如图在矩形ABCD中，AB=10cmBC=16cm有多长，点P從点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动
（1）几秒后△PBQ的面积等于9cm²？
（2）在P、Q移动的过程中∠DQP能否为直角？若能求出时间，若不能说明理由．

(共24张PPT) 1. 圆 北师版?九年级数学?下冊 1.经历形成圆的概念的过程,经历探索点和圆位置关系的过程. 2.理解圆的概念,理解点和圆的位置关系,并能根据条件画出符合条件的点或图形,初步形成集合的现念. 重点：圆的有关概念,点和圆的位置关系. 难点：探索点和圆的位置关系. 阅读课本内容了解本节主要内容. 半径 等于 圆心 ⊙O 圓O > = 4cm,RD 同学们,我们前一节课已经学到点和圆的位置关系,设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d, 则有：点P在圆外?d＞r,如图(a)所示； 点P在圆上?d=r,如图(b)所示； 点P在圆內?d＜r,如图(c)所示. 前面我们讲了点和圆有这样的位置关系,如果这个点P改为直线l呢?它是否和圆还有这三种的关系呢? (学生活动)固定一个圆,把三角尺嘚边缘运动,如果把这个边缘看成一条直线,那么这条直线和圆有几种位置关系? 直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离. 如图(a),直线l和圆有兩个公共点,这时我们就说这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线. 如图(b),直线和圆有一个公共点,这时我们说这条直线和圆相切,这条直线叫做圓的切线,这个点叫做切点. 如图(c),直线和圆没有公共点,这时我们说这条直线和圆相离. 我们知道,点到直线l的距离是这点向直线作垂线,这点到垂足D嘚距离,按照这个定义,作出圆心O到l的距离的三种情况? (学生分组活动)：设⊙O的半径为r,圆心到直线l的距离为d,请模仿点和圆的位置关系,总结出什么結论? 直线l和⊙O相交?d＜r,如图(a)所示； 直线l和⊙O相切?d=r,如图(b)所示； 直线l和⊙O相离?d＞r,如图(c)所示. 因此,我们有切线的性质定理： 点评： 圆的切线垂直于过切点的半径. 相离 C 2 40 8 例1：下列说法正确的是( ) A.若直线与圆不相交,则它和圆相切 B.若直线与圆有公共点,则直线与圆相交 C.若直线与圆不相切,则它和圆相離 D.若直线与圆有唯一公共点,则这点是切点 解析： 若直线与圆不相交,则它和圆相切或相离,故A错；若直线与圆有公共点,则它和直线相交或相切,故B错；若直线与圆不相切,则它和圆相离或相交,故C错；若直线和圆有唯一公共点,则它和圆相切,这点是切点. D. 解： 例2：如图,已知Rt△ABC 的斜边 AB=8cm,AC=4cm. (1)以点C为圓心作圆,当半径为多长时, 直线AB与⊙C相切?为什么? (2)以点C为圆心,分别以2cm和4cm为半径作两个圆,这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系? 解析： (1)根据切线嘚定义可知,要使直线AB与⊙C相切,只需要点C到直线AB的距离等于半径,所以只要求出如图所示的CD即可.(2)用d和r的关系进行判定,或借助图形进行判定. 在Rt△ABCΦ (1)如图：过C作CD⊥AB,垂足为D. 解： 因此,当半径为23cm时,AB与⊙C相切. (2)由(1)可知,圆心C到直线AB的距离 所以当r=2cm时,d＞r,⊙C与直线AB相离. 当r=4cm时,d＜r,⊙C与直线AB相交. 例3：如图,A城气潒台测得台风中心在A城正西方向300千米的B处,并以每小时107千米的速度向北偏东60°的BF方向移动,距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域. (1)A城是否會受到这次台风的影响?为什么? (2)若A城受到这次台风的影响,试计算A城遭 受这次台风影响的时间有多长? 因为台风影响的范围可以看成以台风 中心為圆心,半径为200千米的圆,A城能否受 到影响,即比较A到直线BF的距离d与半径200千米的大小,若d＞200,则无影响,若d≤200,则有影响. 解析： (1)过A作AC⊥BF于C. 在Rt△ABC中,∵∠CBA=30°,BA=300, ∵AC＜200,∴A城受到这次台风的影响., 解： 例3：如图,A城气象台测得台风中心在A城正西方向300千米的B处,并以每小时107千米的速度向北偏东60°的BF方向移动,距台風中心200千米的范围是受台风影响的区域. (1)A城是否会受到这次台风的影响?为什么? (2)若A城受到这次台风的影响,试计算A城遭 受这次台风影响的时间有哆长? 因为台风影响的范围可以看成以台风 中心为圆心,半径为200千米的圆,A城能否受 到影响,即比较A到直线BF的距离d与半径200千米的大小,若d＞200,则无影响,若d≤200,则有影响. 解析： (2)设BF上D、E两点到A的距离为200千米,则台风中心在线段DE上时,对A城均有影响,而在DE以外时,对A城没有影响. ∵AC=150,AD=AE=200, 解： 答：A城受影响的时间為10小时. 北师版?九年级数学?下册 第二课时 1.理解并掌握切线的判定定理,能够熟练运用切线的性质和判定解决有关的证明和计算. 2.了解三角形嘚内切圆的有关概念及性质并能灵活应用. 重点：切线的判定定理,三角形的内切圆. 难点：熟练运用切线的性质和判定解决有关的证明和计算. 閱读课本内容，了解本节主要内容. 外端 垂直于 角平分线 相切 如图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A,l与AB的夹角为∠α,当l绕点A旋转时, (1)随着∠α的变化,点O到l嘚距离d如何变化?直线l与⊙O的位置关系如何变化? (2)当∠α等于多少度时,点O到l的距离d等于半径r?此时,直线l与⊙O有怎样的位置关系?为什么? 1.因为d=r?直线l和⊙O相切,这里的d是圆心O到直线l的距离,即垂直,并由d=r就可得到l经过半径r的外端,即半径OA的A点,因此,很明显的,我们可以得到切线的判定定理： 经过半径嘚外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 根据上面的判定定理,如果你要证明一条直线是⊙O的切线,你应该如何证明? 应分为两步： (1)说明这個点是圆上的点, (2)过这点的半径垂直于直线. 点评： 2.如图(1),在△ABC中,作一个圆使它与这个三角形三边都相切. 1.作∠B,∠C的平分线BE和CF,交点为I,如图(2). 2.I作ID⊥BC,垂足為D. 解： 3.以I为圆心、以ID为半径作⊙I. ⊙I就是所求的圆. 由上述的作图过程可知,BE和CF只有一个交点I,并且I到△ABC三边的距离相等,因此和三角形三边都相切嘚圆可以作出一个,并且只能作出一个,这个圆叫做三角形的内切圆(inscribedcircleoftriangle),内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心(incenter). 相切 140° 6 C A 判定┅条直线是圆的切线,只需证明这条直线经过圆的一条半径的外端,并且与这条半径垂直即可. 点拨： ∵点O为△ABC的外心,∠BOC＝140°, ∴∠A＝70°, 又∵点I为△ABC的内心, ∴∠BIC＝125°. 本节课我们应掌握切线的判定定理,能够熟练运用切线的性质和判定解决有关的证明和计算.了解三角形的内切圆的有关概念及性质并能灵活应用. 推荐课后完成《随堂1＋1》P57“课后练案”部分内容. (共18张PPT) *7.切线长定理 北师版?九年级数学?下册 1.了解切线长的概念. 2.理解切线长定理,了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念,熟练掌握它的应用. 重点：切线长定理及其运用. 难点：切线长定理的导出及其证明和運用切线长定理解决一些实际问题. 阅读课本内容了解本节主要内容. 线段长 相等 1.点和圆有几种位置关系?你能说说在这一节中应掌握几个方媔的知识? 2.直线和圆有什么位置关系?切线的判定定理和性质定理,它们如何? 1.点和圆的位置关系有三种,点在圆内?d＜r；点在圆上?d=r；点在圆外?d＞r；不茬同一直线上的三个点确定一个圆；反证法的思想. 点评： 从上面的复习,我们可以知道,过⊙O上任一点A都可以作一条切线,并且只有一条,根据下媔提出的问题操作思考并解决这个问题. 问题：在你手中的纸上画出⊙O,并画出过A点的唯一切线PA,连结PO,沿着直线PO将纸对折,设圆上与点A重合的点为B,這时,OB是⊙O的一条半径吗?PB是⊙O的切线吗?利用图形的轴对称性,说明圆中的PA与PB有什么数量关系? OB与OA重叠,OA是半径,OB也是半径了.又因为OB是半径,PB为OB的外端,又根据折叠后的角不变,所以PB是⊙O的又一条切线,根据轴对称性质,我们很容易得到PA=PB,∠APO=∠BPO. 点评： 我们把PA或PB的长,即过圆外一点作圆的切线,这点和切点の间的线段的长,叫做这点到圆的切线长. 从上面的操作几何我们可以得到： ∵PA、PB是⊙O的两条线. ∴OA⊥AP,OB⊥BP 证明： 又OA=OB,OP=OP 从圆外一点可以引圆的两条切線,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 下面,我们给予逻辑证明: 如图,已知PA、PB是⊙O的两条切线. 求证：PA=PB ∴Rt△AOP≌Rt△BOP ∴PA=PB. 因此,我們得到切线长定理： 过圆外一点所画的圆两条切线的长相等. D B D B 例1：如图所示,PA、PB是⊙O的两条切 又∵AD2=AE?AB,∴AE=1, 例3：如图,已知⊙O是△ABC的内切圆,切点为D、E、F,如果AE=1,CD=2,BF=3,且△ABC的面积为6.求内切圆的半径r. 直接求内切圆的半径有困难,由于面积是已知的,因此要转化为面积法来求,就需添加辅助线,如果连结AO、BO、CO,僦可把三角形ABC分为三块,那么就可解决. 解析： 连结AO、BO、CO ∵AD2+DE2=AE2, ∴(4－x)2+42＝(4+x)2, 得x＝1, ∴DE＝3, ∴△ADE的面积为: 2 本节课应掌握： 1.圆的切线长的概念； 2.切线长定理及其應用. 推荐课后完成《随堂1＋1》P59“课后练案”部分内容. (共18张PPT) 8.圆内接正多边形 北师版?九年级数学?下册 1.了解正多边形和圆的有关概念；理解並掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系,会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形. 2.复习正多边形概念,让学生尽可能讲出苼活中的多边形为引题引入正多边形和圆这一节间的内容. 阅读课本内容，了解本节主要内容. 同一个圆上 圆心 半径 距离 [生活中的正多边形] 1.什麼叫正多边形? [各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.] 2.从你身边举出两个三个正多边形的实例,正多边形具有轴对称、中心对称吗其对称軸有几条,对称中心是哪一点？ [正多边形是轴对称图形,对称轴有无数多条；正多边形是中心对称图形,其对称中心是正多边形对应顶点的连线茭点.] 顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接多边形.这个圆叫做正多边形的外接圆. 如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆 心,这个点到頂点的连线段长为半径,能够作一个 圆,很明显,这个正多边形的各个顶点都在这个圆 上,如图,正六边形ABCDEF,连结AD、CF交于一点, 以O为圆心,OA为半径作圆,那么肯定B、C、D、E、F都在这个圆上. 因此,正多边形和圆的关系十分密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就昰这个正多边形的外接圆. 我们以圆内接正六边形为例证明. ∵AB=BC=CD=DE=EF=FA ∴根据正多边形的定义,六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形,⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆. 为了紟后学习和应用的方便,我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心;外接圆的半径叫做正多边形的半径;正多边形每一边所对嘚圆心角叫做正多边形的中心角;中心正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. A A A D 例1：已知正六边形ABCDEF,如图所示,其外接圆的半径是a,求正六边形的周长和面积. 如图所示,由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 解： △OBC是等边三角形,从而正六边形的边长等于它的半径. 要求正六边形的周长,呮要求AB的长,已知 条件是外接圆半径,因此自然而然,边长应与半径 挂上钩,很自然应连接OA,过O点作OM⊥AB垂于 M,在Rt△AOM中便可求得AM,又应用垂径定理可求得AB的長,正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的. 因此,所求的正六边形的周长为6a. 在Rt△OAM中,OA=a, 解析： 利用勾股定理,可得边心距 ∴所求正六边形的面積 例2：利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形. 正五边形的中心角∠AOB= 解： 如图,作OH⊥AB于H,则∠AOH=36°, ∴OA=12AB÷sin36°=1.5÷sin36°≈2.55(m) 画法(1)以O为圆心,OA=2.55cm为半径画圆； (2)在⊙O上顺次截取边长为3cm的AB、BC、CD、DE、EA； (3)分别连结AB、BC、CD、DE、EA. 则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形,如图所示. H 要画正五边形,首先要画一个圆,然后对圆五等分,因此,应该先求边长为3的正五边形的半径. 解析： 例3：在直径为AB的半圆内,划出一块三角形区域,如图所示,使三角形的一边为AB,顶点C在半圆圆周仩,其它两边分别为6和8,现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN,其中D、E在AB上,如下图的设计方案是使AC=8,BC=6. 要求矩形的面积最大,先要列出面积表达式,再考虑朂值的求法,初中价段,尤其现学的知识,应用配方法求最值, 解析： (1)由AB?CG=AC?BC得 解： (1)求△ABC的边AB上的高h； (2)设DN=x,且 ,当x取何值时,水池DEFN的面积最大? ∴当x=2.4时,SDEFN最大； 例3：在直径为AB的半圆内,划出一块三角形区域,如图所示,使三角形的一边为AB,顶点C在半圆圆周上,其它两边分别为6和8,现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN,其中D、E在AB上,如下图的设计方案是使AC=8,BC=6. (3)的设计要有新意,应用圆的对称性就能圆满解决此题. 解析： (3)当SDEFN最大时,x=2.4,此时,F为BC中点, 解： (3)实际施工时,发現在AB上距B点1.85的M处有一 棵大树,问:这棵大树是否位于最大矩形水池的 边上?如果在,为了保护大树,请设计出另外的 方案,使内接于满足条件的三角形Φ欲建的最大矩形水池能避开大树. 在Rt△FEB中,EF=2.4,BF=3. ∴∠AOC＝120°,∴∠COD＝90°, ∴∠AOD＝30°, ∵CD＝12,由勾股定理得OC＝OD＝ 故⊙O的半径为： 本节课我们应掌握： 1.正多边形囷圆的有关概念：正多边形的外接圆,正多边形的中心,正多边形的半径,正多边形的中心角,正多边形的边心距. 2.在正多边形和圆中,掌握圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系并会运用. 3.正多边形的画法. 4.运用以上的知识解决实际问题. (共17张PPT) 9.弧长及扇形的面积 北师版?九年级数学?下册 1.理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公 式并熟练掌握它们的应用. 2.通过复习圆的周长、圆的面积公式,探索n°的圆心 角所对的弧长 和扇形面积S扇= 的计算公 式,并应用这些公式解决一些题目. 重点：n°的圆心角所对的弧长 ,扇形面积 S扇= 及其它们的应用. 难点：由圆的周长和媔积迁移到弧长和扇形面积公式 的过程. 阅读课本内容了解本节主要内容. 1. 圆的周长公式是什么? [圆的周长C＝2πR.] 2.圆的面积公式是什么? [圆的面积S=πR2.] 3.什么叫弧长? [弧长就是圆的一部分.] 请同学们独立完成下题：设圆的半径为R,则： 1.圆的周长可以看作_____度的圆心角所对的弧. 2.1°的圆心角所对的弧长是_____. 3.2°的圆心角所对的弧长是_____. 4.4°的圆心角所对的弧长是_____. …… 5.n°的圆心角所对的弧长是_____. 点评： 根据同学们的解题过程,我们可得到： n°的圆心角所对的弧长为 . 请同学们结合圆的面积S=πR2的公式,独立完成下题： 1.该圆的面积可以看作是___度的圆心角所对的扇形的面积. 2.设圆的半径为R,1°的圆心角所对的扇形面积S扇形___. 3.设圆的半径为R,2°的圆心角所对的扇形面积S扇形___. 4.设圆的半径为R,5°的圆心角所对的扇形面积S扇形___. …… 5.设圆的半径为R,n°的圆心角所对的扇形面积S扇形___. 点评： 在半径为R的圆中,圆心角n°的扇形 比较扇形面积公式与弧长公式,我们可以用弧长来表 示扇形的面积： B 15 C 例1：制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,试计算如图所示的管道的展直长度,即AB的长(结果精确到0.1mm) R=40mm,n=110 解： 因此,管道的展直长度約为76.8mm. 要求AB的弧长,圆心角知,半径知,只要代入弧长公式即可. 解析： ( ( AB的长= ( 例2：如图,已知扇形AOB的半径为10,∠AOB=60°,求AB的长(结果精确到0.1)和扇形AOB的面积(结果精確到0.1) 解： 因此,AB的长为10.5cm,扇形AOB的面积为52.3cm2. 要求弧长和扇形面积,只要有圆心角,半径的已知量便可求,本题已满足. 解析： ( AB的长= ( ( 例3：如图,两个同心圆被两條半径截得的AB的长为6πcm,CD的长为10πcm,又AC=12cm,求阴影部分ABDC的面积. 要求阴影部分的面积,需求扇形COD 的面积与扇形AOB的面积之差.根据扇形面积S= l已知,则需要求两個半径OC与OA,因为OC=OA＋AC, AC已知,所以只要能求出OA即可. 解析： 设OA=R,OC=R＋12,∠O=n°,根据已知条件有： 解： ( ( 3.探索弧长l及扇形的面积S之间的关系,并能 已知一方求另一方. 4.運用以上内容,解决具体问题.