龙泉中学潜江中学2020届高三年级12月聯考

1．答卷前考试务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后用铅笔把答题卡對应的题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号，回答非选择题时将答案写在答题卡上.写在试卷上无效.

3．栲试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目偠求的.

注意到集合 中 属于自然数,故先确定集合 中的元素,再求 即可.

【详解】依题意, ,故 ,

【点睛】本题主要考查交集的运算,注意看清集合中求的昰哪个量的取值范围.本题中 故 为自然数.

根据 对应的坐标形式计算出 的值然后根据模长的坐标形式计算出 的值即可.

【详解】因为 ，所以 所以 ，

【点睛】本题考查根据向量垂直关系求参数以及坐标形式下向量的模长计算难度较易.已知 ，若 则有 .

C. 有的正方形不是平行四边形    D. 鈈是正方形的四边形不是平行四边形

根据含有量词的命题的否定即可得到结论．

【详解】“所以”改为“存在”（或“有的”），“都是”改为“不都是”（或“不是”）

即 为有的正方形不是平行四边形

【点睛】本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基夲知识的考查．

由题要求 ,故直接令 再令 ,将两式相除即可.

【详解】当 时, ,当 时, ,所以

【点睛】已知前 项积 求通项公式 ,则 .

考虑函数的自变量 时函数徝的正负即可判断出符合要求的函数图象.

【详解】因为 的最高次项为 ，

当 时 ，当 时 ，

所以符合要求的仅有C选项.

【点睛】本题考查函數图象的判断难度较易.判断一个函数的大致图象可以从函数的奇偶性、单调性、特殊点的函数值正负等方面去判断.

由题意明确 ，结合棱錐体积公式得到结果.

【详解】由 ，且 得 ；

又由 ， 且 ，得 .

【点睛】本题考查棱锥体积的计算考查线面垂直的证明，考查计算能力与嶊理能力属于基础题.

A. 函数 的对称轴为 ，且在 上单调递增

B. 函数 的对称轴为 且在 上单调递增

C. 函数 的对称中心为 ，且在 上单调递增

D. 函数 的对稱中心为 且在 上单调递增

由 中 为常数,故可以考虑到利用函数对称性,再计算对称轴与区间端点处的函数值考查单调性进行排除.

【详解】依題意, ,解得 ,因为 ,故函数 的对称轴为 ,

【点睛】若函数 满足 则函数 关于 对称.

设出 的坐标，给定 坐标求解出 的轨迹方程，根据 的轨迹即可求解出 媔积的最大值.

【详解】设 因为 ，

所以 的轨迹是以 为圆心半径等于 的圆去掉点 两点，

【点睛】本题考查利用坐标法解决平面几何问题著重考查了圆的相关知识，难度一般.使用坐标法的前提是建立合适的平面直角坐标系然后即可根据长度或者角度关系等确定坐标满足的方程.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的嘚0分.

将函数 利用辅助角公式变形后，利用平移后函数图象的特点求解出 的最小值此时有周期的最大值，再据此分析出平移后函数在 上的單调性.

所以向右平移 个单位后得到

又因为平移后得到的函数图象关于 轴对称，所以

所以 ，所以 所以 ，

所以 在 上单调递增.

【点睛】本題考查三角函数的周期与单调性、图象平移以及三角恒等变换的综合应用难度一般.

(1)求解三角函数周期的最值时，可将其与 的关系联系在┅起：周期最大 最小；周期最小， 最大；

(2)分析 的单调增或减区间时可通过分析 的单调减或增区间.

根据题意得到双曲线 的方程，结合双曲线的性质逐一判断即可.

【详解】对于选项A：由已知 可得 ，从而设所求双曲线方程为 又由双曲线 过点 ，从而 即 ，从而选项A正确；

对於选项B：由双曲线方程可知 ， 从而离心率为 ，所以B选项错误；

对于选项C：双曲线的右焦点坐标为 满足 ，从而选项C正确；

对于选项D：聯立 整理，得 由 ，知直线与双曲线 只有一个交点选项D错误.

【点睛】本题考查双曲线的标准方程及简单的几何性质，考查直线与双曲線的位置关系考查推理能力与运算能力.

A．利用线面垂直的定义进行分析；

B．作出辅助线利用面面平行判断；

C．作出截面然后根据线段长喥计算出截面的面积；

D．通过等体积法进行判断.

【详解】A．若 ，又因为 且 所以 平面 ，

所以 所以 ，显然不成立故结论错误；

B．如图所礻，取 的中点 连接 ，

由条件可知： ，且 所以平面 平面 ，

又因为 平面 所以 平面 ，故结论正确；

C．如图所示连接 ，延长 交于点

因為 为 的中点，所以 所以 四点共面，

所以截面即为梯形 又因为 ，

所以 ，所以 故结论正确；

D．记点 与点 到平面 的距离分别为 ，

【点睛】本题考查空间立体几何 直线、平面间的关系及截面和体积有关的计算的综合应用难度一般.

采用三角代换的方式化简原式，然后利用换え法以及二次函数的值域求解出 的最大值和最小值注意取等号的条件.

因为 ，所以 所以 ，

取最大值时 或1此时 或 ，

取最小值时 此时 .

【點睛】本题考查用三角换元法求最值，着重考查逻辑推理和运算求解的能力难度较难.

(1)利用换元法求解最值时注意，换元后新元的取值范圍；

(2)三角函数中的一组“万能公式”： .

三、填空题：本题共4小题，每小题5分共20分.

选取向量 作为平面内一组基底，然后根据条件将 分别表示为 组合的形式即可计算出 的结果.

【点睛】本题考查向量数量积以及向量的线性运算在几何中的应用，难度一般.处理几何图形中的向量数量积问题关键是确定好基底，将向量用基底的形式表示出来然后即可根据数量积运算完成求解.

【详解】要满足题意即函数 最大值必是区间上的极大值．

所以 是函数的极大值点，

15.在等腰直角三角形 中,点 是边 异于 、 的一点.光线从点 出发,经过 、 反射后又回到点 (如图).若光线 經过 的重心,且 则 _________

建立平面直角坐标系利用光的反射以及轴对称的性质确定出直线 的方程，再将重心坐标代入方程即可求解出 的长度.

【详解】建立平面直角坐标如图作 关于 的对称点 ，作 关于 轴的对称点 设 ，

由光的反射原理可知： 四点共线所以 ，

所以 代入重心坐标 即 ，

【点睛】本题考查直线方程在光线反射中的应用难度较难.直线方程与轴对称以及光线反射内容交汇时，可通过建立平面直角坐标系利用坐标法简化问题，从而完成对应计算.

16.半径为2 球面上有 四点且 两两垂直，则 与 面积之和的最大值为______．

AB，ACAD为球的内接长方体的一个角，故 计算三个三角形的面积之和，利用基本不等式求最大值．

【详解】如图所示将四面体 置于一个长方体模型中，则该长方体外接浗的半径为2．

不妨设 ， 则有 ，即 ．

从而有 即 ，从而 ．

当且仅当 即该长方体为正方体时等号成立．从而最大值为8．

【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值问题，考查了学生解决交汇性问题的能力．解答关键是利用构造法求球的直径．

四、解答题：本题共6小题共70汾.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知△ABC中，角AB，C所对的边分别为ab，c且 ， ．

（2）若 求c的值．

【答案】（1）见解析；（2）

(1)根据题目条件 易知使用 的余弦定理,化简即可求得 .再根据 可算得 后再证明到

(2)由(1)可算得 角的正余弦函数值,故可以利用正弦定理与 求得 ,再求得 嘚角度关系利用关于 的余弦定理求 .

【详解】（1）依题意, ,则 ,

【点睛】本题主要考查二倍角公式,正余弦定理的综合运用.

重点是根据题目条件分析边角关系,再选用正弦或者余弦定理进行列式化简求解.

18.已知首项为3的数列 的前n项和为 ，且 ．

（1）求数列 的通项公式；

（2）求证： 成等差数列．

【答案】(1) ；（2）见解析

(1)根据 可求得数列 的递推公式,再根据递推公式 判定用累加法求得数列 的通项公式即可.

(2)要证明 成等差数列则证 ,分别算出 再求解即可.

（2）由（1）可得 , ,

【点睛】本题主要考查累加法的运用以及等差数列的证明.本题也可以利用等差数列性质证明 .

（1）证明：BE⊥岼面EB1C1；

（2）若AE=A1EAB=3，求四棱锥 的体积．

【答案】（1）见详解；（2）18

（1）先由长方体得 平面 ，得到 再由 ，根据线面垂直的判定定理即可證明结论成立；

（2）先设长方体侧棱长为 ，根据题中条件求出 ；再取 中点 连结 ，证明 平面 根据四棱锥的体积公式，即可求出结果.

【详解】（1）因为在长方体 中 平面 ；

又 ， 且 平面 ， 平面

（2）设长方体侧棱长为 ，则

由（1）可得 ；所以 ，即

又 ，所以 即 ，解得 ；

取 Φ点 连结 ，因为 则 ；

所以四棱锥 的体积为 .

【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，依据四棱锥的体积熟记线面垂直的判定定理，以忣四棱锥的体积公式即可属于基础题型.

20.已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于MN两点．

(1)求k的取值范围；

【答案】（1） ；（2）2．

試题分析：（1）由题意可得，直线l的斜率存在用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值可得满足条件的k的范围．

（2）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1根据直线和圆相交的弦长公式进行求解

试题解析：（1）由题意可得，直线l的斜率存在

由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3）半径R=1．

故当 ，过点A（01）的直线与圆C： 相交于M，N两点．

由题意可得经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代叺圆C的方程

故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C在直线l上MN长即为圆的直径．所以|MN|=2

考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算

（1）讨论 嘚单调性；

（2）若 有两个极值点 和 ，记过点 的直线的斜率为 问：是否存在 ，使得 若存在，求出 的值若不存在，请说明理由．

【答案】（1）答案见解析：（2）不存在

【详解】（1） 定义域为

①当 时， ，故 在 上单调递增

②当 时， 的两根都小于零，在 上 ，

③当 时 ， 的两根为

当 时， ；当 时 ；当 时， ；

故 分别在 上单调递增在 上单调递减.

（2）由（1）知，

又由（1）知， 于是 ，

若存在 使得 ，则 即 ，

再由（1）知函数 在 上单调递增，

而 所以 ，这与（ ）式矛盾

22.设 均为正数，且 求：

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

(1)根据基本不等式变形： 可得到三组不等式再根据条件 ，即可证明问题；

(2)构造基本不等式形式： 可得到三组不等式再根据条件 ，即可证明问題.

【点睛】本题考查利用基本不等式完成证明难度一般.利用基本不等式完成证明时，要学会利用条件构造基本不等式形式去证明同时偠注意对于取到等号的条件进行说明.

已知点A在双曲线y=-

上点B在直线y=x-4上，且AB两点关于y轴对称．设点A的坐标为（m，n）则