2 定积分的概念 【大一 本科大学生 高等数学 微积分学 教学视频】 2 定积分的概念 微分学部分介绍了连续、导数、微分、导数应用等基本内容 积分学部分介绍了不定积分和定積分的内容，重点强调了定积分的思想和基本积分法 实数与函数、极限理论、一元函数微分学、一元函数积分学。 极限理论部分对闭区間列紧性和实数完备性的介绍值得期待

每到期末关于高数与广大学子嘚爱恨情仇便闹得满城风雨。问一个同学：“你去哪呀”

“肝数分去！”他苦着脸笑，然后便哼哧哼哧地学上一天课外活动也没时间參加——“数分顶不住啦”。

考试前还得熬夜复习但最后成绩却是不上不下。反观有的人却学得如此潇洒成绩还让人羡慕。这不得不使我们深思

费力不讨好的事，那可不能干我们想要把高数学好，就必须在掌握好的学习方法上花功夫进一步说，就是形成符合学习規律的思想观念这可不是搞个专题学习就能解决的问题，而是需要我们在日常的学习中就要不断地对照好的观念去调整自己的学习方法养成好的学习习惯。实际操作中就要求找感觉但是，何为找感觉找什么感觉？找感觉有什么用对于这些问题我们不得不进行深入嘚思考，否则我们可能找了半天却发现只感受到了空虚和失败下面笔者就分享一下自己在高数学习中找感觉的经验，以资借鉴

我们学習过许多不错的“战术”，比如要发挥英雄主义攻山头要善于借力等，但是在什么时机如何运用这些战术却需要我们详细地琢磨、找感覺否则，头顶着墙还说要发挥英雄主义冲破一切阻碍那只会撞得头破血流

“感觉”是传感器，它是你对于自身学习状态的评估它提礻你是否在道上，需不需要调整我们要有谋略，在学习时运用恰当的战略战术这就需要我们重视“情报”——感觉。

下面我把高数学習分为三个阶段谈谈我的理解

这时对高数兴趣不大，了解不多这时得找对学习的路子，早日找到“有所获”的感觉一方面需要科普讀物了解这门学科，如《微积分的历程》对照着自己的专业需求思考如何学习，怎样着手；一方面给自己营造尽可能好的学习条件这個很重要，所谓兵马未动粮草先行这主要是好的教科书和辅导书，一定不要高门槛的特别是习题书，选有详解的当然最好还是有领蕗人帮忙。然后就一边学习一边调整学习方法比如重点在哪，是不是还需要什么参考资料这一时期如果过度的好的话就会感觉有收获——“知道自己在学啥了”，心里踏实这就上道了。

如果这一阶段没有弄好就会得一种常见病——“蒙圈”。

上课听不懂老师在讲什麼不知道自己在学什么，作业比较困难稀里糊涂应付过去后也不知道会了什么。这种懵懵的同学就要注意了可不能一直保持被动状態，这样的话就会效率奇低还心情不好必须抓紧琢磨方法，调整过来除开学习精力投入这一因素，要么是学习条件没有营造好要么僦是学识储备不够。前面两个好说而学识储备不够就需要花更多的时间去解决，学识储备不够要么是基础不够要么是思维方法没跟上這就需要进一步与擅长数学的人交流，对症下药

学习科普也很重要，人是需要意义的好的科普能提供意义。并且学好一门功课是一个系统工程既需要咬定青山不放松的死缠烂打，更需要高瞻远瞩的长篇谋划就如同设计飞机的整体结构时就不会考虑飞机内部的航电设施如何布置，虽然后者也很重要但小道理服从大道理，我们学专业首先得了解这个专业的框架是什么样子的要解决什么问题，有哪些昰精华哪些还待发展。这就需要我们去了解它的历史就像结识一个人，不了解他的过往怎能知道他美好纯粹的心灵呢

了解历史才能培养对专业的兴趣，才能有的放矢比如高数中的

语言，事实上就是比任何正数都小或者比任何正数都大的极限思想的数学表达虽然严謹，但是繁琐这时就不用死掐概念，理解它的思想就行

总的来说这时没有什么山头要攻，先把战略地图找到为妙

这时对于高数的理解逐渐加深，兴趣也愈发浓厚这个阶段的特点就是建立广泛的联系，积累突破再积累再突破。之前建立的模型可能与之后的认识相冲突需要进一步地从思维模型层面去梳理，不断建立更优的模型很锻炼思维能力。学过的概念与概念之间慢慢的互相联系起来形成一個整体，这差不多是郭靖练降龙十八掌的一招一式逐个练成并慢慢能互相配合的时期主要以攻山头的方式实现突破，遵循质量互变定律比如思考“dx”的本质是什么，与极限有什么关系没想清楚前许多问题搞不明白，某一次灵感一来想清楚后一连串的问题迎刃而解整個体系理解起来更加清晰了。

人在攻山头时会如痴如醉茶饭不思，有诗为证“衣带渐宽终不悔为伊消得人憔悴”，而一旦破解如醍醐灌顶，热泪盈眶只愿手之舞之足之蹈之，其喜洋洋者矣正所谓“众里寻他千百度，蓦然回首那人却在灯火阑珊处”。不过可以想嘚这对于时间的消耗也是很大的对于想深入理解的同学来说，这个攻坚克难的过程是少不得的突破多少沉淀多少。

这时高数的几座屾头业已攻下，在做题过程中除开纯粹技巧型的题一眼就知道它是怎么回事。这时就小有所成对应独孤求败是“重剑无锋，大巧不工”仿佛有登泰山而小天下的九天俛世之慨。不过并不要求我们要学的这么深这主要是兴趣。一般对于某个板块也会有各自的小成阶段这等于告诉你这一阶段的学习已功德圆满，所需要的只是修修补补你需要进行下一步更深入的学习。

学习就是这样有波澜起伏，否萣之否定积累以至无穷什么时候快到了极限的时候或许我们会看到前人的木剑冢，旁边写到：“飞花摘叶皆可伤人。”

“从前有一棵树，叫高树上面挂了许多人，在拉格朗日的照耀下……”

相信广大同学（萌新）们已经考完了高数的期中考试了是不是很酸爽？不论你是为自己的成绩欣喜还是懊恼相信你一定体驗到了高数的博大精深和毁人不倦。各种意想不到的技巧和考验耐心的计算是否让你颤抖呢mori君作为北大数院的志愿者辅导了一些其他院系学习高数的同学后，发现同学们都能不同程度地提高成绩下面就是满满的干货和经验：

相信同学们一定感觉到大学数学的节奏快、内嫆多，完全不同于中学的模式按照多数学校的进度和大纲，短短半个学期就讲完序列、函数极限连续性，一元微分了；考试不仅覆盖所有讲过内容而且老师也不太会额外划重点——所有的练习，复习和检测都要自己完成同时，习题课、作业和测验的题量之和远不及Φ学的刷题比例

对于数学系的同学，数学训练的重点是抽象、严谨的演绎能力；但对于非数学專业的同学学习高数的目的并不是让你成为数学家，而是在习得基本数学工具的基础上体会数学思维方式因此区别于《数学分析》课程，高数删减了对理论的详细证明加强了形象思维和计算能力的训练。

不过虽然不强调理论，但很多同学直接忽视了最基本的定义和定理证明过程这是非常危险的。经典例子是很多同学会算极限但完全遗忘了epsilon_delta定义也不会证明一个极限成立。事实上定义和定理才是数学框架的精髓所有的技巧和习题都是它们的延伸应用。长此以往各种数学对象的概念会模糊，到最后就寸步难行了

因此，强烈推荐大家每次做题前先将书上嘚理论框架完全搞清列出重要的对象和定理，隐去定义和证明内容自行推理建立一遍书上的体系。哪些证明不要求证明步骤的先后順序等等细节务必完全落实。这时你会发现“只有足够努力，才能看似毫不费力”——老师在课堂上的推导看似非常顺畅但自己做就難多了。这一过程中最佳方式是找同学互相讲解和提问，直到大家都能对答如流为止在此之后，做习题就会轻松很多

做题一直是使哃学们苦恼的事情。在数学中“书全看懂，题不会做”是非常正常的事情mori君在《数学专业的真相》一文中也提到了，看已有的内容只昰看工具的说明书而做未知的内容是要拿工具打造工艺品，难度当然相差甚远解决具体问题的技能、技巧只有通过大量的操练才能习嘚，就像语言的习得必须开口应用一样

一开始请务必先认真地把教材后的所有习题做完。一般老师课上布置的作业是从教材中选一些习題但自己做的时候最好将课后每一题都认真地做一遍。这里要提醒大家的是解数学题一定要“做到底”，不论计算还是证明一定要試着书写完整的步骤和过程。在数学中因为跳过一些看似“显然”的步骤而造成严重错误的例子屡见不鲜；很多同学常常看到某题“我会算”就不做了等上考场现场算就很难做对了。如果你对自己的一些过程没有把握就拿给助教或老师看，相信他们一定非常乐意帮助你

这里可以再为大家推荐一些习题秘籍。如果你做完教材习题学有余力的话可以先看一些考研高等数学的习题辅导书，比如张宇老师的《高等数学18讲》等虽然mori君身边的许多同学比较看不起考研数学辅导书，但事实上这些书相当清晰应试也很管用，因为考研数学的技巧囷区分度还是比较高的

如果这些仍然满足不了你的学霸气质的话，那么可以开刷著名的吉米多维奇《数学分析习题集》与菲赫金哥尔茨《微积分学教程》前者出版了详细题解，而后者不仅是一本完整的教材作者还把每道例题的细致分析都写在了正文中。这两部经典可鉯说是古典微积分技能的顶峰配合食用十分酸爽，即使是数学系的同学也很少有能啃完者

很多同学会感到高数的内容十分抽象或难于悝解，其实这是学习数学所共有的感觉：越强大和高级的数学就越抽象一个极佳的方法是：拿很多具体的例子来检验和尝试。这一想法佷多大数学家也屡屡强调很多看似玄奥高深的理论，有了一些经典和具体的例子就十分易于接受和理解

比如学闭区间上的连续函数有種种好的性质，那么你就可以尝试构造各种开区间上的反例：无界取不到最值，无法一致连续……具体感知了很多这样的例子后你就會抓住闭区间与连续性的关联和内涵。在多元函数、级数中大量病态的例子更加必不可少，这些都可以帮助你找到条件的关键点在解題的时候，大数学家常常是先拿很多经典的例子去试尝试找一个反例，试过很多例子后往往就能找到正确的解决途径

至于形象思维更昰需要丰富的具体实例，各种直线平面和二次曲面的位型关系直接决定了多元微积分的能力。在几何想象力上老师几乎没有办法培养囷训练，一个最好的办法或许就是把很多二次曲面的具体“长相”放在脑海中想象；熟练后不断地拿各种平面、曲面去截想象它们的形狀。对于这种练习有一个非常棒的网络工具就是wolframalpha，这个网站不仅能计算导数积分，部分分式还可以进行各种角度的3D作图，简直是学習高数人见人爱必不可少的帮手了~

希望在读了上面的经验分享之后，同学们的高数成绩都能变成一个很高的数字~

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