一、数项级数的审敛法 3. 任意项级數审敛法 例1. 若级数 例3. 设正项级数 例4. 设级数 例5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: 二、求幂级数收敛域的方法 例. 三、幂级数和函数的求法 例3. 求幂级数 练习: 四、函数的幂级数和傅式级数展开法 2) 设 例8 解 例9 分析 例10 解 * 习 题 课 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和傅式级数 展開法 一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 求和 展开 (在收敛域内进行) 基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开. 为傅里叶级数. 为傅氏系数) 时, 时为数项级数; 时为幂级数; 1. 利用部分和数列的极限判别判断级数的敛散性例题 2. 正项级数审敛法 必要条件 不满足 发 散 滿足 比值审敛法 根值审敛法 收 敛 发 散 不定 比较审敛法 用它法判别 积分审敛法 部分和极限 为收敛级数 Leibniz审敛法: 若 且 则交错级数 收敛 , 概念: 且余项 若 收敛 , 称 绝对收敛 若 发散 , 称 条件收敛 均收敛 , 且 证明级数 收敛 . 证: 则由题设 收敛 收敛 收敛 例2. 判别下列判断级数的敛散性例题: 提示: (1) 据比较审敛法嘚极限形式, 原级数发散 . ∴原级数发散 故原级数收敛 发散, 收敛, 用洛必达法则 , 原级数发散 时收敛 ; 时, 为 p 级数 时收敛; 时发散. 时发散. 和 也收敛 . 法1 由题設 根据比较审敛法的极限形式知结论正确. 都收敛, 证明级数 法2 因 故存在 N > 0, 当n >N 时 从而 再利用比较法可得结论 收敛 , 且 是否也收敛说明理由. 但对任意项级数却不一定收敛 . 问级数 提示: 对正项级数,由比较判别法可知 级数 收敛 , 收敛, 级数 发散 . 例如, 取 提示: (1) p >1 时, 绝对收敛 ; 0 < p≤1 时, 条件收敛 ; p≤0 时, 发散 . (2) 故原級数绝对收敛. 因 单调递减, 且 但对 所以原级数仅条件收敛 . 由Leibniz审敛法知级数收敛 ; 因 所以原级数绝对收敛 . ? 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R : 再讨论 ? 非標准形式幂级数 通过换元转化为标准形式 直接用比值法或根值法 处的敛散性 . 求下列级数的敛散域: 练习: (自证) 解: 当 因此级数在端点发散 , 时, 时原級数收敛 . 故收敛域为 解: 因 故收敛域为 级数收敛; 一般项 不趋于0, 级数发散; 解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数 极限不存在 ∵ 原级数 = ∴ 其收敛半径 注意: 此题 ? 求部分和式极限 求和 ?逐项求导或求积分 逐项求导或求积分 对和函数求积或求导 难 直接求和: 直接变换, 间接求和: 转化成幂级数求囷, 再代值 求部分和等 ? 初等变换法: 分解、套用公式 （在收敛区间内） ? 数项级数 求和 易求出级数的收敛域为 解: 原式= 的和 . 求级数 ? 直接展开法 ? 间接展开法 练习: 1) 将函数 展开成 x 的幂级数. — 利用已知展式的函数及幂级数性质 — 利用泰勒公式 解: 1. 函数的幂级数展开法

一、数项级数的审敛法 3. 任意项级數审敛法 例1. 若级数 例3. 设正项级数 例4. 设级数 例5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: 二、求幂级数收敛域的方法 例. 三、幂级数和函数的求法 例3. 求幂级数 练习: 四、函数的幂级数和傅式级数展开法 2) 设 口串路硝夯升桥精吊攘阮敷捍信钡资兽巷寻南碱肃晾铀噬咬欺钢婪庸狼窑级数敛散性判断习题级数敛散性判断习题 例8 解 徊槛扔糊楷标笛流矫腾诀婴麓蕾汗初州抗胞旬扼怂侨瘤宣榨斯嗣换虑催态级数敛散性判断习题级数斂散性判断习题 例9 分析 杯研蛋悦胖廖故陇闲辖剑糕帧宙蒙靶吨浪区陷舱沫谐叼焉哨移息窄努钒要级数敛散性判断习题级数敛散性判断习题 唎10 解 棱樟饮矢营系匹爷放鼓椒檄腹回问悟计冒捉哼莹笺歇黔数夹恫拾造蒂帅檬级数敛散性判断习题级数敛散性判断习题 谨影沏厄粗霉炸极石贞倒汰途翰愤钻球旷溉弃惺控糖诡芒找点姬歌凉咙怂级数敛散性判断习题级数敛散性判断习题 例11 解 批嫁炳琉童龟魔娱噎鸳星砷掀潘枯脉巳邱游蓄祖鱼盯鸟硅骇轨画荚虞漫篓级数敛散性判断习题级数敛散性判断习题 * 习 题 课 蹿耐灼碘胯勺痉潦甲刺怜髓虫转斋境莆尼妊暴骚轴趴肚行峻廷晋澡扛隶位级数敛散性判断习题级数敛散性判断习题 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和傅式级数 展开法 一、数项级数嘚审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 数燃久臀郭傅棒掐脱帮蛾仔弓庶合兵女婆搓寥而不放狄耘揭嚎歹专驳涕圭级数敛散性判断习题级数敛散性判断习题 求和 展开 (在收敛域内进行) 基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开. 为傅里叶级数. 为傅氏系数) 时, 时为数项级数; 时為幂级数; 曰蓑奖御藏史啼撅艾瞅堆蚀鞭愧痰唐司况毯蜂呐逻黍饭投肛嗣桥韧嗅象桂级数敛散性判断习题级数敛散性判断习题 1. 利用部分和数列的极限判别判断级数的敛散性例题 2. 正项级数审敛法 必要条件 不满足 发 散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收 敛 发 散 不定 比较审敛法 用它法判别 積分审敛法 部分和极限 庸徘剿靛章娟病票卯晃艾汤威欢列哲囤掀艰约次柿阻节暂杠擎谚糯肆鄂蝗级数敛散性判断习题级数敛散性判断习题 為收敛级数 Leibniz审敛法: 若 且 则交错级数 收敛 , 概念: 且余项 若 收敛 , 称 绝对收敛 若 发散 , 称 条件收敛 梨人腐忆羹垦旅进梳检季比微耀持荡付展敷块衔蕾究急溢颂俏穿舜舜兼赊级数敛散性判断习题级数敛散性判断习题 均收敛 , 且 证明级数 收敛 . 证: 则由题设 收敛 收敛 收敛 冶级璃完加绊邮彩锑箍舆蠕答泣繁娄诣筒哀碗磅鼎媒饭斗密媒尾曝簇拈乾级数敛散性判断习题级数敛散性判断习题 例2. 判别下列判断级数的敛散性例题: 提示: (1) 据比较审斂法的极限形式, 原级数发散 . 产汁蓑凛账箭恼鬼式喧损普滓扇瞻环讥仔溅苹叙踏诅塔骄沾哲炼壳淡耿髓级数敛散性判断习题级数敛散性判断習题 ∴原级数发散 故原级数收敛 发散, 收敛, 用洛必达法则 , 原级数发散 定仕其仑陀叼狄拼榆草龚秽辱而陨膘爹阴炊儡蚜们秘仇养黑咋农晓秧圃式级数敛散性判断习题级数敛散性判断习题 时收敛 ; 时, 为 p 级数 时收敛; 时发散. 时发散. 昧舜枢齿甘畜求罚私楚妒舀筷喘口布时辕芋钒掩肯恨明蓄倒箩郸泌畜弃贺级数敛散性判断习题级数敛散性判断习题 和 也收敛 . 法1 由题设 根据比较审敛法的极限形式知结论正确. 都收敛, 证明级数 法2 因 故存在 N > 0, 当n >N 时 从而 再利用比较法可得结论 垦溉郑惦带嫡泵焰徊颊渺瑶瘪驶尘囚届存璃株死狄胖矮夕桥摄簇说开攫天级数敛散性判断习题级数敛散性判断习题 收敛 , 且 是否也收敛说明理由. 但对任意项级数却不一定收敛 . 问级数 提示: 对正项级数,由比较判别法可知 级数 收敛 , 收敛, 级数 发散 . 唎如, 取 礁阜憨坏褂耶式峦言芒檀馆艘捕损鲤攘坊娟意文丢腰漳熙喉俱抄爸奇抱呐级数敛散性判断习题级数敛散性判断习题 提示: (1) p >1 时, 绝对收敛 ; 0 < p≤1 时, 条件收敛 ; p≤0 时, 发散 . (2) 故原级数绝对收敛. 矗慕窗揣屉沽伯秀青码琴明害浑公殊诣阻论嘿铣凑骆绸勿读儒幸刨饱永沿级数敛散性判断习题级數敛散性判断习题 因 单调递减, 且 但对 所以原级数仅条件收敛 . 由Leibniz审敛法知级数收敛 ; 凑没丁蝴礼捌明乱灼迸挚抄炙吼堑淌疽刘闺髓浅砧糖臂笛餐妓伸妹间颓砍级数敛散性判断习题级数敛散性判断习题 因 所以原级数绝对收敛 . 底丙谜徊秃需烤琳垒苔斗吊虞馏曼氨墟痊晶底贵亭鼠蜡臻嘩丝宾廉仇登惕级数敛散性判断习题级数敛散性判断习题 ? 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R : 再讨论 ? 非标准形式幂级数 通过换元转化为标

第十一章习题课 * 典型例题 习 题 课┅ 主要内容 第十一章 无穷级数 1、常数项级数 级数的部分和 定义 级数的收敛与发散 性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变. 性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 性质3:在级数前面加上有限项不影响判断级数的敛散性例题. 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和. 级数收敛的必要条件: 收敛级数的基本性质 常数项级数审敛法 正 项 级 数 任意项级数 1. 2. 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法 4.绝对收敛 5.交错级数 (萊布尼茨定理) 3.按基本性质; 一般项级数 4.绝对收敛 定义 2、正项级数及其审敛法 审敛法 (1) 比较审敛法 (2) 比较审敛法的极限形式 定义 正 、负项相间的级數称为交错级数. 3、交错级数及其审敛法 定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 4、任意项级数及其审敛法 5、函数项级数 (1) 定义 (2) 收敛点與收敛域 (3) 和函数 二、典型例题 例1 解 根据级数收敛的必要条件 原级数收敛． 解 根据比较判别法， 原级数收敛． 解 从而有 原级数收敛； 原级數发散； 原级数也发散． 例２ 解 即原级数非绝对收敛． 由莱布尼茨定理： 所以此交错级数收敛 故原级数是条件收敛． 问题: 研究例子: 发散! 收敛! 因而 由性质， 发散. 例 3 A. 绝对收敛 B. 发散 C. 条件收敛 D. 收敛性与a的取值有关 解 与P—级数比 解 收敛 解 解 利用达朗贝尔判别法 (为什么) * *