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小学数学五年级教案――解决问题的策略 ―― 倒推
15:23:24&&&&&&&&标签：
【教学内容】
苏教版义务教育课程标准实验教材五年级（下）第88&89页《解决问题的策略》。
【教学目标】
&& 1.使学生学会用&倒推&的策略寻求解决问题的思路，并能根据实际的问题确定合理的解题方法，从而有效地解决问题。
&& 2.让学生体验&倒推&的策略对于解决特定问题的价值，增强解决问题的策略意识，进一步发展分析、综合和简单推理的能力。
3.使学生进一步积累解决问题的经验，获得解决问题的成功体验，提高学好数学的信心。
【教学重难点】
重点：学会运用&倒推&的策略解决问题,并能根据问题的具体情况确定合理的解题方法和步骤。
难点：在解决问题过程中体验&倒推&的策略对于解决特定问题的价值。
【教学准备】
多媒体课件、例2探索练习纸
【教学过程】
一、激活经验，感知策略。
1．谈话引入：老师的年龄加上9的和再除以4，恰巧是10岁。老师今年是多少岁？
2．抢答：一个池塘内有一小片水浮莲，它每天能在水面上长大一倍，28天就把整个池塘遮满了。试问，这一小片水浮莲长到能遮住半个池塘需要多少天？
&&& 师：解决上面两个问题，你觉得有什么相同的地方？
&&& 师：这种从结果出发，倒过来推想的策略在我们的生活中和数学中经常使用。今天这节课，我们就来研究这样的解决问题的策略。
二、初步体验，建立模型。
师：在此之前，我们已经学习过用列表、整理信息、画图等策略来解决问题，今天我们将用新的策略&&倒推来解决新的问题！
1．谈话导入例1，课件动态演示。
师：同学们，从图中你可以了解到哪些信息？
师：如果咱们使两个杯子里的果汁同样多,现在你可以知道原来甲、乙两杯各有多少毫升吗？
师：你们还想让老师提供一个怎样的信息？（突出还要有变化的过程）
多媒体补上信息:甲杯倒入乙杯40毫升。
追问：分别起了什么变化？
2．解决问题。
①把讨论的结果填在表格中并列算式。
②交流：展示学生的表格，说一说想法？
3．回顾反思。
提问：回想一下，刚才解决这个问题运用了什么策略？怎样解决的？
小结：倒过来推想就要从现在的数据出发，根据各自发生的变化往回推算出原来的数据，也可以简称倒推的策略。
过渡：其实在我们的实际生活中，很多地方都会用到倒推的策略来解决实际问题。
三、自主探究，理解策略
1．探索例2。
出示例2：小明原来有一些邮票，今年又收集了24张。送给小军30张，还剩52张。小明原来有多少张邮票？
（1）学生读题。
师：想自己来解决这个问题吗？我为大家提供一些建议，请看屏幕：
让学生说一说意思。
（2）解决问题，教师巡视。
（3）小组交流，集体反馈。
抽样展示出学生的方法，&&&
可能的思路：
原有？张&&&又收集24张&&&送给小军30张 &&还剩52张
原有？张 && 去掉24张&&&&跟小军要回30张 &&还剩52张
或符号表达：
&&& 思路二：
可能出现的算法：（板书）&
52+30-24=58（张） 说一说每一步的意思。
&52+（30-24）=58（张）比原来少了6张，现在有52张，原来应该有58张。
52-30+24=46（张）&&&&& 他这样做对不对？46张对不对？
2．回顾反思，对比深化。
（屏幕显示两个例题）
回忆：在解决例1、例2问题的过程中有什么相同点？有什么不同点？
师：你认为什么样的情况适合用&倒推&的策略来解决问题呢？怎样运用呢？
& 小结：某种数量经过一系列变化后，都是已知现在的结果，要求原来的数量，就可以用倒推的策略。先从结果出发，一步一步往前倒推，直至求出答案。
四、综合应用，深化理解。
1．填一填。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
通过师生互动，引导学生从左向右，从右向左或从中间向两边填空，对比逆向与顺向思考方法，明白要根据题目的特点灵活选择合适的方法。
2．做一做。
在&汶川，加油&爱心援助活动中，王子铖同学把自己收藏图书的一半还多1本捐给了灾区的学校，自己还剩25本；张玮玮同学把自己收藏图书的一半还少1本捐给了灾区的学校，也还剩25本 。
两个人原来收藏图书一样多吗？
（1）学生读题、审题后，问：可不可以用倒推的策略解决？（可以）从哪里可以看出来？
（2）指导信息整理，画线段图。
（3）出示算式，集体反馈：
&&&&& 小结：这题用什么方法去理解比较简便？（画线段图）
3．玩一玩。
师：我国著名数学家吴文俊先生曾说过&数学好玩&，如果我这有4张纸牌，按照一定的顺序操作：把四张纸牌排成一行，将第1张和第3张交换位置，再将第2张和第4张交换，翻开看到的结果。这四张牌原来是怎样放的呢？
&&& 机动:同位互玩。
&&& 师：同学们，咱们只要勤于思考，一定会感到数学好玩，只要刻苦努力，一定会玩好数学，大家一起努力，相信一定会让数学成为好玩的数学！
五、课堂总结，拓展延伸
今天我们学习了运用倒推的策略解决问题，你是怎样理解倒推的策略的？
我们可以用哪些方法整理信息？（板书：列表格&&摘录条件&&画线段图）
小结：因此，同样运用倒推的策略解决问题，但是整理信息的方法是不唯一的！应该具体问题具体对待！
来源：本站原创
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40.5 & 0.81 & 0.18 4.8 &（15 & 2.4） 6.81+6.81&99 4.4&0.8－3.4&0.8
解决问题：
1.一台榨油机每小时榨油0.45吨，4台这样的榨油机3.5小时榨油多少吨？
2. 小华和小川两人同时从乙地分别向甲、丙两地背向而行，小华每小时走3.2千米，小川每小时走2.6千米，走了4小时两人相距多远？
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英语学习- - 　- 　- - 　- 　- - 　- 　- - - 　- 　- - 　- 　- - 　- 　- - - 　- 　-
数学学习- 　- - -
　- - - - - - - -一、学生现状分析：
本班有学生31人。大部分的学生学习态度端正，有着纯真，善良的本性。上课时都能积极思考，能够主动、创造性的进行学习。个别学生能力较差，计算和应用题都存在困难。本学年在重点抓好基础知识教学的同时，加强后进生的辅导和优等生的指导工作，全面提高本班的整体成绩。
二、本册教材分析：
这一册教材包括下面一些内容：图形的变换、长方体和正方体的认识、分数的意义和性质、分数的加法和减法、统计、数学广角和综合应用等。其中因数和倍数，长方体和正方体，分数的意义和性质，分数的加法和减法，统计等是本册教材的重点内容。
（一）、本册教材的特点：
1、优化编排结构，突出数学的文化特色，为培养学生的数感提供丰富素材。
2、计算教学内容的编排体现改革的理念，注重培养学生灵活的计算能力，发展学生的数感。
3、提供丰富的空间与图形的教学内容，注重实践与探索，促进学生空间观念的发展。
4、加强统计知识的教学，使学生的统计知识和统计观念得到进一步提升。
5、有步骤地渗透数学思想方法，培养学生数学思维能力和解决问题的能力。
6、情感、态度、价值观的培养渗透于数学教学中，用数学的魅力和学习的收获激发学生的学习兴趣与内在动机。
（二）、本册教学重点： 因数和倍数，长方体和正方体，分数的意义和性质，分数的加法和减法，统计等
（三）、本册教学难点：因数和倍数，长方体和正方体
三、本册教学总目标及要求：
1、理解分数的意义和基本性质，会比较分数的大小，会把假分数化成带分数或整数，会进整数、小数的互化，能够比较熟练地进行约分和通分。
2、掌握因数和倍数、质数和合数、奇数和偶数等概念，以及2、3、5的倍数的特征；会求100以内的两个数的最大工公因数和最小公倍数。
3、理解分数加、减法的意义，掌握分数加、减法，会解决有关分数加、减法简单实际问题。
4、知道体积和容积的意义及度量单位，会进行单位之间的换算，感受有关体积和容积之间的实际意义。
5、结合具体情境，探索并掌握长方体和正方体的体积和表面积的计算方法，探索某些实物体积的测量方法。
6、能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形，以及将简单图形旋转90度；欣赏生活中的图案，灵活运用平移、对称和旋转在方格纸上设计图案。
7、通过丰富的实例，理解众数的意义，会求一组数据的众数，并解释结果的实际意义；根据具体的问题，能选择适当的统计量表示数据的不同特征。
8、认识复式折线统计图，能根据需要选择适当的统计图表示数据。
9、经历从实际生活中发现问题、提出问题、解决问题的过程，体会数学在日常生活中的作用，初步形成综合运用数学知识解决问题的能力。
10、体会解决问题策略的多样性及运用优化的数学思想方法解决问题的有效性，感受数学的魅力。形成发现生活中（转载自点亮网，请保留此标记。）的数学的意识，初步形成观察、分析推理的能力。
11、体会学习数学的乐趣，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。
12、养成认真作业，书写整洁的好习惯。
四、本册教学措施：
（一）常规方面：
1．在集体备课基础上，还应同年级老师交换听课，及时反思，真正领会教学设计意图，提高驾御课堂的能力。教师应转变观念，采用“激励性、自主性、创造性”教学策略，以问题为线索，恰当运用教材、媒体、现实材料突破重点、难点，变多讲多练，为精讲精练，真正实现师生互动、生生互动，从而调动学生积极主动学习，提高教与学的效益。
2．不增减课程和课时，不提高要求，不购买其他复习资料，不留机械、重复、惩罚性作业和作业总量不超过规定时间，
3．通过教学，对学生的学习态度和学习方法、学习纪律等方面提出始终一贯，科学而严格的要求。
4．转变教学方法。在数学教学中，教师必须将“重视结论”的教学转变为“重视过程”的教学，注重再现知识产生、形成的过程，引导学生去探索、去发现。
5．在课堂上开展小组合作学习，让学生在一起摆摆、拼拼、说说，让学生畅所欲言，互相交流，减少学生的心理压力，充分发挥学生的主题性，培养学生的创新意识和实践能力。
6．在教学中注意采用开放式教学，培养学生根据具体情境选择适当方法解决实际问题的意识。如通过一题多解、一题多变、一题多问、一题多编等途径，拓宽学生的知识面，沟通知识之间的内在联系，培养学生的应变能
7．练习的安排，要由浅入深，体现层次性。对不同的学生，要有不同的要求和练习，对优生、学困生都要体现有所指导。
8．增强数学实践活动，让学生认识数学知识与实际生活的关系，使学生感到生活中时时处处有数学，用数学的实际意义来诱发和培养学生热爱数学的情感。
9．加强对家庭教育的指导。引导家长遵循教育规律和学生身心发展的规律、科学育人。引导学生正确对待成功与失败，勇敢战胜学习和生活中的困难，做学习和生活的强者。
（二）后进生转化方面：
1、培养后进生的自信心。只有树立起后进生的自信心，我们的转化工作才找到了起点。要用科学的方法教育后进生。
2、对后进生多宽容，少责备。要做到“三心”：诚心、爱心、耐心。
3、班主任不仅要注意培养后进生的学习兴趣。　注意培养其兴趣的稳定性和集中性，使后进生有恒心、有毅力，在学习中专心致志，精益求精，从枯燥中寻乐趣，于困难中求喜悦。
4、老师的辅导要及时，当然家庭的配合是转化后进生的外部条件。父母在学生成长过程中的影响是很明显的，也是极为重要的。班主任可通过家长学校、家长会议、家访等多种形式与家长相互交流，沟通信息。　
（三）优秀学生培养措施
1、保护优秀学生学习的积极性，鼓励质疑。
2、在教学中渗透课外知识，指导学生自学，课外有计划对学生进行抓优指导。
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培训超市& (5000多套光盘)加强数学思想渗透&发展数学思维能力
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加强数学思想渗透&发展数学思维能力
&&&热&&&&&
加强数学思想渗透&发展数学思维能力
作者：佚名&&&&转贴自：人民教育出版社小学数学室，北京100081&&&&点击数：1318&&&&更新时间：&&&&文章录入：
――对人教版小学数学教材“数学广角”修订的几点思考
（人民教育出版社小学数学室，北京100081)
摘要：新一轮课程改革以来，小学数学课堂教学越来越关注数学思想方法的渗透，即将颁布的课程标准修订稿明确了“数学的基本思想”作为“四基”目标之一，进一步明确了数学思想在数学教育中的地位。人教版实验教材新增了“数学广角”的内容，引导教师进一步探索和加强对学生数学思维能力的培养。经过教学实践的检验，“数学广角”还应该从内容选取、呈现方式和教学目标的制定等方面进行修订和完善。
关键词：数学思想；小学数学教材；数学广角；数学思维能力
中图分类号：G623.5文献标志码：A
文章编号：11)09-0067-05
随着课程改革的深入，小学数学课堂中教师越来越重视数学思想方法的渗透。“授人以鱼，不如授人以渔”，也正说明我们的古人早已认识到了思想方法的重要性。今天的数学教学，要让学生在获得数学知识的同时，了解知识的来龙去脉，掌握解决问题的基本方法，形成基本的数学思想方法。数学知识和技能是学生进一步学习的基础，同时，数学思想方法更是学生思维发展和终身学习的重要基础。本文希望通过比较国内外中小学数学教育课程标准对数学思想的要求，比较国内三套数学实验教材关于数学思想方法的编写情况，结合当前小学数学课堂中有关数学思想方法的教学现状分析，提出人教版小学数学实验教材中“数学广角”修订的几点思考。
一、近年来国内外中小学数学教育对数学思想的认识
（一）国外中小学数学教育对数学思想的认识与要求
美国2000年公布的《学校数学教育的原则和标准》【1】提出：从学前期至十二年级的数学教育应该使所有的学生都能够认识到推理和证明是数学的基础；提出并探讨数学猜想；发展和评价数学推理和证明；选择和运用不同的推理和证明方法。同时，使学生能通过交流、组织和巩固他们的数学思维；分析和评价他人的数学思维和策略等。
新加坡2005年公布的小学数学教学大纲【2】指出：小学阶段要发展学生逻辑地进行演绎推理和归纳推理的能力，通过解决数学问题和进行解释，发展数学思维与推理的技能；能用数学语言交流数学思想，并能精确、简明和逻辑地进行论证；用数学思想作工具进行原创性的工作。
日本2008年新修订的《小学数学学习指导要领》【3】中对数学思想的要求有：小学阶段培养学生对日常生活中的事物进行预见性的、有条理的思考及表达的能力；同时，使学生意识到数学活动的乐趣和数学思想方法的优越性，培养学生在生活和学习中积极地活用数学的态度。
由上可以看出，各国在中小学数学教育中非常重视数学思想方法的渗透，重视培养学生的数学思维能力，让学生学会“数学地思维”。由强调“问题解决”向更重视“数学地思维”发展，已成为目前国际数学教育界的共识。
（二）国内中小学数学教育对数学思想的认识与发展
1995年颁布的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》【4】指出：小学生学习数学，不仅要掌握一定的数学基础知识和基本技能，还要培养思维能力。结合有关内容的教学，培养学生进行初步的分析、综合、比较、抽象、概括和逻辑思维能力，适当渗透集合、函数等数学思想和方法。
2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》【5】（以下简称《标准》）指出：教师应帮助学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。帮助学生“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题……”“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点”。特别地，即将颁布的数学课程标准修订稿指出：数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用。因此，关于数学课程的总体目标，除了传统的基础知识和基本技能的“双基”目标，又加上了数学的基本思想和基本活动经验，成为“四基”目标。要求教师在教学中“引导学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想”。
由此可见，我国中小学数学教育一直重视渗透数学思想，并且这种重视越来越明确，对数学的基本思想的内涵认识也越来越清晰，对教师的教学也提出了更加明确的要求。
那么，什么是“数学的基本思想”呢？史宁中教授认为：数学思想不仅包括学习数学知识所涉及的思想，比如，等量代换、数形结合、递归、转换等，还包括解数学题所涉及的合并同类项、配方法、换元法等。“基本思想”主要是指演绎和归纳，在具体的问题中，会涉及数学抽象、数学模型、等量代换、数形结合等数学思想，但最上位的思想还是演绎和归纳。这里之所以用“基本思想”而不用“基本思想方法”，就是要与换元法、递归法、配方法等具体的数学方法加以区别。每一个具体的方法可能是重要的，但不具有一般性，作为一种思想掌握是不必要的，经过一段时间，学生很可能就忘却了。这里所说的思想，是希望学生领会之后能够终身受益的那种思想方法。【6】
演绎推理是根据概念、定理等按照规则进行的推理，是一种由一般到特殊的推理。它的主要功能在于验证结论。而归纳推理正好与演绎推理相反，它是一种从特殊到一般的推理，包括枚举、归纳、类比、统计推断、因果分析以及观察实验、比较分类、综合分析等。它的主要功能在于发现新的真理。【6】传统的中小学数学教育在培养学生的演绎推理能力方面做得很好，但是缺少对归纳推理能力的培养，这也正是目前学生普遍缺乏创新能力的原因之一。因此，即将颁布的课程标准修订稿提出了“四基”的要求，也就是要继续保持传统的“数学双基教学”合理的内核，同时加强“基本思想”的渗透和“基本活动经验”的积累，这样才能更好地培养出具有创新精神和实践能力的人才。
在小学阶段，要让学生理解和掌握哪些数学的基本思想，教材中应该采用怎样的方式进行渗透呢？即将颁布的课程标准修订稿给我们指引了明确的方向，那么，在教材修订时如何体现课程标准的这个理念呢？下面先通过对目前正在实验的人教版、北师大版、苏教版三套小学数学教材进行比较，看看现在不同版本的教材在数学思想方法编写内容上有何异同。
二、课标实验教材中数学思想方法的编写比较
实验教材是以《标准》的基本理念和所规定的教学内容为依据编写的。《标准》指出：数学知识是教材编写的一条主线，同时结合数学知识的编排渗透一些重要的数学思想方法，使学生受到数学思想方法的熏陶，形成探索数学问题的兴趣与欲望，逐步发展数学思维能力，进而奠定发展更高素质的基础。
人教版、北师大版、苏教版三套教材都注意结合所学数学知识的编排渗透数学思想方法。一方面，结合具体内容渗透一些重要的数学思想方法，比如：结合数数、比一比的知识渗透集合与对应的思想；结合认识物体和图形以及分类让学生体会分类思想；结合小数乘除法和多边形的面积渗透转化的数学思想；结合简易方程渗透符号化和初步的代数思想；结合圆的面积渗透极限思想；等等。另一方面，在实践活动和综合应用的编排中也让学生初步感受一些数学的思想方法，比如：人教版的“摆一摆想一想”“掷一掷”渗透分类、排列组合思想，“量一量 找规律”渗透函数思想，“打电话”渗透优化思想，等等；北师大版的“图形中的规律”渗透找规律、数列思想，“数学与交通”“数学与购物”渗透优化思想，等等；苏教版“球的反弹高度”“大树有多高”渗透函数思想等。
人教版教材从二年级开始单独安排了“数学广角”系统，从而有步骤地向学生渗透一些重要的数学思想方法。下表列出了“数学广角”的具体编排情况。
（注：“分类”“找规律”不是以“数学广角”的形式出现的。）
北师大版更多的是通过数学活动来渗透数学思想方法，下表列出了三年级以后的具体编排情况。
苏教版则从三年级开始安排了“找规律”“解决问题的策略”等内容，系统渗透相关的数学思想方法。下表列出了苏教版的具体编排情况。
通过比较，不难看出三套教材都体现了《标准》的要求，不仅结合具体的数学知识进行思想方法的渗透，而且都尝试单独安排了相关的单元或活动进行渗透。在具体的编排上，三套教材也有相同的内容，比如找规律、排列组合、鸡兔同笼等。但是人教版教材在编排上更加系统，内容也更加丰富。其他两个版本的教材则加强了解决问题策略的编排，更加突出数学方法的整理和渗透。当然，这些内容安排是否恰当，学生能否从中很好地体会数学思想方法，进而发展他们的数学思维，特别是能否实现即将颁布的课程标准修订稿的“四基”目标，还需要教材编写者进一步研究和广大教师课堂教学实践的检验。下面结合案例对当前小学数学课堂中有关“数学广角”的教学现状进行分析，希望能对教材在这方面的修订有所启示。
三、数学思想方法教学的现状分析
《标准》没有把数学思想方法作为一个独立的内容领域，教学中建议教师帮助学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法。在实际教学中，教师们投入很大的热情开展了丰富的课堂教学研究。我们看到在各种教学观摩课和教学比赛中，很多教师选择了“数学广角”作为研究的课题，这也从一个侧面说明教师在课堂上越来越重视数学思想方法的渗透，重视学生数学思维的培养。但同时，由于“数学广角”是实验教材新增的内容，教师们也是在探索中前行，难免会出现一些问题。
目前，“数学广角”教学中一个比较突出的问题是过于关注解决问题的方法，而数学思想的渗透不够。
以四年级下册“植树问题”为例。现实生活中和“植树问题”类似的问题很多，因此教材选取植树问题作为代表，通过建立数学模型，探究发现解决植树问题的一般规律，并将发现的规律推广到解决这一类实际问题上。这里重要的是让学生探究发现一条线上植树问题的规律，经历数学建模的过程，体验“化繁为简”的解决问题策略和数学思想方法。但在教学中，教师更加关注的是让学生掌握植树问题三种情形的规律（公式）。我们常常看到课上教师引导得很多，给学生自主探究的时间不够，规律更多的是在教师的层层引导下得出的，虽然学生当时能利用这些规律解决问题，但是时间一长就会忘记。因此，这样的教学只是让学生在解决问题的层面上掌握了具体的方法，但没有很好地体现“数学广角”渗透数学思想的宗旨。
笔者认为，教师应该在提出问题后让学生自己去探索，留给学生充分的思考空间，让他们经历化繁为简的思想、模型的建立，利用直观操作和线段图来发现植树问题的一般规律。这样，学生亲身经历探究的过程，才能体会和理解重要的思想和方法。即便不去记忆结论或者时间长了忘记具体的规律，学生也能利用这种思想方法去研究和探索类似的问题。
总之，“数学广角”不是简单地教学某个具体问题的解题方法，而是借助对这类问题的探究，让学生经历解决问题的过程，渗透基本的数学思想，培养学生的数学素养。
另外一个值得注意的问题是，教学中对“数学广角”内容中蕴涵的数学思想挖掘得不够，没有很好地体现教材的编排意图和教学目标。以五年级下册“找次品”为例。教材以“找次品”为载体，让学生通过观察、猜测、实验等方式感受解决问题策略的多样性，通过归纳推理的方法体会运用优化策略解决问题的有效性，感受数学的魅力。在这里蕴涵了逻辑推理、猜想验证、化归等重要思想方法。但在教学中，我们看到更多的是学生被动接受已经被前人证明的最优化的方法，再经过反复的练习加以巩固。这样的教学，学生只记住了找次品的方法，可能还有一部分学生尚未完全掌握这种方法。至于为什么平均分成3份就能最快找出次品，学生没有机会去思考和探索，更谈不上体会其中的数学思想了。如前所述，“数学广角”教学的重点不是让学生记住具体的结论而是让学生经历探索结论的过程，感悟数学思想方法，教师应该明确它的教学要求。因此，这节课应该让学生在实验操作的基础上，通过图示、列表等方式表示探索的过程，在解决问题的多种方案中感受并发现最优的策略，经历归纳推理的过程，再将发现的规律应用到解决找次品问题上。记住结论只能解决找次品这一类问题，而经历探索的过程，是对学生思维能力的培养，是学生终身学习的基础。
当然，通过教学实践，我们也在反思教材编写中需要改进的地方。
以六年级上册的“鸡兔同笼”为例。“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中，在我们的现实生活中同样也存在着许多类似“鸡兔同笼”的问题，需要运用数学知识去解决。教材通过让学生尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题，感受古题的趣味性，培养逻辑推理能力，同时体会方程解法的一般性。
经过教学实践的检验，我们发现假设法是解决这类问题比较巧妙的方法，但是假设法有它的局限性，并且学生不易理解，学过之后就忘了，最后就只剩下列方程的一般代数解法。这就和“数学广角”的设计思想不符，我们应该考虑什么方法更有一般性，适用范围更广泛，更能体现数学的基本思想。基于这样的思考和教学实践，让学生通过列举的方法进行尝试，在尝试的过程中不断猜测并发现规律，从而优化探索的过程。这种尝试、列举、验证的方法是我们解决很多问题经常采用的方法，是数学中最朴素并且广泛应用的方法，也渗透了最基本的数学思想。因此，经过教学实践的检验，教材也需要作出相应的调整。
四、“数学广角”修订的几点思考
结合前面对数学的“基本思想”的理解、对三套教材的比较研究以及目前小学数学教学实践的反思，为了能更好地体现《标准》帮助学生获得“基本的数学思想”的要求，人教版小学数学教材“数学广角”的修订，应该从内容选取、呈现方式、目标制定等方面进行进一步研究并加以完善。
（一）教材的内容选取
小学阶段的数学思想方法主要有集合、排列组合、等量代换、逻辑推理、运筹优化、转化、数形结合、符号化以及初步的代数思想等。有些是需要结合具体数学知识进行渗透的，有些可以通过“数学广角”来进行渗透。那么，到底“数学广角”需要渗透哪些基本思想，应结合怎样的具体内容进行渗透呢？
一方面，通过“数学广角”渗透的思想要考虑那些最为基本的数学思想，而不是一些特殊的数学解题方法。正如史宁中教授所说的“主要是演绎和归纳”,“数学发展所依赖、所依靠的思想本质上有抽象、推理、模型三个”。像符号化、集合就体现了抽象的能力；逻辑推理、等量代换、合情推理等可以培养推理的能力；数学建模思想则可以从模型方面发展学生的数学思维。而列表法、图示法等只能作为一种具体的解题方法，不适合作为“数学广角”的内容。像找规律、排列组合、“鸡兔同笼”等能很好地渗透观察、枚举等归纳推理能力的培养；逻辑推理、抽屉原理则主要是培养学生的演绎推理能力；植树问题既体现了“特殊一一般”的归纳推理，又体现了“一般一特殊”的演绎推理，同时还渗透了数学建模的思想。这些都可以作为“数学广角”的内容载体培养学生的数学思维能力。
另一方面，我们还要考虑小学数学的内容和小学生的认知水平。针对不同年级的学生，结合已有的教学实践经验，分析哪些内容是他们能接受的，哪些内容超出他们的认知水平。例如，植树问题对于四年级学生来说有一定的困难，可以考虑在五年级再涉及；“鸡兔同笼”主要培养学生的归纳推理能力，尝试的方法应该尽早向学生渗透，安排在六年级就低估了学生的能力，而且五年级学过方程以后也会造成一定的干扰，所以应该提前到四年级进行渗透教学。
根据以上的考虑，可以将“数学广角”的内容调整如下：
（二）教材的呈现方式
选取了具体的内容，“数学广角”应该采用怎样的呈现方式呢？教材内容的呈现实际上给教师提供了教学的思路，因此，要结合具体内容分析学生学习探索的过程，展现出探索中蕴涵的数学思想，特别是基本的数学思想。“数学广角”的教学，不仅仅是“问题解决”的教学，我们需要解决具体的问题，但是更重要的是解决问题过程中体现出的思维方法――能够推广到更多问题和一般领域的思维方法。
即将颁布的课程标准修订稿提出的“基本的数学思想”特别强调归纳推理的能力，因为这种归纳推理的能力，正是过去数学教育所忽视的地方。我们知道，演绎推理培养学生的抽象思维，归纳推理培养学生的发散思维。研究表明，儿童时期的思维特别具有发散的特征，因此在小学阶段，我们要重视这种归纳能力的培养和渗透。归纳能力的培养建立在实践的基础上，依赖于经验的积累，要让学生“主动地经历”。也就是说，让学生通过自身的探究、思考、抽象、预测、推理、反思，亲身感悟“归纳”的思想和方法，逐渐积累“归纳”的经验阁。因此，教材在呈现方式上要体现实际操作和探索的过程。
一方面，要注意呈现学生的实际操作。以植树问题为例，为了让学生在动手实践的基础上，经历发现规律、建立模型的过程，教材要突出呈现学生的实际操作，然后抽象出线段图，借助实际操作的经验和线段图的直观支撑，学生才能更好地探索和发现植树问题中蕴涵的规律。特别是，有了线段图后，学生不必死记硬背解决三种情形下植树问题的公式，而是用直观的图示解决所有类似的问题。而且，今后遇到新的类似问题，学生也会主动尝试用这种线段图的直观方法去解决。这样教材就能体现出基本的建立模型的数学思想。
另一方面，要注意呈现学生探索的过程。以鸡兔同笼为例，教材要重点突出尝试的策略，同时呈现出学生在尝试过程中不断调整思路，逐步发现一般规律，进而引出假设法的过程。这样学生才能更好地理解假设法，并且作为一种基本思想积累下来。
还要注意的是，“数学广角”配套的练习设计也要体现数学思想的运用，不能仅仅是规律或结论的运用。所以，相同内容的巩固练习和变式练习应该减少，增加一些相同思想的实践应用。
（三）教学目标的制订
有了具体的内容和呈现方式，“数学广角”究竟要向学生渗透什么基本数学思想呢？当然，内容、呈现方式和渗透的数学思想在教材上是融为一体的。但是，从课堂教学的实践反馈来看，很多教师对“数学广角”的教学目标还不清楚，课堂制订的教学目标并没有完全体现教材编写的意图。因此，关于“数学广角”教材的编排意图、在具体内容中渗透的数学思想，以及教学要达到的目标等，应在教师教学用书中有明确的说明。
首先，应总体上对“数学广角”编排的目的进行说明。结合课程标准的解读，让教师从整体上把握“数学广角”在数学教学中的要求和地位。与一般的“问题解决”不同，“数学广角”是要让学生学会“数学地思维”，也就是要渗透基本的数学思想，这些思想可以推广到更大的领域，要让学生能尝试用数学的思维解决所遇到的实际问题。
其次，结合具体内容分析学生的数学知识基础和认知水平，说明解决问题中蕴涵的基本数学思想，特别是具有普遍意义、能广泛应用的思想，绝大多数学生能够接受的思想，例如鸡兔同笼中的尝试、植树问题的线段图和模型思想等，而不仅是只适合这一种问题的思想，更不是解决问题的特殊技巧。
再次，还应加强对教师教学的指导，特别是教学中如何引导学生在探索的过程中体会一般的数学思想。一方面，要让学生经历动手操作的实践体验，建立直观的表象。另一方面，要留给学生充分的独立思考和自主探索的时间，注意多用小组合作探索和讨论交流的活动方式，并让每个学生都能参与其中。因为，数学思想是不可以传递的，只能靠学生自己去感悟。教师的作用就是引导和启发学生思考，归纳和分析学生的思路和结论。最后，要特别说明的是，数学思想主要是结合具体的数学知识进行渗透，“数学广角”的内容只能作为一种适当的补充，起到增益效果的作用。
参考文献：
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【2】孔企平．对新加坡小学数学课程特色的分析【J】．课程•教材•教法，2006(12).
【3】文部科学省．小学校学习指导要领【S】．东京：东京书籍株式会社，平成20年（2008年）:43.
【4】中华人民共和国教育部．九年义务教育全日制小学数学教学大纲•（试用）【S】．北京：人民教育出版社，.
【5】中华人民共和国教育部．全日制义务教育数学课程标准（实验稿）【S】．北京：北京师范大学出版社，.
【6】史宁中．教育与数学教育【M】．长春：东北师范大学出版社，-196,197.
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