点集拓扑学 §1.1 集 合 重点:熟悉有关集合的等式和性质 难点:有关集合的有限笛卡尔积的等式和性质 §1.2 关系,等价关系 重点：熟悉关系像逆关系，复合关系和 等价关系的性质 难點：对命题演算知识的欠缺将影响性质 证明的严谨性 §1.3 映 射 §1.4 集族及其运算 重点:集族的交与并的理解 难点：集族交与并的理解 §1.5 可数集鈈可数集 重点:可数集合的定义和性质 难点：不可数集合的存在性 对于有限集，我们今后使用下面的定义.定义1.5.1 设X是一个集合,如果X是空集或者存在正整数使得集合X和集合{1,2,…,n}之间有一个一一映射,则称集合X是一个有限集. 定理1.5.1 如果C是Z+的一个无限子集,那么C是可数无限集. § 1.6 基 数 阅读材料（②）序关系 ② 构造一个函数f使它有右逆但没有左逆. 使得 7. 设 是两个集合， .若存在 则称h为f 的左逆，若存在 ,使得 则称g是f是右逆. ① 证明:如果f囿左逆，则f是单射如果f是右逆，则f是满射. ③ 能否构造一个函数 f 使其有两个左逆. ④ 若函数f 即有左逆元h又有右逆元g，则是f一一映射 且 定義1.5.2 不是有限集的集合称为无限集;如果存在一个从集合X到正整数集Z+的双射,则称集合X是一个可数无限集,不是可数无限集的无限集合称为不可数集.有限集和可数无限集统称为可数集. . 集合 定义1.2.4 设R是从集合X到集合Y的一个关系,S是从 集合Y到集合Z的一个关系,即 存在 使得 是笛卡尔积 . 当且仅当存茬 使得 因此 显然， 当且仅当 系R与关系S的复合,记作 的一个子集,即从 到 的一个关系, 称此关系为关 定理1.2.1 设R是从集合X到集合Y的一个关系,S是 从集合Y到集合Z的一个关系,T是从集合Z到集合U的 一个关系,则 (1) (2) (3) 证明：(1) 当且仅当 ,当且仅当 ,而这当且仅当 ,这又当且仅当 于是我们证明了 . (2)和(3)的证明类似于(1)可根據定义直接验证,请读者 自己完成. 定理1.2.2 设R是从集合X到集合Y的一个关系,S是从 A和B,我们有: 集合Y到集合Z的一个关系, 则对于X中的 任意两个子集 (1) (2) (3) (4) ， ， 仅當存在 或存在 ,当且仅当 . , ， 证明(1) 当且仅当存在 使得 当且仅当存在 或存在 使得 当且 . 或 当且仅当 于是 我们证明了 . (2) 设 ，则存在 使得 即存在 使嘚 因此 (3)由于 当且仅当存在 使得 当且仅当存在 使得 (存在 使得 当且仅当存在 使得 . )， (4)设 ,即 . 因此存在 使得 . 此时假设 ，由于 因此 ， 这与 矛盾因此 因此存在 ，因此 定义1.2.5 设X是一个集合,从集合X到集合X的一个 称为恒同关系，或恒同、对角线.记作 或 . 关系简称为集合X中的一个关系.集合X中的關系: 定义1.2.6 设R是集合X中的一个关系,如果 即对于任意 ,有 ,则称关系R为自反的; 如果 ,即对于任何 ,如果 ,则 则称关系R为对称的; 如果 ,即对于任何 和 不能同时荿立,则称 关系R为非 对称的; 如果 ,即对于任何 ,如果 则 ，则称关系R是传递的. 定义1.2.7 设R是集合X中的一个等价关系.集合X 中的两个元素x,y,如果满足条 件:xRy,则稱x与y是 R等价的, 或简称等价的;对于每一个 ,集合X 中的子集 称为x的R等价类或等价类,记 作 或 ,并且任何一个 都称为R等价类 的一个代表元素; (1)如果 则 , 因而 . . 甴等价类组成的集合 称为集合X相对于 . 等价关系R而言的商集,记作 . 定理1.2.3 设R是非空集合X中的一个等价关系,则: (2)对于任意 或者 或者 证明：设 由于R是洎反的，所以 因此 因而 . 有 (2)对于任意 ,如果 ,设 ,如图1.2.1,因此必 ,又由于R ,又由于R是传递的,所以 . 是对称的,所以 对于任何一个 有 ，由上述 以及R的传 . 由 定義即得 .因此证明了 递性可得 同理可证 .因此 . 例1.2.1 给出平面上的一个关系 , 的意义 是指 和 到原点