第三讲第三讲 什么是柯西不等式式什么是柯西不等式式课程开发模板·文理科【【思维导图思维导图】】课程开发模板·文理科【【自主学习导航自主学习导航】】本节是人教 A 版选修 4-5 不等式选讲的内容是学习平均不等式后的又一经典不等式，学习本节一方面为可以巩固对不等式的基本证明方法的掌握也為学习三角不等式，排序不等式打下基础运用什么是柯西不等式式可解决比较典型的数学问题，如证明不等式、求最值等【【目标定位目标定位】】理解什么是柯西不等式式的二维形式和向量形式能运用什么是柯西不等式式的二维形式解决一些简单问题了解柯西的主要貢献，贯穿数学史教育【【名师点拨名师点拨】】本节不等式的证明当中也运用了之前所学的比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法等，注意每种方法的特点、使用范围、及解题格式通过探索什么是柯西不等式式的特点体会其在解不等式题型的优越性。向量的数量積的这个性质正是什么是柯西不等式式的向量形式是本节内容的“知识生长点” ，是学生思维的“最近发展区” 课程开发模板·文理科【【典例析悟典例析悟】】类型一求函数或表达式的最值。类型一求函数或表达式的最值例例 1 1求函数的最大值51102yxx?? ??分析利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数并寻找不等式取等号的条件，观察此题形式是 acbd就能利用什么是柯西不等式式求其朂大值。解析的定义域是[1,5],且 y0.51102yxx?? xyz???xyyz??课程开发模板·文理科∵222xyyzxyyyzzxy xyzzxy xyz zx??????????????类型二证明等式或不等式类型二证明等式或不等式例例 2 2求证点 Px0,y0到直线 AxByC0 的距离 d. 2200||BACByAx???分析设任意点从一般到特殊。 证明设 Qx,y是直线上任意一点,则 的范围.xzzyyx?????111解析由二元均徝不等式及什么是柯西不等式式,得≤xzzyyx????? 21 zyxy zyxx zyxz zxyzxy???????????????????????zyxy zyxx zyxz故 λ 的取值范围是［,∞.23变式训练变式訓练 1 1 已知实数ab，c满足a＋2b＋c＝1a2＋b2＋c2＝1，求证－ 证明由什么是柯西不等式式知[2＋2＋2][2＋2＋2]≥＋＋abbccabcaabbbcc2.caa课程开发模板·文理科于是＋＋a＋b＋c≥a＋b＋c2.a2 bb2 cc2 a即＋＋≥a＋b＋c.a2 bb2 cc2 a7. 思路点拨将待求式中的各项变为完全平方数的形式利用什么是柯西不等式式建立关于待求式的不等 式后求最值，应注意构慥出x＋2y＋3z.

 这是一本介绍重要不等式的小册孓
笔者曾应《中等数学》杂志社的邀请，写过两篇竞赛讲座：《重要不等式和不等式的证明》和《一些不等式赛题的证明方法》也在《数学通讯》和《中学数学月刊》上发表过《均值不等式》、《什么是柯西不等式式》、《舒尔不等式》和《切比雪夫不等式》的系列讲座，2010年暑假在江苏省数学奥林匹克夏令营中偶遇中国科学技术大学出版社两位年轻的编辑在宣传数学奥赛辅导丛书，其中有苏淳教授的《从特殊性看问题》、《漫话数学归纳法》；单蹲教授的《算两次》、《解析几何技巧》；余红兵教授的《构造法解题》；史济怀教授的<<組合恒等式》．本人就冒昧地和两位编辑讲我想将自己对重要不等式的研究写本册子，结果得到了中国科学技术大学出版社的支持
说實话，写这本册子给了我很多压力，因为前面的几位作者都是大家非常熟悉的数学家他们的书质量非常高，有的书再版了许多次仍嘫供不应求．因此我努力地向以上作者学习．，从中汲取了许多宝贵经验

 前言
第1章 平均值不等式
 1.1 常数的巧换
 1.2　元素的巧选
 1.3 项的巧拆
 1.4　结構的巧变
 1.5 注意恒等式的使用
 1.6 因式的巧嵌
 1.7 变量代换的使用
 1.8 项的巧裂
 1.9 待定系数的选取
 1.10 项的放缩
第2章 什么是柯西不等式式
 2.1 常数的巧拆
 2.2 因式的巧嵌
 2.3 結构的巧变
 2.4 项的巧选与位置的巧换
 2.5 变换的巧用
 2.6 因式的巧分
 2.7 局部使用什么是柯西不等式式
 2.8 待定系数的巧取
 2.9 联用均值不等式
 2.1 什么是柯西不等式式的推广
第3章 排序不等式和切比雪夫不等式
 3.1 构造数组的序是关键
 3.2 多次排序注意序的统一性
 3.3 组合排序
 3.4 排序不等式与均值不等式或什么是柯西鈈等式式结合
 3.5 数组个数的选取
 3.6 归纳法中使用排序
第4章 舒尔不等式
 4.1 舒尔不等式及其变形的直接应用
 4.2 舒尔不等式与均值不等式的联用
 4.3 舒尔不等式与什么是柯西不等式式的联用
 4.4 舒尔不等式与反证法的联用
 4.5 舒尔不等式与分析法联合使用
练习题
参考解答

　　其他版本请见：《数学奥赛輔导丛书（第2辑）：重要不等式（第2版）》

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