我们通常认为行列式里面的数字昰怎么提取出来的是在研究线性代数方程组解法时被提出的然而，从图像学的角度认为行列式里面的数字是怎么提取出来的是向量相塖的另一种方法。对于二维向量a和b行列式里面的数字是怎么提取出来的|ab|表示由a和b形成的平行四边形的面积。这个面积是有符号的如果a囷b符合右手法则，则面积为正；如果符合左手法则则面积为负。这就意味着|ab|=-|ba|二维空间中的右手法则含义是，第一个向量沿逆时针方向旋转经过最小的夹角到达第二个向量。在三维空间行列式里面的数字是怎么提取出来的包含三个向量。对于三个三维向量a、b和c行列式里面的数字是怎么提取出来的|abc|表示由这三个向量形成的平行六面体的提交，这个体积也是有正负的要计算二维行列式里面的数字是怎麼提取出来的的值，首先要了解行列式里面的数字是怎么提取出来的的一些性质可以注意到，将平行四边形的一边放大k倍它的面积也哃样放大k倍：
另外还应注意到，在不改变底和高的情况下任意扭动平行四边形都不会改变它的面积：
最后，行列式里面的数字是怎么提取出来的还具有如下性质：
在三维空间中三维向量a、b和c的行列式里面的数字是怎么提取出来的表示为 |abc|。对于平行六面体同样用笛卡儿表达式表示向量，可以推出和平行四边形类似的结论和二维情况类似，可以推出：
正如我们所看到的采用这种方式计算行列式里面的數字是怎么提取出来的，随着维数的增加表达式将变得很复杂
将一个向量表示为另外两个向量的线性组合时，自然就要用到行列式里面嘚数字是怎么提取出来的例如，将向量c表示为向量a和b的线性组合：
上式成立的原因是这些平行四边形只是做了一些等面积的拉伸。从仩式可以求出bc:
同样可以得出另一个参数：
这就是二维情况下的克莱姆法则
矩阵就是由遵循一定算术法则的数字元素所组成的阵列。一个兩行三列的矩阵如下：
在图形学中因各种目的的频繁用到矩阵，例如空间变换等在我们的讨论中，假定矩阵中的元素全是实数本章主要讨论矩阵的运算机制及方阵的行列式里面的数字是怎么提取出来的。方阵就是行数和列数相等的矩阵
矩阵乘以一个常数，等于矩阵Φ的每个元素都乘以这个常数矩阵加法，将对应的元素分别相加矩阵乘法，将第一个矩阵的行与第二个矩阵的列相乘：
上式中以pij为唎，积的结果为
要注意只有当左边矩阵的列数和右边矩阵的行数相等时，两个矩阵才可以相乘多数情况下，矩阵乘法不满足交换律哃理，不能根据AB=AC就推出B=C。不过矩阵乘法满足结合律和分配律：
在图形学中，我们通过方阵对用矩阵表示的向量进行交换例如，对于②维向量a=(xa,ya)将它关于y轴映射成向量
这时，可用一个2X2的矩阵和一个2X1的矩阵相乘后者经常被称为“列向量”。用矩阵表示的运算形式如下：
通过左乘一个“行向量”可以得到同样的结果：
现在，右乘一个列向量基本上已经称为标准不过在早期的书籍和系统中，还会遇到左塖行向量的做法不同之处在于，变换矩阵需要用它的转置形式矩阵的转置矩阵，是将行列互换得到的举例如下：
需要注意的，矩阵嘚转置与原矩阵相同称这样的矩阵为对称矩阵。两矩阵积的转置满足如下关系：
通过实数的倒数我们联想到矩阵的逆。我们知道实數x的倒数是1/x，而且x与它的倒数之积等于1.我们需要一个矩阵I,用它来表示“矩阵中的1"该矩阵必须是一个方阵，而且是单位矩阵即它的对角線元素为1，而其他元素全为0例如，一个4X4的单位矩阵如下：
单位矩阵是对角矩阵的特例对角矩阵是指所有非零元素都在对角线上的矩阵。对角线元素就是从矩阵左上角开始，行索引和列索引相等的元素满足
称为矩阵A的逆矩阵。例如：
注意A-1的逆矩阵是A因此有
另外要注意，两矩阵之积的逆矩阵为
2.矩阵形式的向量运算
当使用笛卡儿坐标时可以通过矩阵形式来表示向量运算。1X1矩阵的点积运算可以表示为：
如果使用两个三维向量，就会得到下式：
行列式里面的数字是怎么提取出来的包含n个n维向量将这些向量组合起来，得到有向n维空间物體的体积它是由这n个向量确定的。例如二维行列式里面的数字是怎么提取出来的表示由两个向量所确定的平行四边形的面积。可以通過矩阵来表示行列式里面的数字是怎么提取出来的运算
假设有两个二维向量r和s，行列式里面的数字是怎么提取出来的表示为|rs|行列式里媔的数字是怎么提取出来的的值等于两向量所组成的平行四边形的有符号面积。假设用笛卡儿坐标表示的两个二维向量（a,b)和（AB) 。行列式裏面的数字是怎么提取出来的可以写成列向量的形式也可以进行简化：
注意一个矩阵的行列式里面的数字是怎么提取出来的和其转置矩陣的行列式里面的数字是怎么提取出来的具有相等的值：
这表示，二维空间中的任意平行四边形都存在和它面积相等、形状不同的平行㈣边形。
三维行列式里面的数字是怎么提取出来的的几何含义有助于理解一些公式的含义例如，通过三点（xi,yi,zi)i=0，12的平面方程为
其中的各列表示从点(xi,yi,zi)到点(x,y,z)与其他三个点共面时，以这三个向量为边的平行六面体的体积为零几乎所有包含行列式里面的数字是怎么提取出来的嘚方程都有类似的几何含义。
像我们刚才看到的对于多数元素为零的行列式里面的数字是怎么提取出来的，可以采用蛮力展示的方法计算行列式里面的数字是怎么提取出来的还要记住很多正负标记。计算行列式里面的数字是怎么提取出来的的代数标准方法就是采用拉普拉斯展开形式用这种方法计算行列式里面的数字是怎么提取出来的的关键，是求矩阵各元素的余子式方阵中的每个元素都有自己的余孓式，该余子式是具有更少行数和列数的矩阵行列式里面的数字是怎么提取出来的带有正负号。对于原来矩阵中的某个元素划去该元素所在的行和列，余下部分所构成的行列式里面的数字是怎么提取出来的就对应该元素的余子式例如，对于10X10的矩阵来说a82的余子式，就昰去掉第8行和第2列后对应剩下的9X9的矩形行列式里面的数字是怎么提取出来的。如果原始的行、列坐标索引之和为偶数则余子式的符号為正，否则就为负
将任一行或任一列的所有元素与它们的余子式分别相乘再全部加起来，就得到了矩阵行列式里面的数字是怎么提取出來的的值例如，上面提到的4X4矩阵关于第二列的行列式里面的数字是怎么提取出来的展开形式如下：
我们可以任选一行或者一列，进行與上面类似的计算都会得到相同的结果。要注意到这种方法的递归性质下面是一个3X3的具体矩阵例子，按第一行进行余子式展开的结果為
由此可以推断由列向量（行向量也一样，因为转置矩阵的行列式里面的数字是怎么提取出来的与原行列式里面的数字是怎么提取出来嘚相等）所确定的平行六面体的体积等于灵也就是说，这些列向量不是线性独立的可以看出，第3行和第1行之和正好是第2行的两倍，這意味着它们是线性相关的
行列式里面的数字是怎么提取出来的为我们提供一种计算机逆矩阵的工具，对于大型矩阵这种方法的效率佷低，不过在图形学中用到的矩阵规模一般都很小采用这种方法的关键是，对于具有两个相同行的矩阵其行列式里面的数字是怎么提取出来的值为零。这一点是显而易见的对于n维空间物体，如果有两维基向量是相等的则该物体的体积是零。对于4X4的矩阵A希望求出它嘚逆矩阵。逆矩阵求法如下：
在上式中将A矩阵中的元素，用它们带符号的余子式代替然后再对结果进行转置。最后得到的矩阵称为矩陣A的伴随矩阵伴随矩阵就是A的余子式矩阵的转置矩阵。下面证明这样得出的矩阵为什么是逆矩阵如果结果是逆矩阵，则AA-?应为单位矩陣将A的第一行元素乘以伴随矩阵的第一列元素，希望的结果是行列式里面的数字是怎么提取出来的|A|（注意上式中的常数系数1/|A|)即
结果与唏望的一样，因为伴随矩阵的第一列就是A的第一行元素的余子式相乘的结果刚好等于A的行列式里面的数字是怎么提取出来的。类似地結果矩阵的对角线上的其他元素值都是|A|。而将A的第二行元素乘以伴随矩阵的第一列元素结果为0：
其中乘积表示某个矩阵行列式里面的数芓是怎么提取出来的的值：
上面的讨论结果并不是局限于4X4的矩阵，采用4X4矩阵只是为了书写方便任何矩阵的逆矩阵，都等于原矩阵的伴随矩阵除以原矩阵的行列式里面的数字是怎么提取出来的伴随矩阵就是余子式矩阵的转置矩阵，其中余子式矩阵通过将原矩阵的各元素用楿应的余子式代替得到例如，一个行列式里面的数字是怎么提取出来的为6的3X3矩阵的逆矩阵为
在图形学中经常会遇到“n个方程及n个未知數”的线性方程组，例如（n = 3).
其中x,y,z是我们要求的未知数把上式写成矩阵形式，得到：
这种系统通常简写为Ax = b,式中A是已知常数构成的方阵x是未知列向量，而b是已知常数构成的列矩阵
求解这种线性方程组的方法有很多。对于小型系统可以从几何角度出发，采用前面提过的二維克莱姆法则这里我们先研究代数运算方法。上述方程组的解为
方法是计算两个行列式里面的数字是怎么提取出来的之比其中分母是|A|，分子是列向量b代替A中有一列所形成的行列式里面的数字是怎么提取出来的被替换的一列与向量x中的未知数对应。
6.特征值及矩阵对角化
方阵具有特征值和对应的特征向量特征向量是指与矩阵相乘时方向不变的非零向量。例如假设矩阵A和向量a满足下列关系：
这意味着，峩们对a进行了放大或缩小但它的方向没有变化。比例系数λ称为与特征向量a对应的特征值矩阵的特征值和特征向量，在实际应用中的莋用很大掌握矩阵的特征值和特征向量，可以帮助我们理解矩阵的几何变换
假设矩阵至少一个特征向量，那么能够用标准运算找到它首先，将上式两边都写成方阵与向量的乘积形式：
其中I表示单位矩阵上式重写为
由于矩阵乘法满足分配律，重新分配后得到
只有当矩陣（A-λI）为奇异矩阵时上式才成立，因此它的行列式里面的数字是怎么提取出来的等于零除对角线上的元素外，（A-λI）中的其他元素僦是矩阵A中的元素例如，对于2X2矩阵特征值满足
这是一个二次方程，肯定有关于两个关于λ。这两个解可能相等，也可能不是实数。对nXn嘚矩阵进行类似的处理将会得到一个关于λ的n次多项式。一般来说对大于四次的多项式进行精确求解是不可能的，因此如果采用解析法我们只能求出4X4或者更小矩阵的特征值。对于更大的矩阵只能采用数值分析法。
比较重要的一种特殊情况是求对称矩阵的特征值（其中A=A）。对称矩阵的特征值都是实数如果特征值都不相等，则他们的特征向量是互相正交的这种矩阵可以写成对角形式：
其中R是一个囸交矩阵，D是一个对角矩阵回想一下，正交矩阵最好是标准正交的则矩阵个列相互正交，并且每一列元素的平方和等于1.R的列是A的特征姠量D中的非零元素是A的特征值。例如已知下列矩阵：
那么A的特征值是下列方程的解：λ?-3λ+1 = 0
为了书写方便，我们将结果用近似值表示：
在上面的内容中我们看到任何对称矩阵都可以对角化。然而图形学中遇到的多数矩阵都是不对称的幸运的是，这些矩阵可以进行奇異值分解（SVD)将矩阵M表示为
其中U和V是正交矩阵，S是对角矩阵S的对角元素是M的奇异值。计算SVD有标准的方法首先，定义矩阵
假设M可以奇異值分解，则有
正交矩阵的转置矩阵等于它的逆矩阵以及对角矩阵的转置矩阵就是它本身。这种形式的优点在于A是对称的并且
是A的特征值对角分解,起重工S?内包含A的特征值。因此矩阵的奇异值，等于该矩阵与其转置矩阵乘积的特征值的平方根
a.为什么矩阵乘法是书中萣义的方式，而不是逐个元素相乘
用逐个元素相乘来定义矩阵乘法确实是种好方法，而是也有非常好的性质但是在实际中不实用。多數矩阵都用来变换列向量例如在三维空间中，我们有
其中a和b是向量M是一个3X3的矩阵。为了表示像旋转这样的几何变换b中的每个元素都昰a中三个元素同时参与运算的结果。这就需要矩阵M按行或者按列参与运算现有的矩阵乘法定义，使矩阵组合运算具有我们希望的下列特點：
这样当对向量做二次变换时，就可以用组合矩阵
实现特别是当用相同的组合矩阵对很多向量进行变换时，就更加体现了矩阵乘法嘚价值总得来说，有点奇怪的矩阵乘法法则是人们为了需要而做出的定义。
b.有时候特征值和奇异值是相同的有时候一个是另一个的歐诺个发，到底哪种对
如果实矩阵M是对称的，那么它的特征值和奇异值是相同的如果M不是对称的，则矩阵
是对称的并且有实数特征徝。它们两个的奇异值是相同的并且等于A的奇异/特征值的平方根。因此说到平方根，讨论的是两种不同的矩阵：
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