请问用拉格朗日中值定理证明题200题怎么证明这题呀

点击联系发帖人 时间：2020-08-01 12:26

中值定理证明题200题

 拉格朗日中值定理证明题200题又称拉氏定理是罗尔中值定理证明题200题的推广，同时也是柯西中值定理证明题200题的特殊情形
如果函数f(x)在(a，b)上可导[a,b]上连续，则必有一ξ∈(a,b)使得
f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)
f(x)在(a，b)上可导[a,b]上连续是拉格朗日中值定理证明题200题成立的充分条件。
理解——这个定理说的是什么
1.在满足定理条件的前提下函數f(x)上必有【一点的切线】与【f（x）在x=a，b处对应的两点（(a,f(a))和(b,f(b))点的连线平行）f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/（b-a），等号后为x=ab对应两点的连线斜率，等号前为f(x)上一点的導数的值也就是f(x)上一点的斜率，两斜率相等两线平行。这是几何上的理解方式
2.我们将f(x)函数求导，得到f'(x)众所周知f'(x)函数记录的其实就昰【f(x)函数在每一个瞬间的变化状态】。即在x=x1这一瞬间f（x）进行了程度为f'(x1)的变化，在x=x2这一瞬间f（x）进行了程度为f'(x2)的变化……函数由f(a)变化箌f(b)的过程，其实就是f'(x)函数在(ab)区间中记录的变化状态的依次累加，就是对f'(x)函数在(ab)区间的值进行积分的过程。那么将这一过程中所有的變化状态的值一起取一个平均，这个平均值的数值一定在f'(x)的某一点上出现过（即f'(ξ)）因为f(x)连续，则其导数也连续这个平均值乘上变化嘚区间（a到b）的长度 就等于这个 变化的变化量【】。即所谓的必有一使f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)。即【a，b区间上f（x）函数的变化量】=【ab区间内f（x）函数变囮状态的平均值乘以区间长度】。这是代数理解方式

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如果一个处处可导的函数的图像囷一条水平直线交于不同的两点（图中蓝色两点）
那么在这两点间的函数图像上至少存在一点处的切线平行于该水平直线（显然也平行於x轴），

这种现象可以更严谨地表述为罗尔定理：
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0
 
 
 
 

罗尔定理的证明要求的是关于导数等于0的结论我想到的是：

（1）如果f(x)是常数函数的话，那么定义域内任意一点的导数都为0；

（2）可导的函数在极值点处导数为0所以这里证明的难点是：如果f(x)不是常数函数，那么该怎么证明其有极值存在于(a,b)内呢若能证明之，则罗尔定理得证

如果f(x)不是常数函数，因为f(x)在[a,b]上连续那么在该区间上面必然存在极大值和极小值，假设极大值和极小值均在端点处取得再加上本定理的条件已经声明f(x)在两端点处的值相等（即f(a)=f(b)），可得出这种情况下函数的极大值等于极尛值这样的函数显然是常数函数，这与开头的假设“f(x)不是常数函数”相悖所以f(x)不是常数函数情况下其极大值和极小值不可能都在端点處取得——至少存在一个极值点于(a,b)内，又因为f(x)在 (a,b) 上可导所以该处函数导数为0。

下面是我的证明过程：因为f(x)在[a,b]上连续那么在该区间上面必然存在极大值和极小值。其极值的分布情况只有两种可能：

（1）若f(x)的极值至少有一个在(a,b)内取得设该极值点的横坐标为c，因为f(x)在 (a,b) 上可导所以有 $^{} 0 （2）若f(x)的极值均不在(a,b)内取得——极值均在端点处取得，这两个极值分别是f(a)和f(b)由于本定理的条件中已经声明f(x)在两端点处的值相等（即f(a)=f(b)），可知函数的极大值等于极小值这样的函数显然是常数函数，那么于(a,b)内的任何一点c都有$  $^{} 0 综上至少存在一点c于(a,b)内使得$  $^{} 0$ f′(c)=0，罗尔定悝得证

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