原点的中心点移动到原点上来。按照这个思路，我们先将该中心点通过一个位移向量移动到原点，而围绕点要保持与中心点相对位置不变，也相应的按照这个位移向量位移，此时由于中心点已经移动到了圆点，就可以让同样位移后的围绕点使用上面的公式来计算旋转后的位置了，计算完后，再让计算出的点按刚才的位移向量 逆位移，就得到围绕点绕中心点旋转一定角度后的新位置了。看下面的图
现在求左下方的蓝色点围绕红色点旋转一定角度后的新位置。由于红色点不在原点，所以可以通过红色向量把它移动到原点，此时蓝色的点也按照这个向量移动，可见，红色和蓝色点的相对位置没有变。现在红色点在原点，蓝色点可以用上面旋转变换矩阵进行旋转，旋转后的点在通过红色向量的的逆向量回到它实际围绕下方红色点旋转后的位置。
在这个过程中，我们对围绕点进行了三次线性变换：位移变换-旋转变换-位移变换，我们把它写成矩阵形式：
设红色向量为（rtx， rty）
[x y 1]&& [1&& 0&& 0]&& [cosA& sinA 0]&& [1&&& 0&&& 0]&& [x' y' -]
[0 1 0] x [0&& 1&& 0] x [-sinA cosA 0] x [0&&& 1&&& 0] = [-& -& -]
[0 0 1]&& [rtx rty 1]&& [0&&&& 0&&& 1]&& [-rtx -rty 1]&& [-& -& -]
　　最后得到的矩阵的x'和y'就是我们旋转后的点坐标。
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排名：千里之外
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学年上海市浦东新区建平中学高三（上）期中数学试卷（理科）
一、填空题：本题有14小题，每小题4分，共56分
1．已知集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={4，5}，则A∩（CUB）={2}．
2．函数y=|x-2|的递减区间为（-∞，2]．
3．已知z∈C，且，则f（i）=i．
4．函数y=2，x≥0的反函数是x，x＜0x，x≥0y=．
5．圆的极坐标方程为ρ=2cosθ，则该圆圆心的极坐标为（1，0）．
6．已知直线l的方程为，则直线l的斜率为．
7．设函数y=ax-b（a＞0，a≠1）的图象过点（1，2），函数y=logb（x+a）（b＞0，b≠1）的图象过点（0，2），则a+b等于6．
8．若不等式|x-1|-1≤a的解集非空，则整数a的最小值是-1．
9．函数y=a1-x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0上，则m2+n的最小值为．
10．已知关于x的方程2-2x+11)+t-1=0有实数解，则实数t的范围是（-∞，0]．
11．已知ax&x≥1是（-∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是．
12．若关于x的方程f（2008+x）f（a-x）=0恰有2009个根，且所有根的和为2009，则实数a的值为-2010．
13．已知函数，规定：•)，且Snm=a1m+a2m+…+anm（n，m∈N•），则S20102010的值是2020050．
14．若存在实数a∈R，使得不等式&x|x-a|+b＜0对于任意的x∈[0，1]都成立，则实数b的取值范围是2．
二、选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分
15．不等式的解集是（　　）A．（-∞，2）B．（2，+∞）C．（0，2）D．（-∞，0）∪（2，+∞）
16．若y=f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）=0”是“y=f（x）是奇函数”的（　　）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
17．满足方程f（x）=x的根x0称为函数y=f（x）的不动点，设函数y=f（x），y=g（x）都有不动点，则下列陈述正确的是（　　）A．y=f（g（x））与y=f（x）具有相同数目的不动点B．y=f（g（x））一定有不动点C．y=f（g（x））与y=g（x）具有相同数目的不动点D．y=f（g（x））可以无不动点
18．函数&1(x)=1-x，2(x)=1-|x|，3(x)=1+x，4(x)=1+|x|的图象分别是点集C1，C2，C3，C4，这些图象关于直线x=0的对称曲线分别是点集D1，D2，D3，D4，现给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（　　）①D1⊂D2 ②D1∪D3=D2∪D4&&&③D4⊂D3&&&④D1∩D3=D2∩D4．A．①③B．①②C．②④D．③④
三、解答题：（本题共有5道大题，满分78分），解答下列各题必须写出必要的步骤．
19．已知关于t的方程t2-2t+a=0一个根为（1）求方程的另一个根及实数a的值；（2）若2-3m+6在x∈(0，+∞)上恒成立，试求实数m的取值范围．
20．如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB上的动点．（1）若异面直线AD1与EC所成角为600，试确定此时动点E的位置．（2）求三棱锥C-DED1的体积．
21．某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？
22．已知函数12(x+1)，当点P(x0，y0)在y=f(x)的图象上移动时，点0-t+12，y0)(t∈R)在函数y=g(x)的图象上移动．（I）点P的坐标为（1，-1），点Q也在y=f（x）的图象上，求t的值；（Ⅱ）求函数y=g（x）的解析式；（Ⅲ）若方程122xx+1的解集是∅，求实数t的取值范围．
23．记．（1）若函数，求f（x）表达式（2）求|x-p1|，2×3|x-p2|)}=3|x-p1|，对所有实数x成立的充分必要条件（用p1，p2表示）；（3）若|x-p1|，2×3|x-p2|)}，且f（a）=f（b）（a，bp1，p2为实数，且a＜bp1，p2∈（a，b））求f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和（闭区间[m，n]的长度定义为n-m）．--博才网
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