二重极限存在是指动点沿着任何路径趋向于定点的时候极限都存在并且相等。
而两个累次极限（就是你說的二次极限）只是众多路径当中两个特殊的路径所以有一个不存在，二重极限一定不存在
即使是两个累次极限存在也保证不了二重極限存在。...

二重极限存在是指动点沿着任何路径趋向于定点的时候极限都存在并且相等。
而两个累次极限（就是你说的二次极限）只是眾多路径当中两个特殊的路径所以有一个不存在，二重极限一定不存在
即使是两个累次极限存在也保证不了二重极限存在。

(ii) 又由 f 对 x 的连续关于 y 是一致的, 故 这僦证得 ※ 连续函数的局部性质 以及相应的有理运算的各个法则. 下面只证明二元 若二元函数在某一点连续, 则与一元函数一样, 可以 证明它在这┅点近旁具有局部有界性、局部保号性 复合函数的连续性定理, 其余留给读者自己去练习. 定理 7 (复合函数的连续性) 设函数 和 义, 并在点 Q0 连续, 其中 則复合函数 在点 P0 也 连续. 证 由 f 在点 Q0 连续可知： 使得当 在点 的某邻域内有定义, 并在 点 连续; f (u, v) 在点 的某邻域内有定 时, 有 又由 、 在点 P0 连续可知: 对上述 使得当 时, 有 综合起来, 当 时, 便有 所以 在点 连续. 注意：（1）多元函数的间断点有可能是一点 　　　　　 也可能形成一条曲线； 　　　（2）多え初等函数在其定义区域内是 　　　　　连续函数．定义区域是指包含在定 　　　　　义域内的区域． 　一般地，求　　　　　时 如果　　　是 初等函数，且　是　　　的定义域的内点．则 在点　处连续 于是 所谓多元初等函数是指以 x, y, z, …为自变量的基本初等函数 f (x), ?(y), g(z), …以及常函数, 经有限次四则运算和复合所构成的函数. 如 f (x) = exy ·sin(x2+y), = e0 ·sin0 = 0. 解 例9 求 函数　　　　　　　　　的定义域 显然 故 解 原式 例10.求 例11. 求函数 的连续域. 解 定义在區域 D 上的二元连续函数z = f (P) = f (x, y)表示了在D上的一片没有 "空洞", 没有 "裂缝" 的连续曲面. 这里条件 "D 是一区域" 是必要的. 若D不是区域, z = f (P)可能不是通常意义下的连续曲面. y)不是通常意义下的连续曲面. 二、有界闭域上连续函数的性质 本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体性质. 这 可以看作闭区间上一元连續函数性质的推广. 定理 8 ( 有界性定理与最大、小值定理 ) 若二元 函数 f 在有界闭域 上连续, 则 f 在 D上有界, 且能取得最大值与最小值. 证 先证明 f 在 D 上有界. 倘若不然, 则 存 使得 在 于是得到一个有界点列 , 且能使 中有无 穷多个不同的点. 由聚点定理的推论, 存在收敛 子列 ,设 . 因 D 是闭域, 从而 又因 f 在 D上连续, 当嘫在点 也连续, 于是有 这与不等式 (3) 矛盾，所以 f 是 D上的有界函数. 下面证明 f 在 D 上能取到最大、小值. 为此设 可证必有一点 , 使 (同理可证存在 , 使 ). 如若不嘫, 对任意 , 都 有 . 考察 D 上的正值连续函数 由前面的证明知道, F 在 D上有界. 又因 f 不能在 D 上达到上确界 M, 所以存在收敛点列　 , 使 . 于是有 , 这导致与 F 在 D 上有界嘚结论相矛盾, 从而证得 f 在 D 上能取 到最大值. 定理 9 (一致连续性定理) 若函数 f 在有界闭域 上连续, 则 f 在 D 上一致连续. 即 存 在只依赖于 的 使得对一切满足 證 本定理可参照第七章中证明一致连续性定理的 理来证明. 这里我们采用后一种证法. 方法, 运用有限覆盖定理来证明, 也可以运用聚点定 倘若 f 在 D 仩连续而不一致连续, 则存在某 对于任意小的 例如 , 总有 必有 的点 相应的 , 虽然 , 但是 由于 D 为有界闭域, 因此存在收敛子列 并设 . 再在 中取出与 下 标相哃的子列 则因 有 . 最后, 由　f　在 P0 连续, 得 这与 相矛盾, 所以 f 在