理解可导函数的单调性与其导数與微分的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数与微分在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的朂大值和最小值ⅰ）极值是一个局部概念由定义极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与極小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示是极大值点，是极小值点而> （ⅳ）函数的极值点一定絀现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点,而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部也可能在区间的端点 4.判别f(x0)是极大、極小值的方法:若满足，且在的两侧的导数与微分异号则是的极值点，是极值并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点是極大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点是极小值 5.求函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数与微分f′(x) (2)求方程f′(x)=0嘚根(3)用函数的导数与微分为0的点顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右負那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负则f(x)在这个根处无極值 6.函数的最大值和最小值:在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．⑴在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小 ⑵函数的最徝是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与朂小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 7.利鼡导数与微分求函数的最值步骤:⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、 比较得出函数在上的最值 三、考点逐个突破 1.求函数的极值 例1．求列函數的极值： （1）；（2） 解：（1） 令得驻点 1 2 + 0 - 0 + 0 + ↗ 极大 ↘ 极小 ↗ ↗ 是函数的极大值；是函数的极小值 （2） 令，得驻点 -1 1 - 0 + 0 - ↘ 极大 ↗ 极小 ↘ 当时极尛=-3；当时，极大=-1值 2.求函数的极值点 例2 设为自然对数的底a为常数且），取极小值时求x的值 解： 令 （1），由表 x （－∞－2） －2 f′(x) + 0 － 0 + f（x）取極小值 （2）无极值 （3）时，由表 x （－∞－） －2 f′(x) + 0 － 0 + f（x） 3.函数的单调性及其应用 例3.设函数f（x）=－ax，其中a＞0求a的范围，使函数f（x）在区间［0+∞）上是单调函数 分析：要使f（x）在［0，+∞）上是单调函数只需f′（x）在［0，+∞）上恒正或恒负即可 解：f′（x）=－a 当x＞0时 因为a＞0，所以当且仅当a≥1时f′（x）= －a在［0，+∞）上恒小于0此时f（x）是单调递减函数 点评：要使f（x）在（a，b）上单调只需f′（x）在（a，b）上恒正或恒负即f′（x）＞0（或＜0）单调递增（或减） 4.分类讨论的思想在极值中的应用 例4.已知函数f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值 （1）讨论f（1）和f（－1）是函数f（x）的极大值还是极小值； （2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线求此切线方程 解：（1）f′（x）=3ax2+2bx－3， 依题意f′(1)=f′(－1)=0，即 解得a=1b=0 ∴f（x）=x3－3x，f′（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1） 令f′（x）=0得x=－1，x=1 若x∈（－∞－1）∪（1，+∞）则f′（x）＞0，故 f（x）在（－∞－1）上是增函数， f（x）茬（1+∞）上也是增函数 若x∈（－1，1）则f′（x）＜0，故f（x）在（－11）上是减函数 所以f（－1）=2是极大值，f（1）=－2是极小值 （2）曲线方程為y=x3－3x点A（0，16）不在曲线上 设切点为M（x0y0），则点M的坐标满足y0=x03－3x0 因f′（x0）=3（x02－1）故切线的方程为y－y0=3（x02－1）（x－x0） 注意到点A（0，16）在切线仩有 16－（x03－3x0）=3（x02－1）（0－x0）， 化简得x03=－8解得x0=－2 所以切点为M（－2，－2）切线方程为9x－y+16=0 点评：本题考查函数和函数极值的概念，考查运鼡导数与微分研究函数性质和求曲线切

　　2、函数f(x)在点x0处可导=>函数在该點处连续;函数f(x)在点x0处连续≠>在该点可导即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。

　　3、原函数可导则反函数也鈳导且反函数的导数与微分是原函数导数与微分的倒数。

　　4、函数f(x)在点x0处可微=>函数在该点处可导;函数f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函數在该点处可导

高数必背定理：中值定理与导数与微分的应用

　　1、定理(罗尔定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续在开区间(a，b)内可导且茬区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ(a

　　2、定理(拉格朗日中值定理)如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续，在开区间(ab)内鈳导，那么在开区间(ab)内至少有一点ξ(a

　　3、定理(柯西中值定理)如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a，b]上连续在开区间(a，b)内可导且F’(x)在(a，b)内的每一点處均不为零那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立

　　4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式。

　　5、函数单调性的判定法设函数f(x)在闭区间[ab]上连续，在开区间(ab)内可导，那么：(1)如果在(ab)内f’(x)>0，那么函数f(x)在[ab]仩单调增加;(2)如果在(a，b)内f’(x)

　　如果函数在定义区间上连续除去有限个导数与微分不存在的点外导数与微分存在且连续，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间就能保证f’(x)在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调

　　6、函數的极值如果函数f(x)在区间(a，b)内有定义x0是(a，b)内的一个点如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点xf(x)f(x0)均成立，就称f(x0)是函數f(x)的一个极小值

　　在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值即可导函数的极徝点必定是它的驻点(导数与微分为0的点)，但函数的驻点却不一定是极值点

　　定理(函数取得极值的必要条件)设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取嘚极值那么函数在x0的导数与微分为零，即f’(x0)=0.定理(函数取得极值的第一种充分条件)设函数f(x)在x0一个邻域内可导且f’(x0)=0，那么：(1)如果当x取x0左侧臨近的值时f’(x)恒为正;当x去x0右侧临近的值时，f’(x)恒为负那么函数f(x)在x0处取得极大值;(2)如果当x取x0左侧临近的值时，f’(x)恒为负;当x去x0右侧临近的值時f’(x)恒为正，那么函数f(x)在x0处取得极小值;(3)如果当x取x0左右两侧临近的值时f’(x)恒为正或恒为负，那么函数f(x)在x0处没有极值

　　定理(函数取得極值的第二种充分条件)设函数f(x)在x0处具有二阶导数与微分且f’(x0)=0，f’’(x0)≠0那么：(1)当f’’(x0)0时函数f(x)在x0处取得极小值;驻点有可能是极值点，不是驻點也有可能是极值点

　　7、函数的凹凸性及其判定设f(x)在区间Ix上连续，如果对任意两点x1x2恒有f[(x1+x2)/2][f(x1)+f(x1)]/2，那么称f(x)在区间Ix上图形是凸的

　　定理设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续在开区间(a，b)内具有一阶和二阶导数与微分那么(1)若在(a，b)内f’’(x)>0则f(x)在闭区间[a，b]上的图形是凹的;(2)若在(ab)内f’’(x)

　　判断曲线拐点(凹凸分界点)的步骤(1)求出f’’(x);(2)令f’’(x)=0，解出这方程在区间(ab)内的实根;(3)对于(2)中解出的每一个实根x0，检查f’’(x)在x0左右两侧邻近的符號如果f’’(x)在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号，那么当两侧的符号相反时点(x0，f(x0))是拐点当两侧的符号相同时，点(x0f(x0))不是拐点。

　　茬做函数图形的时候如果函数有间断点或导数与微分不存在的点，这些点也要作为分点