若正项级数∑(n从1到∞)an收敛证明∑(n从1到∞)an^2也收敛，但反之则不然举例证明

整个微积分的根本目的就是构造研究函数的方法我们已经知道如何利用极限，求导微分这些基本的微积分方法，来直接研究一个函数这里我们要讨论的是运用完全鈈同的一种思想方法，来研究函数的行为这就是逼近的方法。

我们在进行函数的数值计算时已经接触过逼近的思想方法，但纯粹数值逼近得到的只是数值结果，对于我们要求了解函数的解析性质并没有直接的帮助我们希望用解析的形式来逼近函数，一般就是利用比較简单的函数形式逼近比较复杂的函数，最为简单的逼近途径就是通过加法即通过加法运算来决定逼近的程度，或者说控制逼近的过程这就是无穷级数的思想出发点。

形式地看无穷级数就是用自然数编号的无穷多项的和式，每一项都是一个确定的解析式也就是说烸一项所在的项数唯一地决定了它的表达式形式，当然也可以是一个确定的数值这就是常数项级数。

一般我们能够用一个统一的表达式即所谓通项来表述无穷级数的每一项只要给出项数，就能根据通项唯一地确定这一项的表达形式

对于任意构造的无穷级数，我们肯定能够给出加法运算结果的只能是有限的和式，这就是部分和部分和总是我们在考察整个无穷级数之前用以探测级数性质的对象。而我們考察一个无穷级数的另一个角度就是考虑由一个无穷级数的所以部分和所组成的数列，或者是函数列

最终，我们的目的是希望级数逼近某个确定的函数或者说是以某个函数作为极限，因此对于给出的无穷级数，最为关键的问题就是它是否收敛然后就是收敛函数嘚性质，这就是我们研究无穷级数的中心课题

无穷级数的收敛与发散性质。

首先我们只是考虑级数的敛散性的问题也就是存在性问题，而不是如何求极限的问题关于无穷级数的敛散性，有如下的基本性质：

1．任意改变一个级数的任意有限项的值都不影响这个级数的斂散性。

原因很显然只要对一个级数所作的改变是有限的，就不能使得这个级数由趋向于无穷而变得趋向于有限，也不能使得这个级數由趋向于有限而变得趋向于无穷或者是由根本不存在任何极限，而变得出现极限

2．如果任意有限个无穷级数都是收敛的，那么它们任意的线性组合也必定是收敛的

注意对于都是发散的级数，则不存在类似的结论

3．在一个收敛级数的各个项之间任意地填加括号，得箌一个新的级数收敛于同样的和。

这可以看成是加法的结合律的一个推广

4．级数收敛的一个必要条件是它的通项以0为极限。

正项级数忣其敛散性判别法

如果一个无穷级数的每一项都大于或等于0，则这个级数就是所谓的正项级数

正项级数的主要特征就是如果考虑级数嘚部分和数列，就得到了一个单调上升数列而对于单调上升数列是很容易判断其敛散性的：

正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界。

有界性可以通过许多途径来进行判断由此我们可以得到一系列的敛散性判别法。

（1）一个正项级数如果从某个有限的项以后，所有嘚项都小于或等于一个已知收敛的级数的相应项那么这个正项级数也肯定收敛。

（2）而如果用来作比较的级数已知是发散的话在同样條件之下，这个正项级数同样也是发散的

如果说逐项的比较还有些麻烦的话，可以采用如下的极限形式：

即它们的通项的比趋向于一个非0的有限值那么这两个级数具有相同的敛散性。

对于正项级数如果存在一个单调下降连续函数f（x）有f（n）=u_n，那么级数与广义积分具有楿同的敛散性

设正项级数从一个确定的项以后，每一项都严格大于0并且如果有

那么这个级数收敛，反之如果从一个确定的项以后，烸一项都严格大于0并且有

同样这种比较也可以采用极限形式：

设正项级数从一个确定的项以后，每一项都严格大于0并且如果有

那么当C夶于1，则级数发散当C小于1，则级数收敛如果等于1，则本判别法无法进行判断

对于正项级数，如果从某一个确定的项开始都有

则级數收敛，反之如果从一个确定的项以后，每一项都满足

同样这种比较也可以采用极限形式：

那么当C大于1则级数发散，当C小于1则级数收敛，如果等于1则本判别法无法进行判断。

实际上针对正项级数的敛散性判别法的有效范围还可以扩大也就是说，还可以用于判断更哆的级数是收敛的这是通过引入绝对收敛的概念而得到的。

如果我们把一个任意项的级数的每一项都取绝对值那么就得到了一个正项級数，如果这个正项级数是收敛的那么这个任意项级数就被称为是绝对收敛的。给出绝对收敛这么一类任意项级数的好处就在于

一个任意项级数如果是绝对收敛的，那么也就一定是收敛的

绝对收敛级数不仅具有可以应用针对正项级数的敛散性的判别法的特性，还具有洳下的性质：

（1）如果把任意项级数的所有正项都保持不变而所有负项都更换为0，那么就得到一个正项级数；如果把它的所有负项都改變符号而正项都更换为0，则得到另一个正项级数然后就得到一个任意项级数的绝对收敛的充要条件，为正项级数与都收敛

从这个性質能够得到一个推论，即

如果任意项级数绝对收敛就有

作为加法交换律的一个推广，对于正项级数如果任意改变它的各项的相加顺序，不会改变它的敛散性同样，对于绝对收敛级数也有这样的性质即

（2）对绝对收敛的任意项级数，任意改变它的各项的相加顺序不會改变它的敛散性，并且是收敛于同样的极限

不只是对于加法的交换律，对于绝对收敛级数的乘积也有性质：

（3）如果两个任意项级数嘟绝对收敛那么它们的各项的乘积，按照任意方法排列而得到的级数同样绝对收敛并且和为两个任意项级数的和的乘积。

考虑一种特別的级数形式即相邻两项的符号相反，称为交错级数交错级数具有一个简单的性质：

如果{}为一个单调递减数列，并且以0为极限那么通过改变这个数列相邻两项的符号而构造的两个交错级数都收敛。

这种级数称为莱布尼兹级数

我们知道一个任意项级数，如果由它的各項的绝对值所得到的级数收敛则原来的级数也收敛，如果发散则原来的级数不一定也发散，如果反而是收敛则称这种级数为条件收斂的。实际上条件收敛的级数，可以通过变换级数各项的顺序而使得这个级数收敛于任意实数包括无穷大。

幂级数以及幂级数的收斂半径和收敛区间。

级数的每一项也可以是函数这种级数称为函数项级数。

这里我们讨论一种特定的函数项级数即由如下形式的幂函數组成的级数，称为幂级数：

幂级数的敛散性具有很好的特征即所谓阿贝尔定理：

如果幂级数在点x=k处收敛，那么它在区间内的每一点处嘟绝对收敛；反之如果幂级数在点x=k处发散，那么对于不属于的所有x都发散

显然，上面的定理使得幂函数的收敛域只能是一个开区间稱为幂级数的收敛区间。收敛区间的长度的一半称为收敛半径.

应用对于正项级数的比值判别法和根值判别法的极限形式可以求出幂级数嘚收敛半径。

设对于幂级数的系数有

其中K为有限数值或者是无穷大。

类似地也可以根据根值判别法的极限形式，得到相同的结论

求絀幂级数的收敛半径以后，即可得到相应的收敛区间和收敛区域

幂级数的微分，积分连续性。

我们知道对于一个幂级数如果它的收斂半径大于0，那么在它的收敛区域内就得到了一个确定的以这个收敛区域为定义域的函数，为这个幂级数的和函数自然，对于这个和函数也应该能够应用微积分的方法加以研究

首先是对和函数的求导：

如果幂级数的收敛半径r大于0，则它的和函数S（x）在（-rr）上必定可微，并且导函数为

注意在上面的定理当中和函数的可微区间是开区间，因为即使和函数在这个区间的端点可能有定义这个定理也不能保证和函数在端点处具有可微性。

如果幂级数的收敛半径r大于0则它的和函数S（x）在其定义域上连续。

注意对于连续性，定理强调的是茬它的定义域上也就是包括有定义的端点。

连续性也就意味着可以对幂级数逐项求极限

此外，幂级数还可以逐项求积分：

如果幂级数嘚收敛半径r大于0则它的和函数S（x）在其定义域上的任意一点x处都有

幂函数应该说是最为简单的初等函数，我们研究幂级数的最终目的僦是希望运用幂级数这种无穷和式的形式来逼近比幂函数更为复杂的函数。反过来的问题就是给定了一个函数，如何找到一个幂级数来逼近它这就是幂级数展开的问题。

前面在微分的应用当中我们实际上已经接触了幂级数展开的问题，就是泰勒公式不过我们并没有仔细讨论。

现在根据级数理论的有关概念可以知道所谓函数f（x）在a点可以用幂级数展开，即

这个表达式能够成立就是对于收敛区间（-r，r）内的x余项趋向于0。否则幂级数就是发散的或者是它的极限和函数不是f（x）。

    一般是实际应用当中我们常常取基点a为0，这样取a为0所得到的泰勒展开式也称为马克劳林级数

下面列出基本的泰勒展开式。

（2）sinx的展开式

（3）二项式的展开式。

从这三种最为基本的函数展开式结合几何级数的求和公式，可以得到很多的函数的泰勒级数展开式

我们既然可以应用幂级数这样的展开式来逼近函数，有可能嘚话也可以反过来把一个数项级数理解为一个幂级数展开式，这样求数项级数的和就可以转化为求幂级数展开式所对应的一个函数在某点的函数值。

另外幂级数不仅只是应用于解析逼近，还可以应用于数值近似计算

三角级数以及三角函数系的正交性。

完全由三角函數系（k=0，12，…）组成的无穷级数

就是三角级数如果这个级数对任意x都收敛，那么得到一个确定的和函数f（x）为

把上面的等式两边同時乘cosnx或者sinnx并且在上积分，就得到如下的可以确定级数系数的公式：

（k=0，12，…）

这样，对于一个函数f（x）运用上面的公式，就可鉯构造相应的三角级数的展开式这种三角级数就是所谓的傅立叶级数。

之所以要把函数展开为傅立叶级数是因为三角函数系具有非常特别的性质，就是所谓的正交性

我们说两个函数在某个区间上是正交的，就是这两个函数的乘积在这个区间上的积分为0而三角函数系裏的任意两个函数在某个区间上正好都是正交的。

对于三角函数系正交区间为；

对于三角函数系，正交区间为[-ll]。

周期2函数的傅立叶级數

从傅立叶级数的构成可以看出，和函数必定也是以2为周期的周期函数因此我们就可以对任意以2为周期的函数，考虑把它表达为傅立葉级数的形式

按照上面的系数公式，可以写出一个以2为周期的函数的傅立叶级数形式但是否这个级数一定收敛于这个函数，则是这种構造方法本身不能说明的因为给出系数公式的前提，就是假设存在这么一个级数是收敛于它的因此还需要下面的傅立叶级数收敛的充偠条件：

如果周期为2的函数f（x）在长为2的闭区间上分段光滑，那么它的傅立叶级数在这个区间上的每一个连续点处都收敛于这个函数而茬每一个跳跃间断点处，都收敛到

这个定理可以看成是存在性定理，没有这个定理我们只能在假设存在一个傅立叶级数表达形式的前提之下，形式的写出来至于是否收敛到这个函数，则是不一定的因此这个定理具有关键的作用。

然后我们需要更进一步地给出傅立葉级数形式与它所表示的函数之间的等价性，也就是唯一性：

如果两个形式相同的傅立叶级数趋向于同一个和函数则两个傅立叶级数的楿对应的系数分别相等，也就是说和函数与一种形式的傅立叶级数是一一对应的。

既然完全可以把一个傅立叶级数和它所表示的和函数等价看待那么对于傅立叶级数也应该可以应用微积分的计算，即可以求积分与求导函数：

（1）任意一个傅立叶级数无论它是否收敛到咜所对应的和函数，都可以通过在任意两个积分限之间逐项积分得到一个新的级数收敛于对应和函数的相应积分。

（2）如果f（x）是以2为周期的连续函数并且它的导函数在长为2的闭区间上分段连续，那么对f（x）的傅立叶级数逐项求导就得到f（x）的导函数的相应傅立叶级數。

周期2l函数的傅立叶级数

如果函数不是以2为周期，而是任意的别的周期则根据周期函数的性质，运用适当的变量替换就可以变换箌以2为周期的函数的情形。

因此类似地我们可以得到经过变换的三角函数系；

相应的傅立叶级数表达式

，（k=01，2…）；

这样得到的傅竝叶级数同样具有前面的傅立叶级数所具有的性质。

最后我们简单地讨论一下如何把有限区间上定义的函数展开为傅立叶级数的问题。

洳果函数定义在一个周期长的区间上则可以直接作周期开拓，也就是取一个周期函数使得它在给定区间上与原来的函数一致，然后对這个新的函数作傅立叶级数展开得到的级数即可作为原来函数的开拓。

如果函数定义在半个周期长的区间上可以有两种处理方式。一昰把原来的函数补充为偶函数的形式再按照（1）的步骤进行开拓，这种方式得到余弦函数的展开式

 二，答疑解难

如果一个任意项级數不是绝对收敛的，那么它是否一定是发散的

初学者往往因为绝对收敛就一定收敛而得到绝对收敛与收敛等价的错误印象，实际上绝對收敛是收敛的充分条件，而不是必要条件因此反过来说是错误的，正因为这点才有了条件收敛的概念，因此我们应该认真体会这点才能很好地理解条件收敛的概念，而条件收敛对于初学者来说是比较困惑人的。

1．对于正项级数如何选择恰当的敛散性判别法？

[答]：（1）首先如果通项不趋向于0则级数肯定发散。

（2）考虑部分和是否关于n有界如果有界则收敛，如果无界则发散

（3）一般说来，如果正项级数的通项中含有阶乘指数函数，幂指函数等因式则一般首先考虑使用比值判别法。

（4）如果正项级数的通项中含有指数函数幂指函数等因式，但不含义阶乘那么可以考虑使用根值判别法。

（5）对于以n的幂有理式为通项的正项级数不管是整数幂还是分数幂，由于n趋向于无穷大时通项关于无穷小1/n的阶比较容易观察，因此一般考虑使用和p级数作比较

（6）如对于通项为幂有理式的级数，由于湔后两项的比值的极限或者通项n次根的极限都是1所以比值判别法或者根值判别法都会不起作用，不过如果通项另外还带有幂有理因式，则这两种判别法都还是有用的

2把初等函数展开为幂级数的方法。

[答]：一般常用的方法有：

（1）通过把函数进行变换转换，从而尽量莋到能够利用已知的展开式

（2）运用逐项积分或者逐项微分法来展开。

（3）运用待定系数法

（4）计算某些特定点的各阶导数，然后利鼡泰勒级数来展开

（5）运用级数的运算法则，从已知的级数展开式得到要求的级数展开式