这老坟怎么还有人邀请……稠密跟连续有一步之差，连续是说数轴上你随便选个地方一刀切下去，切点上一定有一个实数，这个就叫实数的连续性。对有理数这个就不成立了，一刀下去有可能刚好切空了没切到有理数；但是如果你用两刀削下来一个有长度的线段（开区间），不管你刀工多精妙，线段长度再小，只要不为0，其中就一定有至少一个——甚至可以说，有无穷多个有理数。这个就叫做有理数的稠密性。把线段（开区间）换成空心邻域，最多少一个有理数，那么剩下的有理数仍然是无限多个，也就是说任意一个点的任意空心邻域中都仍然有有理数。}

首先搞清楚“离散点”在这里意味着什么。如果意味着“孤立点”，那么根据孤立点的定义，离散点集的一个元素必须和该元素的余集保持长度为至少某一实数a的距离。但是有理数集本身有一个性质，即在任意两个有理数点中间存在一个有理数点（取两点之间的中点即可），也就是说，假设存在满足条件的a，以a为距离的两点之间又可以找一个有理数点，因此这里有理数集根本就不会是孤立点集，这个意义上说有理数集是“离散点集”就是错的，你就不能说它的闭包还是自身了。其实按照稠密集的定义题主就应该知道有理数集不会是这种“离散点集”了…“没有非空开子集”推出“有理点集是疏集”也是犯了一样的毛病，没有非空开子集不一定是疏集，如果集合里所有点不是连续的，那么它就没有非空开子集，但这些点在稠密的情况下是不能叫“离散”的，因为它们对任意半径的邻域都能找到同集合的点，是有“离”但压根就没“散”开好吧。无限点集要和有限点集在直觉上分开来的，存在“离”而不“散”的情况。任意两点都可以视为某个开区间的端点，如果点集是有限的，那么这些开区间的数量也就有限，于是总可以寻找到一个最小的开区间，导致闭区间里的有限点集一定是疏集。但如果点集是无穷的，开区间的数量也就无穷，就有可能存在其长度极限为0但永不等于0的情况，这时候点是“散”不开的。}

我们之所以能够用科学来认知和解释这个宇宙中各种纷繁复杂的现象，一个重要前提就是这些复杂现象背后的规律是简单、有秩序的。如果规律比现象还复杂，那么人类将永远不能认识它。在这个意义上，我相信，一切复杂都来源于简单的叠加。——遥远地方剑星网上有一个数学方面的系列笑话，其中有一个笑话是这样的：一天一个青年问禅师：”我想要很多钱，但是又不想付出，你能教给我方法吗?”禅师微笑道：“可以，但你能找到一样东西，它无穷无尽，又不占任何地方吗?”青年默默地写了一个康托尔集。如果对集合论完全不了解的朋友可能就根本看不懂这个笑话。笑话中提到的康托尔集其实就是一个集简单与复杂为一体的数学对象，即是一个分形结构，也是一个有着许多复杂特征的集合。如果说“复杂是简单的叠加”，那么康托尔集把这种叠加过程优美的融入了其构造形成的过程之中，最终得到的康托尔集甚至可以说是“简单与复杂的融合体”。这回我们就来聊聊康托尔集，彻底看懂上面的那个笑话。一、极简单的分形——康托尔集介绍康托尔集之前，必须要提一下格奥尔格·康托尔（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3-1918.1.6）。他是出生于俄国的德国数学家，有犹太血统，是集合论的创始人。今天我们能够这么深入的理解集合——这个几乎是现代数学最基础的研究对象，在极大程度上要归功于康托尔这位伟大的奠基者！康托尔集虽然以康托尔的名字命名，但是这个集合最早却是由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯（Henry John Stephen Simth）在1875年发现的。1883年，康托尔在自己的论文中引入了康托尔集，只不过那个时候还不叫这个名字。由于康托尔集在集合论以及现代数学分析中极为重要的作用，后来数学家们用康托尔的名字给这个集合命名为Cantor Set 。从图形的角度看来，康托尔集的形成过程是非常简单的，一句话就可以说清楚——持续删除现有线段的中间三分之一，直至无穷。我制作了一副康托尔集合形成过程的动图，如图1 所示。图1 康托尔集的形成过程需要强调的是，图1 中在删除中间1/3线段的时候，是不删除1/3线段的两个端点的，否则删除无穷轮后就不剩什么了。本系列文章的前两篇都提到了“分形”，一种具有自相似结构（整体和部分相似）的图形。很明显，康托尔集是具有自相似结构的分形，而且几乎属于最简单的分形了。不过正是由于康托尔集对应的图形太简单了，所以很多人反而误解了它的自相似。我在图2 中对康托尔集的自相似给出了标注。图2 康托尔集的自相似：最后一行表示经过无穷轮操作后最终的康托尔集，黑色椭圆圈出来的都是康托尔集的某个部分，这些部分和整体的康托尔集都是相似的。康托尔集就是这么简单的一个集合，或者说一些点的集合，它的形成过程决定了它具有自相似的特点。这么一个简单的分形结构有什么复杂的呢？可能让大家很意外，这个简单的分形结构形成的点集有着非常复杂的特性。二、很复杂的集合——康托尔集1、无穷无尽又不占任何地方的康托尔集禅师要求青年找出一个“无穷无尽，又不占任何地方”的东西，青年给出了康托尔集。（1）我们先来看看康托尔集“占不占地方”，也就是计算一下康托尔集的总长度。我们一步一步的来算一下：0 阶康托尔集就是初始的一条线段，我们设定它的长度为 1 ；1 阶康托尔集由两条线段构成，它们的总长度显然是2/3；2 阶康托尔集由四条线段构成，它们的总长度是4/9；3 阶康托尔集由八条线段构成，它们的总长度是8/27；......
......由此可以计算得到，n 阶康托尔集由 2^n 条线段构成，每条线段的长度为 \frac {1}{3^n} ，所以 n 阶康托尔集的总长度是 (\frac {2}{3})^n 。由于真正的康托尔集是无穷阶的，所以很容易得到，康托尔集的总长度为 \lim_{n \rightarrow +\infty}{(\frac 2 3)^n}=0！更严谨一点的说法是，康托尔集的勒贝格测度为零。关于勒贝格测度，我在以前写的一篇介绍巴拿赫-塔斯基分球悖论的文章中介绍过勒贝格测度，如想了解可供参考。既然总长度是 0 ，我们当然可以说康托尔集“不占任何地方”。（2）我们再来看看康托尔集是否无穷无尽？虽然总长度是 0 ，但要知道 n 阶康托尔集已经是由 2^n 条线段构成了，那么无穷阶康托尔集显然是由“无穷条线段”构成的。事实上，由于总长度为 0 ，所以所谓的“无穷条线段”其实都已经不是线段了，而变成了点。因此，康托尔集其实是由无穷个点组成。无穷个点构成的康托尔集，说它无穷无尽，肯定也没有问题。这就是上面笑话中禅师要求的“无穷无尽，又不占任何地方”。禅师本以为这是不可能的，从而想引导青年放弃不劳而获的想法，没想到青年是学数学出身的，虽然没钱，但却知道数学领域太多的诡异研究对象。那组笑话中，除了康托尔集，还提到了莫比乌斯环、克莱因瓶、狄利克雷函数、皮亚诺曲线、莱洛三角形等，都是有趣且比较特殊的数学现象。虽然这些数学对象都挺特殊，但是康托尔集在其中还是比较出众、鹤立鸡群的一个。2、康托尔集不是一般的“无穷无尽”禅师虽然很容易理解康托尔集确实是无穷无尽的，但是禅师应该想不到康托尔集无穷无尽的程度。有的朋友可能有疑问了，“无穷”还有程度吗？当然有了！事实上，“无穷”的程度有无穷多种！感兴趣的朋友可以参考我以前写的这篇文章。大体上说，最小的“无穷”是自然数的个数，也是偶数的个数、整数的个数、有理数的个数，它们都是同样程度的无穷，叫做可数无穷大，数学上一般记为 \aleph_0 。有比可数无穷大还要大些的无穷吗？有的，比如实数的个数，或者说直线上点的个数、线段上点的个数、空间中点的个数、无理数的个数等等，这些集合相互间也是同样程度的无穷大，但是都要比可数无穷大还大。康托尔用自己的“康托尔对角线法”证明了自然数是无法与实数建立“一一对应”（双射）的映射关系的，从而证明了自然数的个数（可数无穷大）要小于实数的个数。现在问题来了，康托尔集是在一条线段的基础上擦除掉若干部分形成的，所以它无穷大的程度肯定不会比线段上点的个数（也就是实数的个数）还大，那么它无穷大的程度到底是和自然数一样，还是在自然数与实数之间，还是和实数一样呢？下面我们来分析一下这个问题。第一步：如果把 0阶康托尔集的那条线段看作是 [0,1] 区间的话，那么最终的康托尔集那些点到底对应着哪些数呢？我们用三进制小数来表示 [0,1] 区间的实数。考虑到用小数表示实数会有多种表示方法（如 \frac 1 3=0.1=0.0\dot 2 ，三进制小数，下同），我们约定对于末尾是1的有限三进制小数，一律表示为 0\dot 2 的方式（如 1 表示为 0.\dot 2 ，0.1 表示为 0.0\dot 2 ，0.121 表示为 0.120\dot 2 ）；对于末尾是2的有限小数，仍用有限小数的形式表示。当我们逐行写出各阶康托尔集的线段端点所对应的小数的时候，会发现，0 阶康托尔集的 2 个端点为， 0 、 0.\dot 2 ；1 阶康托尔集的 4 个端点为， 0 、 0.0\dot 2 、 0.2 、 0.\dot 2 ；3 阶康托尔集的 8 个端点为， 0 、 0.00\dot 2 、 0.02 、 0.0\dot 2 、 0.2 、 0.20\dot 2 、 0.22 、 0.\dot 2 ；……规律很明显，所有三进制表示的小数中，各个数位上都没有数字 1 出现，类似 0.12 、 0.120\dot 2 这样的数是不会出现在任意某阶康托尔集线段端点中的。由于各阶康托尔集的线段端点都将是最终属于康托尔集的点。所以，我们可以把康托尔集对应的实数表示为\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac {a_n}{3^n}}\ \ ,\ (\forall n,a_n\in\{0,2\}) 换句话说，所有 [0,1] 区间中的康托尔集的实数，都可以对应到一个由 0 或 2 构成的无穷序列，这是一个“一一对应”。另一方面，任何一个“两个状态构成的无穷序列”都对应着自然数集合的一个子集。比如康托尔集的情况，我们把 0 看成“没有”，把 2 看成“有”，则某个序列 {0,0,2,0,2,2,0,0,0,……（后面全是 0 ）} 就对应着 {3,5,6} 这个自然数的子集（因为序列中只有第3、5、6个数是 2 ，代表“有”）；再比如序列 {0,0,2,0,2,2,0,2,2,2,……（后面全是 2 ）} 就对应着 {3,5,6,8,9,10,11,12,13,……} ，这也是自然数的一个子集，只不过这是一个无穷子集。这种“两个状态构成的无穷序列”与自然数子集的对应也是一个“一一对应”。经过这两次“一一对应”，我们确信“康托尔集”是可以和“自然数的全部子集构成的集合”建立一一对应的。能够建立一一对应的两个集合中的元素个数被定义为是一样多的。从而我们知道了，康托尔集中点的个数和自然数的子集的个数一样多。第二步，自然数的子集到底有多少呢？连自然数都有无穷多，那么自然数的子集当然也有无穷多啦。再深入分析一下，前面提到过，自然数的个数和有理数的个数一样多，那么自然数的子集的个数肯定也和有理数子集的个数一样多。我们很清楚的知道，任何实数都可以对应到一个有理数序列，使得这个有理数序列最终无限趋近或者等于这个实数，这种对应通过十进制小数就可以完成。例如，实数3.5可以对应到 {3，3.5} 这样一个有限长有理数序列；3.0\dot 7 8\dot 9 可以对应到 {3，3.07，3.078，3.0789，3.07897，3.078978，3.0789789，……} 这样一个无限长有理数序列； \pi 可以对应到 {3，3.1，3.14，3.141，3.1415，3.14159，......} 这个无限长的有理数序列。这些序列中的每一个数都是有限小数，肯定都是有理数。而任何一个有理数序列肯定都是有理数的一个子集，从而我们可以建立一个从实数到有理数子集的映射，每个不同的实数对应着不同的有理数子集，这说明实数的个数是小于等于有理数子集的个数的。既然自然数子集和有理数子集一样多，那么说明实数的个数也是小于等于自然数子集的个数的。第三步，联系到康托尔集。既然康托尔集中点的个数和自然数的子集的个数一样多，于是上面的论证同样说明了实数的个数是小于等于康托尔集中点的个数的。可我们已经分析过了，康托尔集是一条线段的一部分，它里面点的个数肯定是要小于等于实数的个数的。从而，我们只能得到一个必然结论，康托尔集中点的个数和实数一样多！同时，我们也说明了自然数子集的个数和实数一样多！上述论证的逻辑为：实数的个数 = 线段上点的个数 >= 康托尔集中点的个数 = 自然数子集的个数 = 有理数子集的个数 >= 实数的个数 。从而，这些集合的元素的个数只能都相等了。这可是康托尔当年给出的一个“石破天惊”的结论。一个集合 A 的元素个数如果为 n ，那么我们一般记作 \left
A \right|=n ；A 的全部子集构成的集合被称为是集合 A 的幂集，表示为 \mathscr{P}(A) ；如果 A 是有限集，那么显然 \left
\mathscr{P}(A) \right|=2^n ；其实这个结论对于无限集也成立。所以我们知道了自然数集 N 的元素个数（或者叫集合的势） \left
N \right|=\aleph_0 ，也就知道了自然数的幂集（全部子集构成的集合） \left
\mathscr{P}(N) \right|=2^{\aleph_0} ，这也就是康托尔集的势，或者说康托尔集中点的个数。也正是由此，康托尔猜想，不存在比自然数个数多、比实数个数少的集合，或者说没有哪个集合的势能够在 \aleph_0 与 2^{\aleph_0} 之间，这就是著名的希尔伯特第一问题 —— 连续统假设。这个论证过程中，康托尔集起到了重要的纽带作用。虽然康托尔集是由一些看似“离散”的点构成，但是这些点的个数却和线段上点的个数、和实数的个数是同样多的。康托尔集的无穷无尽，是不可数级别的无穷无尽，要远远多于自然数、有理数的个数。这也是康托尔集的一种复杂性。3、康托尔集中的有理点与无理点我们再来看看康托尔集的另一种复杂性。我们知道，对于任意 n 阶康托尔集，其 2^n 条线段的 2^{n+1} 个端点对应的实数都可以表示为 n 位三进制小数。由于它们都是有限小数，所以肯定是有理数，对应的点也必然是有理点。可我们前面介绍了，有理数的个数是可数无穷大，是 \aleph_0 ，而康托尔集的点的个数是不可数无穷大，是 2^{\aleph_0} ，这说明真正的康托尔集中必然有无穷多个无理点。也就是说，从康托尔集的形成过程来看，在不断删除中间1/3的过程中，得到的线段端点都是有理点，直到完成无穷次删除后，比有理点多得多的无理点在一瞬间出现了。这个现象看似很神奇，但是对于学习过“实分析”的朋友来说，却是再正常不过的事情。只不过对于更多对数学分析不那么熟悉的朋友来说，显得有些异常。其实，根本原因是有限与无限的本质区别。例如，有限个有理数相加得到的结果肯定还是有理数，无论相加的有理数个数有多多；但是无限个有理数相加就未必等于有理数了。4、康托尔集的无处稠密我们先聊聊有理数的稠密性。即使是不熟悉数学的朋友，也能够理解有理数是非常稠密的。首先有理数自身是稠密的，也就是说对于任意两个不相等的有理数 a > b，它们之间必然还会有有理数 c，满足 a > c > b 。这种性质叫做一个有序集合的稠密性。对照来看，康托尔集自身是不满足稠密性的。比如康托尔集中的两个数 1/3 和 2/3 ，它们之间就不会再有其它康托尔集中的元素了。然后，有理数不仅自身是稠密的，而且有理数在实数上也是处处稠密的。这句话的意思是说，对于任意实数区间（a，b）内的两个实数 m > n ，必然存在有理数 r 满足 m > r > n 。对照来看康托尔集，它不仅自身不稠密，而且在实数上也不稠密，不稠密的程度还很严重，康托尔集在实数上是处处不稠密的。也就是说，对于任意一个实数区间（a，b），总能找到其中的两个实数 m > n ，使得在 m 和 n 之间不存在康托尔集中的点。要知道，康托尔集中点的个数远远大于有理数的个数，可是有理数在实数上都已经处处稠密了，康托尔集在实数上居然不仅不稠密，而且是处处不稠密！这也是康托尔集一个显得很异常之处。三、小结康托尔集，一个形成过程简单清晰的点集，居然又如此复杂：长度为零而又有无穷多个点；与自身初始线段上点的个数同样多；任意阶康托尔集的端点都是有理点，而最终的康托尔集的点却有着比有理点多的多的无理点；点的个数远远多于有理数，但相比在实数上处处稠密的有理数来说，康托尔集的点居然在实数上无处稠密；这样复杂的集合，其形成过程却又如此简单，这就是将复杂与简单融为一体的康托尔集！}