求极限一定要“守法”（含实例讲解）
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求极限是专升本数学必考的知识点之一，每年也有很多同学在这个考点上失分，今天我们就来看看极限四则运算法则。既然是运用法则就必须遵守法则，因为通过前一段时间的暑假班、周末班的复习中小编发现不少同学就是“不管不顾”的“乱求极限”。
极限的运算法则
下面我们就通过实例分析看看求极限到底要怎么“守法”
只有当f(x)与g(x)的极限都存在时，才能使用四则运算法则. 否则，很容易产生谬误。例1中先求分母的极限，分母的极限存在且不为0，分子也有极限，因此可以用法则“商的极限等于极限之商”。
以下两个结论,经常出现在已知极限求参数类型的题目中。
例2中，由于分母的极限为0，分子的极限存在不为0，故求函数的倒数的极限，倒数的极限为0，为无穷小，则原先函数的极限为无穷大.
例3中的分子分母极限都为0，所以不能直接用商的运算法则。函数是有理式时，一般是先约去公因子（无穷小因子），之后再看是否符合极限运算法则。如果函数中含有根式，则往往通过分子分母同乘其共轭根式的方法消去无穷小因子，之后再运用法则计算。
例4中，分子分母均不存在极限且为无穷大，多项式之商的情形一般是分子分母同除分母中的最高次幂，分出无穷小，再观察是否符合极限的运算法则之条件，若符合就计算出来，一般有下面的几种结论：
例5中，是数列之和的极限问题，n趋于∞，实际上有无穷多项相加，无穷多个无穷小的和不一定是无穷小！故此类题目一般是先求和再求极限，若不能顺利求和，可考虑用两边夹法则试求之。
例6中，x趋于∞时，sinx没有极限但有界。运用无穷小的性质，“有界变量与无穷小的乘积还是无穷小”，故此极限为0.
例7中，是对分段函数求极限，一定要考虑左右极限是否存在！
例8中，首先消去了无穷小因子，之后利用复合函数求极限的运算法则，将中间变量u=x-a视为“一个变量”，过渡一下，再求极限。
上面的例题属于基本的求极限题型，这些题型老师们在课堂上都讲过，今天贴出来的目的是希望引起同学们对极限运算法则的重视，要学会“守法”，“依法”求极限。
根据上述四则运算法则，我们可以很容易地计算如下两类函数的极限.
1.多项式函数
2.有理函数
下面我们来看有理函数极限的计算。
从以上公式，你有什么发现吗？
这种方法称为“保留最大项法”或“抓大项法”.
当然，也可以分子分母同除以变化最快的一项，这种方法就是所谓的“无限小分出法”.
上述方法不仅适用于多项式函数，也可以推广到幂指函数、阶乘函数、指数函数、幂函数、对数函数等。
例12：非数学专业请从此例飘过......
目前，对于这类极限的计算，我们通常是分解因式，将分子和分母中趋于0的因式约掉. 今后，我们也可以采用洛必达法则来计算。
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对一道求极限题的讨论
　　【摘要】在高等数学学习过程中，模棱两可的概念往往对某些问题造成影响.本文就一道考试过程中求极限题目，说明了在求极限过程中应该注意的几点问题. 中国论文网 http://www.xzbu.com/9/view-9295042.htm　　【关键词】无穷小代换；定因子；洛必达法则 　　 　　在某次考试过程中，有一道这样的题： 　　例 求极限?┆?lim????x→0??sin??x+x??2??sin??1x(1+??cos??x)??ln??(1+x). 　　三种错误解法： 　　解1 原式=?┆?lim????x→0??sin??x+x??2??sin??1x2x??=?┆?lim????x→0??cos??x+2x??sin??1x-??cos??1x2. 　　∴极限不存在. 　　注 解1是错误的.我们知道：洛必达法则不是万能的，它只是一个充分条件.也就是说，当????lim????f′(x)F′(x)不存在时（等于无穷大的情况除外），不能判断?┆?lim????f(x)F(x)一定不存在. 　　解2 原式=?┆?lim????x→0??sin??x+02x=12. 　　注 解2是错误的.定因子运算指的是：当乘积中某一项因子极限存在且不为0时，我们可先计算化简结果. 　　解3 原式=?┆?lim????x→0x+x??2??sin??1x2x=12. 　　注 解3是错误的.在和差情况下，要慎用等价无穷小.如下例： 　　若?┆?lim????x→0??sin??6x+xf(x)x??3=0，求?┆?lim????x→06+f(x)x??2.此题若用等价无穷小会出现错误. 　　两种正确解法： 　　解1 原式=12?┆?lim????x→0??sin??x+x??2??sin??1xx定因子运算、等价无穷小替换?? 　　=12?┆?lim????x→0??sin??xx+?┆?lim????x→0x??2??sin??1xx??=12.极限运算法则 　　解2 由于所求极限为00型，而?┆?lim????x→0x??2??sin??1x??sin??x=0. 　　∴原式=?┆?lim????x→0??sin??x(1+??cos??x)??ln??(1+x)（取大头）?? 　　=12?┆?lim????x→0??sin??x??ln??(1+x)??=12.(等价无穷小替换、极限运算法则) 　　结束语 　　在高等数学学习过程中，一定要注重基本概念、基本理论、基本方法的学习与掌握，例如：求极限过程中的等价无穷小代换、洛必达法则，学生们用起来都非常顺手，容易导致忽视条件出现错误.所以可在讲此处内容时反其道而行之，着重强调什么情况下不能使用，达到掌握知识的目的. 　　 　　【参考文献】?? 　　［1］同济大学应用数学系.高等数学（上）（第五版）［M］.北京:高等教育出版社，2002. 　　［2］韩云瑞.高等数学典型题精解(第三版)［M］.大连:大连理工大学出版社，2006. 　　［3］龚冬保，武忠祥，毛怀遂，等.高等数学典型题(第二版)［M］.西安:西安交通大学出版社，2000. 　　［4］王俊青.数学分析中的反例［M］.北京:电子科技大学出版社，1999.???おおおおおお? 　　 　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文 　　
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