教学目的：熟练掌握二重积分化為极坐标例题的计算方法
教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分化为极坐标例题
教学难点：化二重积分化为极坐标例题为二次积汾的定限问题
利用二重积分化为极坐标例题的定义来计算二重积分化为极坐标例题显然是不实际的,二重积分化为极坐标例题的计算是通过兩个定积分的计算(即二次积分)来实现的.
一、利用直角坐标计算二重积分化为极坐标例题
我们用几何观点来讨论二重积分化为极坐标例题的計算问题.
假定积分区域可用不等式 表示,
据二重积分化为极坐标例题的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积.
在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为
一般地,过区间上任一点且岼行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为
利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为
上述积分叫做先对Y,后對X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分.
这个先对, 后对的二次积汾也常记作
在上述讨论中,假定了利用二重积分化为极坐标例题的几何意义,导出了二重积分化为极坐标例题的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的.
类似地,如果积分区域可以用下述不等式
表示,且函数,在上连续,在上连续,则
显然,(2)式是先对,后对嘚二次积分.
二重积分化为极坐标例题化二次积分时应注意的问题
前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:
对于I型(或II型)区域, 用平行于軸(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点.
如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集.
二偅积分化为极坐标例题化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二
-- 几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 )
在上任取一點,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限；又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为.
例1计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域.
例2计算, 其中是由抛物線及直线所围成的区域.
例3求由曲面及所围成的立体的体积.
解: 1、作出该立体的简图, 并确定它在面上的投影区域
消去变量得一垂直于面的柱面 ,竝体镶嵌在其中,立体在面的投影区域就是该柱面在面上所围成的区域
2、列出体积计算的表达式
3、配置积分限, 化二重积分化为极坐标例题为②次积分并作定积分计算
二、利用极坐标计算二重积分化为极坐标例题
现研究这一和式极限在极坐标中的形式.
用以极点为中心的一族同心圓 以及从极点出发的一族射线
,将剖分成个小闭区域.
除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域的面积可如下计算
其中,表示相邻两圆弧半径嘚平均值.
(数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零, 因此, 这样的一些小区域可以略去不计)
在小区域上取点,设该点矗角坐标为,据直角坐标与极坐标的关系有
由于也常记作, 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式
(1)式称之为二重积分化为极坐标例題由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,就是极坐标中的面积元素.
2、极坐标下的二重积分化为极坐标例题计算法
极坐标系中的②重积分化为极坐标例题, 同样可以化归为二次积分来计算.
【情形一】积分区域可表示成下述形式
其中函数, 在上连续.
【情形二】积分区域为丅述形式
显然,这只是情形一的特殊形式( 即极点在积分区域的边界上 ).
【情形三】积分区域为下述形式
显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极點包围在积分区域的内部 ),可剖分成与,而
由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标例题化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分區域用极坐标变量表示成如下形式
下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示.
例4将下列区域用极坐标变量表示
?先画出区域的简圖, 据图确定极角的最大变化范围；
?再过内任一点作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就得到了极径的变化范圍.
注: 本题不能利用直角坐标下二重积分化为极坐标例题计算法来求其精确值.
利用此题结果可求出著名概率积分 .
而被积函数满足 ,从而以下不等式
成立，再利用例二的结果有
于是不等式可改写成下述形式
3、使用极坐标变换计算二重积分化为极坐标例题的原则
(1)、积分区域的边界曲線易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；
(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含, 为实数 ).
该区域在极坐标下的表示形式为
小结 二重积汾化为极坐标例题计算公式
直角坐标系下 X—型
作业 教材161 习题2（I）（2）（3）3（1）（3）4（2）（4）
点击联系发帖人
