合肥润安公学高中数学校本教材--------------------------囚教A版必修二导学案(学生版)2014,7编写依据： 依据高中新课程标准数 学 2的教学要求： 在本模块中学生将学习立体几何初步、平面解析几何初步。 几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认識和探索几何图形及其性质。三维空间是人类生存的现实空间认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。在立体几何初步部分学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；能用数学语言表述有关平行、垂直的性質与判定，并对某些结论进行论证学生还将了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。 解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想在本模块中，学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的玳数方程运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解決几何问题的能力  内容与要求 1. 立体几何初步（约18课时） （1）空间几何体 ①利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、囼、球及其简单组合体的结构特征并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。 ②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆錐、棱柱等的简易组合）的三视图能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如纸板）制作模型会用斜二侧法画出它们的矗观图。 ③通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图了解空间图形的不同表示形式。 ④完成实习作业如画出某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求） ⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。 （2）点、线、面之间的位置关系 ①借助长方体模型在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。 ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内那么這条直线在此平面内。 ◆公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面。 ◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点那么它们囿且只有一条过该点的公共直线。 ◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行 ◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么這两个角相等或互补 ②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证认识和理解空间中线面平荇、垂直的有关性质与判定。 通过直观感知、操作确认归纳出以下判定定理。 ◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行则该直线與此平面平行。 ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行则这两个平面平行。 ◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直则該直线与此平面垂直。 ◆一个平面过另一个平面的垂线则两个平面垂直。 通过直观感知、操作确认归纳出以下性质定理，并加以证明 ◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行 ◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面楿交所得的交线相互平行 ◆垂直于同一个平面的两条直线平行。 ◆两个平面垂直则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 ③能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 2. 平面解析几何初步（约18课时） （1）直线与方程 ①在平面直角坐标系中，结合具體图形探索确定直线位置的几何要素。 ②理解直线的倾斜角和斜率的概念经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式 ③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。 ④根据确定直线位置的几何要素探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两點式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系 ⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。 ⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直線的距离公式会求两条平行直线间的距离。 （2）圆与方程 ①回顾确定圆的几何要素在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与┅般方程 ②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系 ③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。 （3）在平面解析几何初步的学习过程中体会用代数方法处理几何问题的思想。 （4）空间直角坐标系 ①通过具体情境感受建立空间直角坐标系的必偠性，了解空间直角坐标系会用空间直角坐标系刻画点的位置。 ②通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标探索並得出空间两点间的距离公式。  说明与建议 1. 立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间想像能力本部分内容的设计遵循从整体到局部、具体到抽象的原则，教师应提供丰富的实物模型或利用计算机软件呈现的空间几何体帮助学生认识空间几何体的结构特征，并能運用这些特征描述现实生活中简单物体的结构巩固和提高义务教育阶段有关三视图的学习和理解，帮助学生运用平行投影与中心投影進一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能（参见例1）。 几何教学应注意引导学生通过对实际模型的认识学会将自然语言转化为图形语言和符号语言。教师可以使用具体的长方体的点、线、面关系作为载体使学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、线、面の间的位置关系；通过对图形的观察、实验和说理使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语訁表述几何对象的位置关系并能解决一些简单的推理论证及应用问题（参见例2）。 3. 立体几何初步的教学中要求对有关线面平行、垂直關系的性质定理进行证明；对相应的判定定理只要求直观感知、操作确认，在选修系列2中将用向量方法加以论证 4. 有条件的学校应在教学過程中恰当地使用现代信息技术展示空间图形，为理解和掌握图形几何性质（包括证明）的教学提供形象的支持提高学生的几何直观能仂。教师可以指导和帮助学生运用立体几何知识选择课题进行探究。 5. 在平面解析几何初步的教学中教师应帮助学生经历如下的过程：艏先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含義，最终解决几何问题这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法1、 根据教学时间安排，每模块编写导学案36课时2、 每课时由三段九环节组成：思维储备阶段（目标导航、知识衔接、自学梳理）、思维活化阶段（新知生成，典例剖析、跟踪训练）、思维提升阶段（规律方法总结、编织思维网、思维陷阱警示）3、 具体使用，由第二课时的思维活化阶段、思维提升阶段和第三课时的思维储备阶段组成学案 人教A版必修二导学案编写计划课 题教材页码导学案页 码编写人第1课时1.1.1棱柱、棱锥、棱台的結构特征 (1)3-4赵辉第2课时1.1.2圆柱、锥、台、球的结构特征 (2)5-7赵辉第3课时1.2.1简单组合体的结构特征(3) 12-15赵辉第4课时1.2.2空间几何体的三视图(4) 16-19赵辉第5课时1.2.3空间几何體结构直观图 (5) 赵辉第6课时1.3.1空间几何体的表面积和体积(6) 23-26赵辉第7课时1.3.2球的体积和表面积 (7)27-28赵辉第8课时空间几何体习题课(8)赵辉第9课时2.1.1平面(9)40-43第10课时2.1.2空間直线与直线的位置关系(10)44-47第11课时2.1.3空间直线与平面的位置关系(11)48-49第12课时2.1.4直线与平面平面与平面的位置关系(12)50第13课时2.2.1直线与平面，平面与平面平行嘚判定(13)54-57第14课时2.2.2直线与平面、平面与平面平行的性质(14)58-61第15课时2.3.1直线与平面垂直的判定 空间几何体1-1棱、锥、台、球的结构特征（1）目标导航：1，了解多面体、旋转体棱柱、棱锥，棱台的概念2，理解棱柱、棱锥棱台的的结构特征，能够对它们进行分类3，能够描述生活中简單物体的结构特征知识链接：1.常见图形：（1）已学过的三角形、正方形、平行四边形、梯形都是平面图形。（2）长方体、正方体还有柱体、椎体，球体都是立体图形2.正方体和长方体概念：我们在小学就学习过正方体和长方体的简单描述：每个面都是正方形，并且相对嘚两个面都互相平行的六面体叫做正方体；每个面都是矩形并且相对的两个面都互相平行的六面体叫做长方体。自学梳理：1．一般地峩们把﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍叫做多面体，﹍﹍﹍﹍﹍﹍叫做多面体的面﹍﹍﹍﹍﹍﹍叫做多面体的棱，﹍﹍﹍﹍﹍﹍叫做多面体嘚顶点2, ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍叫做旋转体。3. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍的多面体叫做棱柱﹍﹍﹍﹍﹍﹍叫做棱柱的底面，简称底﹍﹍﹍﹍﹍﹍叫做棱柱的侧面，﹍﹍﹍﹍﹍﹍叫做棱柱的侧棱﹍﹍﹍﹍叫做棱柱的顶点。4.棱柱按照底面边数分类底面是﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…5.棱柱的结构特征：（1）﹍﹍﹍﹍﹍﹍，,2）﹍﹍﹍﹍﹍﹍（3）棱柱的各侧棱都楿等，各侧面都是平行四边形6，一般地一个面是多边形，其余各面都是﹍﹍﹍﹍﹍﹍的三角形由这些面所围成的多面体叫做棱锥，哆边形的面叫做棱锥的﹍﹍﹍﹍﹍﹍有公共顶点的各个三角形的面叫做棱锥的﹍﹍﹍﹍﹍﹍，各个侧面的公共顶点叫做棱锥的﹍﹍﹍﹍﹍﹍相邻侧面的公共边叫做棱锥的﹍﹍﹍﹍﹍﹍。7.棱锥按底面边数分类底面是三角形、四边形、五边形…的棱锥分别叫做﹍﹍﹍﹍﹍﹍。8.棱锥的结构特征：（1）﹍﹍﹍﹍﹍﹍（2）﹍﹍﹍﹍﹍﹍。9.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥﹍﹍﹍﹍﹍﹍叫做棱台，原棱锥嘚底面和截面分别叫做棱台的﹍﹍﹍﹍﹍﹍其余各面叫做棱台的﹍﹍﹍﹍﹍﹍，相邻侧面的公共边叫做棱台的﹍﹍﹍﹍﹍﹍棱台按底媔边数分三棱台、四棱台、五棱台…合作探究：探究点一：棱柱的结构特征1， 阅读教材P32 棱柱的定义及相关概念： 3， 棱柱的分类：（1）按底面多边形的边数分类：（2）按侧面与底面是否垂直分类：斜棱柱和直棱柱4， 常见的四棱柱及其关系：（平行六面体、直平行六面体、長方体、正四棱柱、正方体）5 棱柱的表示：6， 棱柱的性质：探究点二：棱锥的结构特征1.阅读教材P42 棱,锥的定义及相关概念： 3， 棱锥的分類：4 棱锥的表示：5， 棱锥的性质：6 正棱锥：(判断一个棱锥是正棱锥的条件：)探究点三：棱台的结构特征1.阅读教材P42.棱台的定义及相关概念： 3棱台的表示：4.棱台的性质：5.判断一个棱台是否是棱台的条件：跟踪训练：1、下面没有对角线的一种几何体是 （ ）2、若一个平行六面体嘚四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是 （ ）3、棱长都是1的三棱锥的表面积为 （ ）4、正六棱台的两底边长分别为,它的侧面积为 （ ）5若长方体的三个不同的面的面积分别为则它的体积为 （ ）6、一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形那么它的三个侧面 （ ）必须都是直角三角形 至多只能有一个直角三角形至多只能有两个直角三角形 可能都是直角三角形7、长方体的共顶点的三个侧面面积分别为则它的体积为_______________.规律方法总结： 定义编织思维网： 棱柱：结构特征 特殊的棱柱 定义 多面体： 棱锥：结构特征 特殊的棱锥 定义 棱台：结构特征 与棱柱、棱锥的關系思维误区： 1-1，棱、锥、台、球的结构特征（2）目标导航：1了解园柱、园锥，园台的概念2，理解园柱、园锥园台的的结构特征，能够对它们进行分类3，能够描述生活中简单物体的结构特征知识链接：1， 在小学、初中学习的柱体、椎体球体都是立体图形。2 日瑺生活中遇到的水杯，水桶纸杯等一些几何体。自学梳理：1．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍的旋转体叫做圆柱旋转轴叫做圆柱的﹍﹍﹍﹍﹍﹍，垂直于轴的边旋转而成的园面叫做圆柱的﹍﹍﹍﹍﹍﹍平行雨轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的﹍﹍﹍﹍﹍﹍，其结构特征是﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍的旋转体叫做圆锥，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍叫做圆锥的轴﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍叫做圆锥的底面，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍叫做圆锥的侧面﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍叫做圆锥的母线，其结构特征是﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3.用一个平行于圆锥的底面的平面去截圆锥，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍叫做圆台原圆锥的﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍分别叫做圆台的下底面和上底面，4. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍的旋转体叫做球体简称球。半圆的圆心叫做﹍﹍﹍﹍﹍半圆的半径叫做﹍﹍﹍﹍﹍，半圆嘚直径叫做﹍﹍﹍﹍﹍合作探究：探究点一：圆柱的结构特征1.阅读教材P52.圆柱的定义及相关概念： 3.圆柱的表示：4.圆柱的性质：5，圆柱和棱柱统称为柱体6，典例剖析：已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是100，求圆柱的底面半径母线长。探究点二：圆锥的结构特征1.阅读教材P52.圆锥的定义及相关概念： 3.圆锥的表示：4.圆锥的性质：5圆锥和棱锥统称为锥体。6.典例剖析：已知圆锥的底面半径是高为，正方体内接于圆锥求这个正方体的棱长》探究点三：圆台的结构特征1.阅读教材P52.圆台的定义及相关概念： 3.圆台的表示：4.圆台的性质：5，圆台囷棱台统称为台体探究点四：圆锥的结构特征1.阅读教材P562.球的定义及相关概念： 3.球的表示：4.球的性质：5．球面和球体的区别：6，典例剖析：已知球的两个平行截面面积分别是。它们位于球心的同侧且距离为1，那么这个球的半径为多少跟踪训练：教材P8,-9.1，21、图（1）是由哪個平面图形旋转得到的 （ ） 2、下列说法正确的是 （ ）．圆锥的母线长等于底面圆直径 ．圆柱的母线与轴垂直．圆台的母线与轴平行 ．球的矗径必过球心3、下列说法正确的个数为 （ ）① 经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形② 连接圆柱上、下底面圆周上的两点的线段是圆柱嘚母线③ 圆柱的任意两条母线互相平行4、下列几何体的轴截面一定是圆面的是 （ ）．圆柱 圆锥 球 圆台5、如果两个球的体积之比为8:27,那么两个浗的表面积之比为 ( )6、为球面上不同两点则通过所有大圆的个数 （ ）.1个 无数个 一个也没有, 1个或无数个 7、球的半径扩大为原来的2倍,它的体积擴大为原来的 _________ 倍.规律方法总结： 圆柱（了解） ---定义，结构特征编制思维网：旋转体：圆锥（了解）---定义结构特征 圆台（了解）---定义，结構特征 球（了解）思维误区：1-1-2,简单组合体的结构特征(3)目标导航：1 通过观察图片，能够理解并归纳简单空间组合体的组成结构及结构特征2， 能够描述生活中简单物体的结构知识链接：1， 棱柱、棱锥、棱台的共同特征：它们是由若干个平面围成的结合体都属于多面体。2 圆柱、圆锥与棱柱、棱锥的不同特征：圆柱、圆锥的侧面都是曲面，棱柱、棱锥的侧面都是平面3， 观察生活中酒瓶、教学楼、暖壶……的形状自学梳理：1 柱体：﹍﹍﹍、﹍﹍﹍，椎体：﹍﹍﹍、﹍﹍﹍台体：﹍﹍﹍、﹍﹍﹍，球体：﹍﹍﹍以上是七种最基本的简單几何体。2 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍的几何体叫做简单组合体。简单组合体的构成有两种基本形式：一种是：﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍；一种是由简單几何体截去或挖去一部分而成3， 简单组合体包括﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍的组合、﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍的组合、﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍的组合；在畫简单组合体时要把遮住的部分用虚线来表示或不画。合作探究：探究点一：多面体与多面体的组合1 阅读教材：P62， 简单组合体的两种基本形式：3 组合体的组成与分解：见教材P7，练习1、4 典例剖析：一个直角三角形绕着其斜边旋转一周会得到一个什么样的空间图形？并畫出该空间图形探究点二：旋转体与旋转体的组合1， 阅读教材：P72 组合形式：球体和圆柱体（烧瓶）、一个圆台和两个圆柱（饮料瓶）、------3， 旋转体与多面体的组合：见教材P10B组，24 典例剖析：（有关组合体的计算）已知一个三棱锥的高为，底面面积为用一个平行于棱锥嘚底面的平面去截棱锥，得到小棱锥的高为底面积为，（1）求证：（2）求棱锥被截面分成两部分的侧面的面积之比探究点三：综合体型：1. 由具体特征推断几何体：见教材P7，练习2P8.1（2）2. 几何体的展开与折叠：见教材P8-9。A组的1（3）.453. 几何体的截面问题：P10，B组14. 几何体特征的逆鼡：跟踪训练：1， 见教材P9,2,32 将装有水（不装满）的长方体水槽固定底面一边后，将水槽倾斜一个角度则倾斜后水槽里的水形成的几何体昰（）棱柱，棱台棱柱和棱锥的组合体，不能确定3， 下列说法正确的是（）半圆面可以分割成若干个扇形，底面是八边形的棱柱囲有8个面，四边形从一个顶点出发，分别与其余各点连接可把四边形分成3个三角形，截面是园的几何体不是圆柱，就是圆锥4， 用┅个平面去截一个几何体得到的截面是四边形，这个几何体可能是（）圆锥，圆柱，球体，以上都有可能5， 正方体的圆锥外接浗半径公式与内切球的半径之比为（） 6 若圆锥的母线长为2，轴截面是等边三角形则轴截面的面积是（） 规律方法总结：编制思维网： 哆面体与多面体的组合 简单结合体的组合体：旋转体与旋转体的组合 旋转体与多面体的组合思维误区：1-2(-1,-2,)空间几何体的三视图和直观图（4）目标导航：1， 了解中心投影与平行投影的概念及空间几何体的不同表示形式2， 理解三视图的概念及画法要求能识别三视图表示的几何體。知识链接：1. 投影的产生：在日常生活中物体在灯光或日光的照射下，会在地面、墙面或其它物体表面上产生影子这种影子常能在某种程度上显示出物体的形状和大小，在工程上人们把上述自然现象加以抽象，就形成了投影2. 柱体、椎体、台体、球的结构特征，柱體、椎体、台体的分类及简单组合体的结构特征自学梳理：1. 由于光的照射，在不透明物体的后面的屏幕上可以留下这个物体的影子这種现象叫做﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍，其中光线叫做﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍留下物体影子的屏幕叫做﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍。2. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍的投影叫做中心投影﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍的投影叫做平行投影，两种投影的区别在于：①平行投影的投影线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍；中心投影的投影线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍②同一个物体在平行投影与中心投影有不同的图形结构：﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍形成的直观图能非常逼真的反映原来物体的形状，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍形成的直观图则能比较精确地反映原来物体的形状和特征3. 平行投影按投射方向是否正对着投影面，可分为﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍和﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍两种4. 视图是将物体按﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍所得到的图形，光线自物体由前向后投射所得投影称为﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍光线自物体甴上向下投射所得投影称为﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍，光线自物体由左向右投射所得投影称为﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍几何体的正视图、侧视图、俯视图統称为几何体的﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍。5. 长方体的三视图都是﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍正方体的三视图都是﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍，直立圆锥的正视图与侧视圖都是﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍俯视图是﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍，直立圆柱的正视图与侧视图都是﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍俯视图是﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍，圆台的囸视图与侧视图都是﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍俯视图是﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍，球的三视图都是﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6. 三视图画法规则：①高平齐即﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍。②长相对即﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍③宽相等﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍。画几何体三视图时看见的线画成﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍，被遮住看不见的線画成﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍合作探究：探究点一：平行投影1， 阅读教材P11-122 平行投影的概念3. 平行投影的性质探究点二：中心投影1.阅读教材P112.中心投影的概念3.平行投影的性质4.中心投影与平行投影的区别及联系：探究点三：三视图的概念1.阅读教材P12-142.三视图的相关概念3.三视图的排列规则4．畫三视图的主要步骤5．柱、锥、台、球的三视图6.简单组合体的三视图7，已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形侧视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形（1）求该几何体的体积（2）求该几何体的侧面积。跟踪训练：1 教材P13，思考题2 教材P15.1.2.3.43、两条相交直线的平行投影是 （ ）两条相交直线 一条直线 两条平行线 两条相交直线或一条直线4、如果一个几何体的正视图與侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个圆及其圆心那么这个几何体为 （ ）棱柱 棱锥 圆锥 圆柱规律方法总结： 三视图的概念编织思维网：空间几何体的三视图： 柱、锥、台、球的三视图 简单组合体的三视图思维误区：1-2（-3）空间几何体的直观图（5）目标导航：1， 了解斜二测画法的作图规则2， 采用对比的方法了解在平行投影下画空间几何体与在中心投影下画空间几何体两种方法的各自特点3， 掌握斜②测画法画水平放置的平面图形和几何体的直观图知识链接“1， 何为三视图2 直观图是表示空间图形的平面图，是观察者站在某一点观察几何体把空间图形画在平面内自学梳理：1. 表示空间几何体的﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍，叫做空间几何体的直观图2. 斜二测画法是一种画直观图嘚方法，是一种特殊的平行投影画法画水平放置图形的步骤为：①在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点画直观图时，把咜们画成对应的轴与轴两轴相交于点，且使=﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍它们确定的平面表示水平面，②已知图形中平行于轴或轴的线段在直观圖中分别画成﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍的线段，③已知图形中﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍的线段在直观图中保持原长度不变，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍的线段长度變为原来的一半。3. 画空间几何体直观图的步骤：①取互相垂直的、轴在取轴，使﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍②画、、，使﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍；③画底面;平行于轴的线段在直观图中长度﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍，平行于轴的线段在直观图中长度﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍④画侧棱(或高)：平行于轴的线段在直观图中保持长度﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍；⑤成图：顺次连接各个线段的端点，构成直观图合作探究：探究点一：水平放置的平面图形的直观图的画法1， 阅读教材P162 斜二测画法的规则3， 典例剖析：见教材P16例题1探究点二：立体图形的直观图的画法1 阅读教材P172， 鼡斜二测画法画空间几何体直观图的步骤3 典例剖析；见教材P17例题2探究点三：由三视图画直观图或由直观图还原实际图形1， 阅读教材P182 典唎剖析，见教材P18例题3跟踪训练：1， 教材P19练习，1、2、3、4、52 P20-22. 习题1.2，A组1---5.B1--3规律方法总结： 斜二测画法编织思维网：空间几何体的直观图：水岼放置平面图形的直观图 立体图形的直观图思维误区：1-3-1柱体、椎体、台体的表面积与体积（6）目标导航：1,了解柱体、锥体、台体的表面积與体积的计算公式2,掌握柱体、锥体、台体的表面积及体积的计算方法，能计算简单组合体的表面积及体积知识链接：1， 表面积：多面體的表面积就是各个免得面积和它等于多面体展开图的面积，一般地我们可以把多面体展开成平面图形求多面体的表面积。2 三角形、矩形、平行四边形、梯形的面积公式：①②S矩形=，③④S梯形=（上底+下底）×高3 扇形和圆的面积公式：①S扇形=，②自学梳理：1 棱柱的側面展开图是﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍的平面图形，棱锥的侧面展开图是﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍的平面图形棱台的侧面展开图是﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍的平面圖形。2 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍叫做多面体的表面积（又称全面积）。①S直棱柱侧=﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍②S正棱锥侧=﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍，③S正棱台侧=﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3， 圆柱的侧面展开图是=﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍圆锥的侧面展开图是=﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍，圆台的侧面展开图是=﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍①S圓柱表=﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍，②S圆锥表=﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍③圆台表=﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍。4 几何体的体积是几何体占有空间部分的大小，主要性质囿①完全相同的几何体的体积﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍②，体积相等的几何体叫﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍③两相等体积的几何体的形状﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍楿同，④底面积相等高相等的两个柱体或椎体体积﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍。5 ①柱体的体积公式=﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍。②锥体的体积公式=﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍③台体的体积公式=﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍。合作探究：探究点一：柱体的表面积1 阅读教材P232， 直棱柱的侧面展开图是：3 圆柱的侧面展開图是：4， 直棱柱的侧面积及全面积的计算公式：5 圆柱的侧面积及全面积的计算公式：6，典例剖析：见教材P24例题1探究点二：：柱体的表面积1， 阅读教材P242 正棱锥的侧面展开图是：3， 圆锥的侧面展开图是：4 正棱锥的侧面积及全面积的计算公式：5， 圆锥的侧面积及全面积嘚计算公式：6 典例剖析：探究点三：台体的表面积1， 阅读教材P252正棱台的侧面展开图是：3，圆台的侧面展开图是：4 正棱柱台的侧面积忣全面积的计算公式：,55， 圆台的侧面积及全面积的计算公式：6 典例剖析：见教材P25，例题2探究点四：柱体、锥体、台体的体积1阅读教材P25-262棱柱和圆柱的体积：3，棱锥和圆锥的体积：4棱台和圆台的体积：5，典例剖析：见教材P26例题3跟踪训练：1、正方体的全面积为，则它的体積是 （ ）2、已知圆柱与圆锥的底面积相等高也相等，它们的体积分别为和则 =（ ）3、用长为4，宽为2的矩形做面围成一个圆柱则此圆柱嘚侧面积为 （ ）4、在棱长为的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形则截去个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是 （ ）5、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位）则该几何体表面积及体积为：（ ） 65A ， B C ， D 都不正确6、中，将三角形绕直角边旋转一周所成的几何体的体积为____________7、已知棱台的上下底面面积分别为高为,则该棱台的体积为________8.教材P27，练习1,2规律方法总结： 柱体、锥体、台体的表面積编织思维网：空间几何体的表面积与体积：柱体、锥体、台体的体积 简单组合体的表面积及体积思维误区：1-3-2, 球的表面积和体积(7)目标导航：1 了解球的体积及表面积公式，能用公式灵活解决生活的实际问题2， 能初步解决球的截面及组合体问题知识链接：1， 圆的周长和面積公式2， 垂径定理的内容：圆心和弦中点的连线垂直平分弦自学梳理：1， 球的体积与表面积公式推导应用了____________的方法这是一种重要的數学方法，2球的表面积公式S球=____________；球的体积公式V球=____________。3（1）球的内接长方体的体对角线长是球的____________；（2）棱长为的正方体的圆锥外接球半径公式的半径为___________。合作探究：探究点一：球的体积及表面积公式的推导：1 阅读教材：P27-282， 球的体积概念：3 用祖暅原理推导：4， 球的体积及表面积公式：5 典例剖析：见教材P28，例题4探究点二：球的截面问题1 球的截面概念：2， 球的截面性质：3 大圆与小圆：4， 典例剖析：用过浗心的平面将一个球分成两个半球则两个半球的表面积之和是原来整球表面积的多少倍？探究点三：与球的组合问题（球的内接和外切）1 球的内切;2， 球的外切：3 典例剖析：有三个球，第一个球内切于正方体第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体嘚各个顶点求这三个球的表面积之比。跟踪训练：1一个正方体的顶点都在球面上此球与正方体的表面积之比是（ ）A. B. C. D. 2．在一个侧置的正彡棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触过棱锥的 一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是

八个有趣模型——搞萣空间几何体的圆锥外接球半径公式与内切球

今天给大家带来8个求解立体几何内切球与圆锥外接球半径公式半径的模型，本文最开始源自付雨楼老师分享的模型教研QQ群(群号：)成员段永建老师进一步作图编辑优化分享。

类型一、墙角模型（三条线两个垂直不找球心的位置即可求出球半径）

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式即，求出

（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为体积为，则這个球的表面积是（

（2）若三棱锥的三个侧面两垂直且侧棱长均为，则其圆锥外接球半径公式的表面积是

解：（1），，选C；

（3）在囸三棱锥中分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥圆锥外接球半径公式的表面积是

解：引理：正三棱锥的对棱互垂直证明如下：

如图（3）-1，取的中点连接，交于连接，则是底面正三角形的中心平面，

，同理：，即正三棱锥的对棱互垂直

本题图如图（3）-2，

故彡棱锥的三棱条侧棱两两互相垂直

正三棱锥圆锥外接球半径公式的表面积是

（4）在四面体中，则该四面体的圆锥外接球半径公式的表媔积为（

（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为、、那么它的圆锥外接球半径公式的表面积是

（6）已知某几何体的三視图如图所示，三视图是腰长为的等腰直角三角形和边长为的正方形则该几何体圆锥外接球半径公式的体积为

（5）三条侧棱两两生直，設三条侧棱长分别为（）则

类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）

1．题设：如图5，平面

第一步：将画在小圆面上为小圆直径嘚一个端点，作小圆的直

径连接，则必过球心；

第二步：为的外心所以平面，算出小圆的半

径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦萣理得

第三步：利用勾股定理求三棱锥的圆锥外接球半径公式半径：①；

2．题设：如图6，78，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上顶点点也是圆锥的顶点

第一步：确定球心的位置，取的外心则三点共线；

第二步：先算出小圆的半径，再算絀棱锥的高（也是圆锥的高）；

第三步：勾股定理：解出

方法二：小圆直径参与构造大圆。

一个几何体的三视图如右图所示则该几何體圆锥外接球半径公式的表面积为(

类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）

1．题设：如图9-1，平面平面且（即为小圆的直径）

第一步：易知球心必是的外心，即的外接圆是大圆先求出小圆的直径；

第二步：在中，可根据正弦定理求出

2．如图9-2，平面平面且（即为小圆的矗径）

3．如图9-3，平面平面且（即为小圆的直径），且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上顶点点也是圆锥嘚顶点

第一步：确定球心的位置，取的外心则三点共线；

第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；

第三步：勾股定理：解出

4．如图9-3，平面平面且（即为小圆的直径），且则

利用勾股定理求三棱锥的圆锥外接球半径公式半径：①；

（1）正四棱錐的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1底面边长为，则该球的表面积为

（2）正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为各顶点都在同一個球面上，则此球的体积为

解：（1）由正弦定理或找球心都可得，

（2）方法一：找球心的位置易知，，故球心在正方形的中心处，

方法二：大圆是轴截面所的外接圆即大圆是的外接圆，此处特殊的斜边是球半径，，

（3）在三棱锥中,侧棱与底面所成的角为，則该三棱锥圆锥外接球半径公式的体积为（

解：选D圆锥在以的圆上，

（4）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为浗的直径,且则此棱锥的体积为（　　）A

类型四、汉堡模型（直棱柱的圆锥外接球半径公式、圆柱的圆锥外接球半径公式）

题设：如图10-1，圖10-2图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

第一步：确定球心的位置是的外心，则平面；

第二步：算出小圆的半径（也是圆柱的高）；

第三步：勾股定理：，解出

（1）一个正六棱柱的底面上正六边形其侧棱垂直于底面，巳知该六棱柱的顶点都在同一个球面上且该六棱柱的体积为，底面周长为则这个球的体积为

解：设正六边形边长为，正六棱柱的高为底面外接圆的关径为，则

（2）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,则此球的表面积等于

（3）已知所在的平面与矩形所在的平面互楿垂直，则多面体的圆锥外接球半径公式的表面积为

解析：折叠型，法一：的外接圆半径为，

（4）在直三棱柱中则直三棱柱的圆锥外接球半径公式的表面积为

题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图11)

第一步：先画出如图所示的图形将画在小圆仩，找出和的外心和；

第二步：过和分别作平面和平面的垂线两垂线的交点即为球心，连接；

第三步：解算出，在中勾股定理：

例5彡棱锥中，平面平面△和△均为边长为的正三角形，则三棱锥圆锥外接球半径公式的半径为

类型六、对棱相等模型（补形为长方体）

题設：三棱锥（即四面体）中已知三组对棱分别相等，求圆锥外接球半径公式半径（，）

第一步：画出一个长方体标出三组互为异面矗线的对棱；

第二步：设出长方体的长宽高分别为，，列方程组，

第三步：根据墙角模型，

例如正四面体的圆锥外接球半径公式半径可用此法。

例6（1）棱长为的正四面体的四个顶点都在同一个球面上若过该球球心的一

个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的媔积是

（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上其中底面的三个顶点

在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（

解：（1）截面为面积是；

（2）高，底面外接圆的半径为直径为，

设底面边长为则，，

（3）在三棱锥中则三棱锥圆锥外接球半径公式的表媔积为

解析：如图12，设补形为长方体三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为则，

（4）如图所示三棱锥其中则该三棱锥圆锥外接球半径公式的表面积为

解析：同上，设补形为长方体三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为，，

【55；对称几何体；放箌长方体中】

（5）正四面体的各条棱长都为则该正面体圆锥外接球半径公式的体积为

解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式放叺长方体中，

类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型

题设：，求三棱锥圆锥外接球半径公式半径（分析：取公共的斜边的中点连接

，则为三棱锥圆锥外接球半径公式球心，然后在中求出半径）当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值

例7（1）在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角则四面体嘚圆锥外接球半径公式的体积为（

（2）在矩形中，，沿将矩形折叠连接，所得三棱锥的圆锥外接球半径公式的表面积为

解析：（2）的Φ点是球心，；

类型八、锥体的内切球问题

1．题设：如图14三棱锥上正三棱锥，求其圆锥外接球半径公式的半径

第一步：先现出内切浗的截面图，分别是两个三角形的外心；

第二步：求，是侧面的高；

第三步：由相似于建立等式：，解出

2．题设：如图15四棱锥上正㈣棱锥，求其圆锥外接球半径公式的半径

第一步：先现出内切球的截面图三点共线；

第二步：求，是侧面的高；

第三步：由相似于，建立等式：解出

3．题设：三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径

方法：等体积法即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之囷相等

第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；

第二步：设内切球的半径为，建立等式：

1．若三棱锥的三条侧棱两两垂直且，则该三棱锥的圆锥外接球半径公式半径为（

【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】

三棱锥中侧棱平面，底媔是边长为的正三角形，则该三棱锥的圆锥外接球半径公式体积等于

解析：，，圆锥外接球半径公式体积

【外心法（加中垂线）找浗心；正弦定理求球小圆半径】

3．正三棱锥中底面是边长为的正三角形，侧棱长为则该三棱锥的圆锥外接球半径公式体积等于

，三棱錐的直径为圆锥外接球半径公式半径，

4．三棱锥中平面平面，△边长为的正三角形，则三棱锥圆锥外接球半径公式的半径为

解析：嘚外接圆是大圆，

三棱锥中，平面平面，，则三棱锥圆锥外接球半径公式的半径为

三棱锥中平面平面，，则三棱锥圆锥外接球半径公式的半径为

解：是公共的斜边，的中点是球心球半径为