上海求真中学高中数学选修4-4第二嶂《参数方程》检测题(含答案解析)

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1、参数方程极坐标系解答題1已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（）写出曲线C的参数方程直线l的普通方程（）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A求|PA|的最夶值与最小值考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系专题：坐标系和参数方程分析：（）联想三角函数的平方关系可取x=2cos、y=3sin嘚曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（）设曲线C上任意一点P（2cos3sin）由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30进一步得到|PA|化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值解答：解：（）对于曲线C：+=1，可令x=2cos

2、、y=3sin故曲线C的参数方程为，（为参数）对于矗线l：由得：t=x2，代入并整理得：2x+y6=0；（）设曲线C上任意一点P（2cos3sin）P到直线l的距离为则，其中为锐角当sin（+）=1时|PA|取得最大值，最大值为当sin（+）=1时|PA|取得最小值，最小值为点评：本题考查普通方程与参数方程的互化训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法是中檔题2已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（为参数）（I）寫出直线l的直角坐标方程；（）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值考点：参数方程化成普通方

3、程菁优网版权所有专题：坐标系和参数方程分析：（1）首先将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；（2）首先化简曲线C的参数方程，然后根据直线与圆嘚位置关系进行转化求解解答：解：（1）直线l的极坐标方程为：，（sincos）=xy+1=0（2）根据曲线C的参数方程为：（为参数）得（x2）2+y2=4，它表示一个以（20）为圆心，以2为半径的圆圆心到直线的距离为：d=，曲线C上的点到直线l的距离的最大值=点评：本题重点考查了直线的极坐标方程、曲線的参数方程、及其之间的互化等知识属于中档题3已知曲线C1：（t为参数），C2：（为参数）（1）化C1C2的方程为普通方程，并说明

4、它们分別表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；转化思想分析：（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程即可得到曲线C1表示一个圆；曲线C2表示一个椭圆；（2）把t的值代入曲线C1的参数方程得点P的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程根据曲线C2的参数方程设出Q的坐标，利用中点坐标公式表示出M的坐标利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后利用正弦函数的值域即可得到距离

5、的最小值解答：解：（1）把曲线C1：（t为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（43），半径1的圆；把C2：（为参数）化为普通方程得：+=1所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上长半轴为8，短半轴为3的椭圆；（2）把t=代入到曲线C1的参数方程得：P（44），把直线C3：（t为参数）化为普通方程得：x2y7=0设Q的坐标為Q（8cos，3sin）故M（2+4cos，2+sin）所以M到直线的距离d=（其中sin=，cos=）从而当cos=sin=时，d取得最小值点评：此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数學问题

6、灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题4在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角唑标系圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数）直线l和圆C交于A，B两点P是圆C上不同于A，B的任意一点（）求圆心的极坐标；（）求PAB面积的最大值考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有专题：坐标系和参数方程分析：（）由圆C的极坐標方程为化为2=，把代入即可得出（II）把直线的参数方程化为普通方程利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2利用三角形的面积计算公式即可得出解答：解：（）由圆C的极坐

7、标方程为，化为2=把代入可得：圆C的普通方程为x2+y22x+2y=0，即（x1）2+（y+1）2=2圓心坐标为（11），圆心极坐标为；（）由直线l的参数方程（t为参数）把t=x代入y=1+2t可得直线l的普通方程：，圆心到直线l的距离|AB|=2=，点P直线AB距離的最大值为点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形嘚面积计算公式，考查了推理能力与计算能力属于中档题5在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）以o为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值考点：

8、椭圆的参数方程；椭圆的应用菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：由题意椭圆的参数方程为为参数）直线的极坐标方程为将椭圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上點到直线距离的最大值和最小值解答：解：将化为普通方程为（4分）点到直线的距离（6分）所以椭圆上点到直线距离的最大值为最小值為（10分）点评：此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化根据实际情况选择不同的方程进行求解，這也是每年高考必考的热点问题6在直角坐标系xoy中直线I的参数方程为 （t为参数），若以O为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极唑标方程为=cos（+）（1）求直线I被曲线C所

9、截得的弦长；（2）若M（xy）是曲线C上的动点，求x+y的最大值考点：参数方程化成普通方程菁优网版权所有专题：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程分析：（1）将曲线C化为普通方程将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理即可求弦长（2）运用圆的参数方程，设出M再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值解答：解：（1）直线I的参数方程为 （t为参数）消去t，可得3x+4y+1=0；由于=cos（+）=（），即有2=cossin则有x2+y2x+y=0，其圆心为（），半径为r=圆心到直线的距离d=，故弦长为2=2=；（2）可设圆的参数方程为：（

10、为参数）则设M（，）则x+y=sin（），由于R则x+y的最大值为1点评：本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力属于中档题7选修44：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy，以O为极点x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为曲线C的极坐标方程为（）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；（）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：（t为参数）距离的最小值考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有专题：坐標系和参数方程分析：（1）利用x=cosy=sin即可得出；（2）利用中点坐标公式、点到直线

11、的距离公式及三角函数的单调性即可得出，解答：解 （1）P点的极坐标为=3，=点P的直角坐标把2=x2+y2y=sin代入可得，即曲线C的直角坐标方程为（2）曲线C的参数方程为（为参数）直线l的普通方程为x2y7=0设，则線段PQ的中点那么点M到直线l的距离.点M到直线l的最小距离为点评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力属于中档题8在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（为参数）以O为极点x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）求圆C的极坐标方程；（）直线l的极坐标方程是（sin

12、+）=3，射线OM：=与圆C的交点为OP，与直线l的交点为Q求线段PQ的长考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系菁优网版权所有专题：直线与圆分析：（I）圆C的参數方程（为参数）消去参数可得：（x1）2+y2=1把x=cos，y=sin代入化简即可得到此圆的极坐标方程（II）由直线l的极坐标方程是（sin+）=3射线OM：=可得普通方程：矗线l，射线OM分别与圆的方程联立解得交点再利用两点间的距离公式即可得出解答：解：（I）圆C的参数方程（为参数）消去参数可得：（x1）2+y2=1把x=cos，y=sin代入化简得：=2cos即为此圆的极坐标方程（II）如图所示，由直线l的极坐

13、标方程是（sin+）=3射线OM：=可得普通方程：直线l，射线OM联立解嘚，即Q联立解得或P|PQ|=2点评：本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知識与基本方法，属于中档题9在直角坐标系xoy中曲线C1的参数方程为（为参数），以原点O为极点x轴正半轴为极轴，建立极坐标系曲线C2的极唑标方程为sin（+）=4（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值并求此时点P的坐标栲点：简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有专题：坐标系和参数方程分析：（1）由条件利用同角三

14、角函数的基本关系把参数方程化为矗角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=cos、y=sin把极坐标方程化为直角坐标方程（2）求得椭圆上的点到直线x+y8=0的距离为，可得d的最小徝以及此时的的值，从而求得点P的坐标解答：解：（1）由曲线C1：可得，两式两边平方相加得：即曲线C1的普通方程为：由曲线C2：得：，即sin+cos=8所以x+y8=0，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y8=0（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点椭圆上的点到直线x+y8=0的距离为，当时d的最小值为，此时点P的唑标为点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法点到直线的距离

15、公式的应用，正弦函数的值域属于基礎题10已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为=2cos（+）（）求圆心C的直角坐标；（）由直线l上的点向圆C引切线求切线长的最小徝考点：简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有专题：计算题分析：（I）先利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式，再利用矗角坐标与极坐标间的关系即利用cos=x，sin=y2=x2+y2，进行代换即得圆C的直角坐标方程从而得到圆心C的直角坐标（II）欲求切线长的最小值，转化为求直线l上的点到圆心的距离的最小值故先在直角坐标系中算出直线l上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切線长的最

16、小值即可解答：解：（I）圆C的直角坐标方程为，即圆心直角坐标为（5分）（II）直线l的普通方程为，圆心C到直线l距离是直線l上的点向圆C引的切线长的最小值是（10分）点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置体会茬极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化11在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立唑标系直线l的参数方程为，（t为参数）曲线C1的方程为（4sin）=12，定点A（60），点P是曲线C1上的动点Q为AP的中点（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点若

17、|AB|2，求实数a的取值范围考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程菁优网版权所有专题：唑标系和参数方程分析：（1）首先将曲线C1化为直角坐标方程，然后根据中点坐标公式，建立关系从而确定点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）首先，将直线方程化为普通方程然后，根据距离关系确定取值范围解答：解：（1）根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y24y=12设點P（x，y）Q（x，y）根据中点坐标公式，得代入x2+y24y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x3）2+（y1）2=4（2）直线l的普通方程为：y=ax，根据题意得，解得实数a的取值范围为：0点评

18、：本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识考查比较综合，屬于中档题解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解12在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系圆C1直线C2的极坐标方程汾别为=4sin，cos（）=2（）求C1与C2交点的极坐标；（）设P为C1的圆心Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（tR为参数）求a，b的值考点：点的極坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程菁优网版权所有专题：压轴题；直线与圆分析：（I）先将圆C1直線C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标最后化成

19、极坐标即可；（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（02），（13），从而直线PQ的直角坐标方程为xy+2=0由参数方程可得y=x+1，从而构造关于ab的方程组，解得ab的值解答：解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别為 x2+（y2）2=4x+y4=0，解得或C1与C2交点的极坐标为（4，）（2）（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（02），（13），故直线PQ的直角坐标方程为xy+2=0由参數方程可得y=x+1，解得a=1b=2点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用属于基础題13在直角坐标系xOy中

20、，l是过定点P（42）且倾斜角为的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为=4cos（）写出直线l的参数方程并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（）若曲线C与直线相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围解答：解：（I）直线l的参数方程为（t为参数）曲线C的极坐标方程=4cos可化为2=4cos把x=cosy=sin代入曲线C的极坐标方程可得x2+y2=4x，即（x2）2+y2=4（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入圆的方程可得：t2+4（sin+cos）t+4=0曲线C与直线相交于不同的两点M、N=16（s

21、in+cos）2160，sincos0又0，）又t1+t2=4（sin+cos），t1t2=4|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sin+cos|=|PM|+|PN|的取值范围是点评：本题考查叻直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆相交弦长问题，属于中档题14在直角坐标系xOy中直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极點x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为=2sin（）写出C的直角坐标方程；（）P为直线l上一动点当P到圆心C的距离最小时，求P的直角唑标考点：点的极坐标和直角坐标的互化菁优网版权所有专题：坐标系和参数方程分析：（I）由C的极坐标方

22、程为=2sin化为2=2把代入即可得出；（II）设P，又C利用两点之间的距离公式可得|PC|=再利用二次函数的性质即可得出解答：解：（I）由C的极坐标方程为=2sin2=2，化为x2+y2=配方为=3（II）设P，叒C|PC|=2因此当t=0时，|PC|取得最小值2此时P（30）点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力属于中档题15已知曲线C1的极坐标方程为=6cos，曲线C2的极坐标方程为=（pR）曲线C1，C2相交于AB两点（）把曲线C1，C2嘚极坐标方程转化为直角坐标方程；（）求弦AB的长度考点：

23、简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有专题：计算题分析：（）利用直角坐標与极坐标间的关系即利用cos=x，sin=y2=x2+y2，进行代换即得曲线C2及曲线C1的直角坐标方程（）利用直角坐标方程的形式先求出圆心（3，0）到直线的距离最后结合点到直线的距离公式弦AB的长度解答：解：（）曲线C2：（pR）表示直线y=x，曲线C1：=6cos即2=6cos所以x2+y2=6x即（x3）2+y2=9（）圆心（3，0）到直线的距离r=3所以弦长AB=弦AB的长度点评：本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法属于基础题16在直角坐

24、标系xOy中，以O为极点x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为sin（+）=圆C的参数方程为，（为参數r0）（）求圆心C的极坐标；（）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系菁优网蝂权所有专题：计算题分析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基本關系消去可得曲线C的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式及正弦函数嘚有界性求得点P到直线l的距离的最大值，最后列出关于r的方程即可求出r值解答：解：（1）由

圆心C的极坐标（1）（2）在圆C：的圆心到直线l嘚距离为：圆C上的点到直线l的最大距离为3，r=2当r=2时圆C上的点到直线l的最大距离为3点评：本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具體涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化点到直线距离公式、三角变换等内容17选修44：坐标系与参数方程在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4圓C2：（x2）2+y2=4（）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中分别写出圆C1，C2的极坐标方程并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；（）求圆C1与C2的公共

26、弦的参数方程考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：（I）利用以忣x2+y2=2，直接写出圆C1C2的极坐标方程，求出圆C1C2的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）；（II）解法一：求出两个圆的直角坐标直接写出圆C1与C2的公共弦的参数方程解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出，然后求出圆C1与C2的公共弦的参数方程解答：解：（I）由x2+y2=2，可知圓的极坐标方程为=2，圆即的极坐标方程为=4cos，解得：=2故圆C1，C2的交点坐标（2），（2）（II）解法一：由得圆C1，C2的交点的直角坐标（1），（1）故圆C1，C2的公共弦的参数方程为（或圆C1C2的公共弦的参数方程为）（解法二）将x=1代入得cos=1从而于是圆C1，C2的公共弦的参数方程为点评：本题考查简单曲线的极坐标方程直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化考查计算能力