Z²=12 16i,求求整数加群Z的所有子群模

由于循环群的子群是循环群,并且群的阶的每一个正因子存在唯一的子群

即子群的阶是6的正因子,6的正因子只有1,2,3,6,因此Z6共有4个子群,

它们分别是一阶子群2阶子群,3阶子群6階子群 =Z6(本身)。

子群首先有两个平凡子群即{[0]},{Z6}一个为幺元,另一个为群本身

分别用{Z6}中的每一个元素 加上 下面的集合,即可得:

根據子群的定义条件之一:任意两元素的运算结果仍在子群中,即封闭性

循环群:若—个群G的每—个元都是G的某—个固定元a的乘方,则稱G为循环群记作G=(a),a称为G的—个生成元

代数系统:S是非空集合,f1, f2, f3…是这个集合上的运算如果关于任意一个集合上的元素,经过这些运算后的结果还是在这个集合当中 (封闭性)那么称<S, f1, f2…, fn>为一个代数系统。 例如 <R, +, -, ×, ÷>

零元:给定代数系统<S, ●>如果存在某个元素a在S中且其他任意屬于S的元素x与a(且a与x)进行●运算等于a,则a为●的零元 例如<R, ×>,任何实数与0相乘都为0所以0为×的零元。

幺元:给定代数系统<S, ●>,如果存在某个元素e在S中且其他任意属于S的元素x与e(且e与x)进行●运算等于x本身则e为●的幺元。 例如<R, *>任何实数与1相乘都为它本身,所以1为×的幺元。

逆元:给定代数系统<S, ●>如果存在某个元素x在S中,且另一个元素y也在S中满足x与y(且y与x)进行●运算等于●在S中的单位元e,则x与y互为逆元 例如<R, *>, x(x不为0)与1/x便是互为逆元

半群:给定代数系统<S, ●>, (● 是二元运算), 如果●的运算满足结合律, 则该代数系统为半群。例如<R+, ×>, 对二え运算×满足结合律。

独异点:含有单位元的半群 例如<R, ×>, 对二元运算还有单位元1。

:独异点的集合中所有元素都拥有逆元且逆元在该集合中则称该独异点为群。也就是说一个普通的代数系统要成为群需要满足下面几个条件:
1.代数系统中只有一个二元运算(代数系统具有封闭性)
2.该运算要满足结合律。

求子群时需要注意检验封闭性即任意两个元素的运算之和仍然在子群中。

左陪集:如果存在一个群<H, ●>是群<G, ●>的子群且有一个元素a在G中,则把集合a●H = {a ● h | h在H中}称为由元素a所确定的群<G, ●>中的H的左陪集简记为aH,称a是左陪集aH中的代表元素右陪集同理。

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