PAGE 2014届本科毕业论文（设计） 题目：仿射变换在有关椭圆面积的应用 学 院：数学科学学院 专业班级：数学与应用数学09-3班 学生姓名：麦力克木·克比尔 指导教师：吐尔洪江·艾尔米丁 答辩日期：2014年 5 月 8 日 新疆师范大学教务处 新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计） PAGE 1 目 录 TOC \o "1-2" \h \z \u 1.引言 1 2.预备知识 1 2.1仿射变换 1 2.2 仿射变换坐标表示 1 2.3 仿射变换性质及放射不变量 1 3.应用举例 2 3.1有关椭圆面积的应用 2 结论 5 参考文献 6 致谢 7 仿射变换在有关椭圆面积的应用 摘要：仿射变换是几何中一个重要变换，它是从运动变换到射影变换的桥梁。灵活地运用仿射变换，能使一些初等几何问题由繁到简。论文中，应用仿射不变性和不变量解决一般椭圆的有关仿射性质的命题，使仿射几何的知识和思想方法体现于解决初等几何问题中。 关键词：仿射变换；不变性；不变量；椭圆 PAGE 7 1.引言 高等几何是师范院校数学专业重要的基础课之一，它与初等几何、解析几何、高等代数等课程有紧密的联系，它对今后中学数学教师在几何方面基础培养、思维灵活、方法多样等方面起着重要的作用，从而有助于中学数学质量的提高和科研能力的培养。 仿射几何是高等几何的重要组成部分，是连接高等几何与初等几何的纽带，是应用高等几何知识解决初等几何问题的一条重要通道。椭圆是平面解析几何的重要内容，也是天文学、宇航、物理学、科学技术领域内常用的曲线，因而研究椭圆有很重要的意义。 2.预备知识 2.1仿射变换 定义：若有两个平面间（平面到自身）的一个点变换保持同素性、结合性和共线三点的单比不变，则这个点变换称为仿射变换。 2.2 仿射变换坐标表示 根据仿射变换容易得到：椭圆 M在仿射变换下，变为圆: 2.3 仿射变换性质及放射不变量 图形经过任何仿射变换后都不变的性质（量）称为图形的仿射性质（仿射不变量）。 仿射变换保持同素性和结合性。 仿射变换保持共线三点的简比不变。 仿射变换保持直线的平行性。 在此基础上我们还可以进一步得出非常有用的结论： 性质1： 两条平行直线经仿射变换后仍变为两条平行直线，两条相交直线经仿射变换后仍变为两条相交直线，共点直线经仿射变换后仍变为共点直线。 性质2： 两条平行线段之比是仿射不变量，一直线上两条线段之比仿射不变量。 性质3： 两封闭图形面积之比是仿射不变量。 3.应用举例 3.1有关椭圆面积的应用 大家知道，椭圆经过仿射变换，它的对应图形是圆，所以研究椭圆的仿射性质可以取圆为代表。研究了圆的相应性质，椭圆的性质也就知道了。对于只含有平行性、结合性、简比性、面积比等仿射性质的椭圆问题，只需对圆进行研究，这样能达到事半功倍的效果。下面举例说明。 例1 求椭圆的面积。 解 设在笛卡儿直角坐标系下椭圆的方程为 经过仿射变换 图1-1 = 1 \* GB3 ① 其对应图形为圆. 如图1-1， 在仿射变换 = 1 \* GB3 ①之下，，，，所以对应，其中.根据定理4.3推论2，有 所以 因此所给椭圆面积为. 例2 求证椭圆的最大内接矩形的面积为2ab. 如图2-1，设此椭圆可有一圆经仿射变换T后得到 图2-1 可以证明，当圆的内接矩形面积为最大值时，其对应的椭圆的内接矩形的面积也相应最大值，否则它们的面积之比不等于常量。 现设圆半径为，椭圆的短半轴为，长半轴为，因园的最大面积的内接矩形为内接正方形，其最大面积为；又椭圆的面积为，根据仿射变换的性质，得，即,故. 例3 求证椭圆的内接三角形面积的最大值为。 证 如图3-1设此椭圆是有一个圆经过仿射变换后得到。设半径为，椭圆的长，短半轴分别为、且圆内三角形面积最大的为圆内接正三角形，面积为。 图3-1 根据仿射变换的性质 即： 故 . 例4 如图4-1，设为椭圆的中心