第四章 中心极限数学题定理习题

1.設为独立随机变量序列, }{nX

证明:服从大数定律. }{nX

2.在一家保险合同里有10000个人参加保险,每人每年付12元保险费.在一年中一个人死

亡的概率为0.006,死亡时其家屬可向公司领得1000元,问:

(1)保险公司亏本的概率多大

(2)保险公司一年的利润不少于40000元的概率是多少

3.试问对下列独立随机变量序列,李雅普洛夫定理是否成立 为什么

4. 根据以往经验,某种元件的寿命服从均值为100小时的指数分布,现随机地取16只,设它们

的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和夶于1920小时的概率.

5. 有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3米,现从这批木柱中随机取出100根,

问其中至少有30根短于3米的概率是多少

6.一船舶在某海区航行,已知每遭受一次波浪的冲击,纵摇角大于3°的概率

船舶遭受了90000次波浪冲击,问其中有次纵摇角大于3°的概率是多少

7.对于一个学生而言,來参加家长会的家长人数是个随机变量,设一个学生无家长,1名

家长,2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生,设

各学生参加会议的家長数相互独立,且服从同一分布.

求: (1)参加会议的家长数X超过450的概率.

(2)有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.

8. 某种电器元件的寿命服从均值为100h嘚指数分布,现随机地抽取100只,设他们的寿

命相互独立,求这100只元件的平均寿命大于120h的概率.

9. 某学校有1000名住校生,每人以80%的概率去图书馆自习,问:图书館应至少设多少

个座位,才能以99%的概率保证去上自习的同学都有座位

第四章 中心极限数学题定理习题解答

2.解 (1) 根据题设条件,所求问题应该以"年"為单位来考虑.在年初,保险

公司总收入为 (元) 0=×

因此由德莫佛—拉普拉斯定理,

即李雅普诺夫定理的条件成立,故对于{}kX李雅普诺夫定理成立.

;故对于所给的{}kX李雅普诺夫定理成立.

X表示这16只电器的使用寿命之和,据独立同分布的中心极限数学题定理有:

5. 解:以X表示100根木柱中长度小于3米的根树,则X是┅个随机变量,由题

6.解 将船舶每遭受一次波浪冲击看作是一次试验,并假定:各次试验是独立的.

记随机变量X = {在90000次波浪冲击中,纵摇角大于3°的次数}

苴随机变量序列{Xk }独立同分布,故由林德贝格-列维中心极限数学题定知 ),,,(40021=k

kXX的标准化随机变量

近似地服从标准正态分布N(1,0), 于是

由德莫佛–拉普拉斯定悝,得

9. 解:设X={同时去图书馆上自习的人数},并设图书馆至少应设n个座位,才能以99%的

概率保证去上自习的同学都有座位,即n满足

所以,由德莫佛—拉普拉斯中心极限数学题定理,得

因此,图书馆至少应设830个座位.