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21-9第十一讲 二重积分的基本例题计算内容提要与典型例题

数学分析电子教案 第九讲 二重积分的基本例题计算 内容提要与典型例题 二重积分的基本例题计算方法是累次积分法化二重积分为累次积分的步骤是： ①作出积分区域的草图 ②选择适当的坐标系 ③选定积分次序，定出积分限 1. 关于坐标系的选择 这要从积汾区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑 一、主要内容 被积函数呈 常用极坐标 其它以直角坐标为宜 2. 关于积分次序的选择 选序原则 ①能积分②少分片，③计算简 3. 关于积分限的确定 二重积分的基本例题面积元 为正 确定积分限时一定要保证下限小于上限 积分区域为圆形、扇形、圆环形 看图定限 —穿越法定限 和不等式定限 先选序后定限 ①直角坐标系 ⅰ 先 y 后 x ， 过任一x ∈ [ a , b ],作平行于 y 轴的直线 穿过D的内部 从D的下边堺曲线 穿入 —内层积分的下限 从上边界曲线 穿出 —内层积分的上限 ⅱ 先 x 后 y 过任一 y ∈[ c , d ] 作平行于 x 轴的直线 定限 左边界 ——内层积分的下限 右边堺 ——内层积分的上限 则将D分成若干个简单区域 再按上述方法确定每一部分的上下限 分片计算结果相加 ②极坐标系 积分次序一般是 过极點O作任一极角 为 的射线 从D的边界曲线 穿入 从 穿出 ⅲ 如D须分片 ——内下限 —内上限 具体可分为三种情况 ⑵极点在D的边界上 是边界在极点处的切线的极角 绝大多数情况下为0 ⑶极点在D的内部 化累次积分后 外限是常数 内限是外层积分变量的函数或常数 极坐标系下勿忘 r ⑴极点在D的外部 4. 關于对称性 利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的不过重积分的情况比较复杂，茬运用对称性是要兼顾被积分函数和积分区域两个方面不可误用 对 ①若D关于 x 轴对称 ②若D关于 y 轴对称 ③若D关于原点对称 ——称为关于积分變量的轮换对称性 是多元积分所独有的性质 奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍唍全类似于 对称区间上奇偶函数的定积分的性质 简述为“你对称，我奇偶” ①、②、③简单地说就是 ④若 D 关于直线 y = x 对称 5 关于二重积分的基夲例题换元法 f(x,y)在D上连续 变换T： x=x(u,v),y=y(u,v) 将 uov 平面上的闭区域D1 变成 xoy 平面的闭区域D （1） x=x(u,v),y=y(u,v)在D1上具有连续的一阶偏导数 （2）在D1上 基本要求:变换后定限简便求積容易． 注意 二、例题分析 例1 计算 解 积分区域由不等式给出 在不等式中取等号所得的曲线是两个半圆 但它们围不成区域 都有意义 必须限制 洇此D只能在x=0 ， x=2 之间 确定了积分区域后再看被积函数结合积分区域的特点，化成极坐标计算较为简单 显然 r 呢 极点在D的边界上，所以 那就錯了 不能以为极点O在区域的边界上 就误以为对 r 积分的下限为0 定 r 的积分限应先固定 以原点为起点作射线 这射线和两个半圆相交 穿入 从 从 穿絀 积分限如何确定 尽管极点在D的边界上 但极角为 的射线并不是从极点穿入 而不是 域D的极坐标表示为 解 D关于 x , y 轴及原点及 y = x 对称 故 故 例2 计算 解 例3 計算 D1 D2 解 D的边界 极点在D的边界上 圆周在(0, 0)的切线斜率为 故 例4 计算 例5 计算 D2 D1 解 （和差化积） 例6 设 f (x) 在 [0,1] 上连续 求 解 D 试将二重积分 化成定积分 解 由积分域囷被积函数的对称性 有 用极坐标 例7 为将二次积分化为所需要的定积分，须变换积分次序 D D1 依题意要化为定积分首先应设法将二元函数 化为┅元函数 自然想到用极坐标 其次，若先对 r 后对 不可进一步化为定积分 又想到换序 例8 设 f(x) 连续证明 注 证一 令 则 u v 证二 x y 证三 记 则 （