长方体和正方体的总棱长、表面積和体积公式专练 长方体和正方体都有：12条棱、6个面、8个顶点 长方体的总棱长= （长+宽+高）× 4 （单位：长度单位） 正方体的总棱长= 棱长 × 12 （單位：长度单位） 长方体的表面积=（长×宽 + 长×高 + 宽×高）×2 （单位：平方单位） 长方体的体积= 长 × 宽 × 高 字母表示：V = abh （单位：立方单位） 正方体的表面积=（棱长 × 棱长）×6 （单位：平方单位） 正方体的体积= 棱长 × 棱长 × 棱长 字母表示：V= a3（单位：立方单位） 长方体（或正方體）的体积= 底面积×高 字母表示：V=sh（单位：平方单位）无盖的盒子的表面积=长× 宽 +（长×高 + 宽×高）×2 （只算一个底面） 面积单位的换算 ： 1平方厘米＝100平方毫米; 1平方分米=100平方厘米; 1平方米＝100平方分米; 1公倾＝10000平方米；1平方公里＝100公顷 体积单位 ： 1立方米=1000立方分米； 1立方分米=1000立方厘米 容积单位 ： 1升=1000毫升； 1升=1立方米； 1毫升=1立方厘米 1立方分米=1升； 1立方厘米=1毫升； 1立方米=1000升； 应用题类型：
（1）教室粉刷墙面求总面积，应鼡以上公式计算（要除去一个底面）

（2）测量不规则物体的体积用排水法： 水面上升的高度×容器底面积 = 物体的体积

（3）表面积的变化偠会分析：长方体或正方体被锯开后，一次会增加两个面；反之两个相同，体或 长方体拼在一起一次会减少两个面。

1、把一个长方体嘚小木块截成两段 就成了两个完全相等的正方体，于是这两个正方体的棱长之和比原来那个长方体的棱长之和增加40厘米原来那个长方體的面积是多少平方厘米。 解：截成各正方体的棱长为：40÷8=5（厘米） 原长方体的长为：5×2=10（厘米） 原长方体的表面积为：10×5×4+5×5×2=250（平方厘米）

2、把一个长、宽、高分别是7厘米、6厘米、5厘米的长方体截成两个长方体使这两个长方体表面积之和最大，这时表面积之和是多少岼方厘米

3、在棱长为10厘米的正方体玻璃缸内装满水，然后将这些水倒入长20厘米、宽10厘米的长方体玻璃缸内这个玻璃缸内水深多少厘米。（玻璃厚度忽略不计） 解：10×10×10=1000（立方厘米） =5（厘米）

4、将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体其中┅点红色都没有的小正方体只有5块。求原来长方体的体积

5、把一个体积为80立方厘米的铁块浸在底面积为20平方厘米的长方体容器中，水面高度为10厘米如果把铁块捞出后，水面高多少

6、 要制作12节长方体的铁皮烟囱，每节长2米宽4分米，高3分米至少要用多少平方米的铁皮。

分析：首先要搞清楚是长方体表面积的应用求烟囱铁皮表面积就是求长方体的上下前后四个面的面积，缺少左右两个面先求出一节煙囱的面积再求12节。

7、一种无盖的长方体形铁皮水桶底面是边长4分米的正方形，高1米做一只这样的水桶至少要多少铁皮。

这只水桶能裝水多少升

8、一个长方体形状的儿童游泳池，长40米、宽14米深1.2米。

现在要在四壁和池底贴上面积为16平方分米的正方形瓷砖需要多少块。

9、一个长方体的容器底面积是16平方分米，装的水高6分米现放入一个体积是24立方分米的铁块。这时的水面高多少 分析：先求出体积昰24立方分米的铁块使长方体的容器升高的高度，再加上原来装的水高即可求解． 点评：考查了长方体的体积，本题的关键是求出放入的鐵块使长方体的容器升高的高度． 解：24÷16+6=1.5+6=7.5（分米）． 答：这时的水面高7.5分米．

10、一块长方形铁皮长32厘米，在它四个顶角分别剪去边长4厘米的正方形然后折起来焊成一个无盖的长方体铁皮盒。已知这个铁皮盒的容积是768立方厘米原来这块铁皮的面积是多少。

分析：如图所礻铁皮盒的长是（32-4-4）厘米，高是4厘米体积是768立方厘米，利用长方体的体积公式即可求得铁盒的宽；原来铁皮的长是32厘米宽就是：铁盒的宽+4厘米+4厘米，再利用长方形的面积公式即可求出原来铁皮的面积． 解：768÷[（32-4×2）×4] =768÷96， =8（厘米）； 32×（8+4+4）=512（平方厘米）； 答：原来這块铁皮的面积是512平方厘米．

长方体与正方体必须掌握的几种题型 一、高的变化引起表面积的变化

1、一个长方体，如果高增加2厘米就成叻正方体而且表面积要增加56平方厘米，原来这个长方体的体积是多少立方厘米 分析：根据题意可知，一个长方体如果高增加2厘米就變成了一个正方体；说明长和宽相等且比高大2厘米，因此增加的56平方厘米是4个同样的长方形的面积和；由此可以求长方体的长=（56÷4）÷2=7厘米由于长比高多2厘米，那么高=7-2=5厘米由此解答． 解答：增加的1个面的面积：56÷4=14（平方厘米）； 长方体的长（宽）：14÷2=7（厘米）； 长方体嘚高：7-2=5（厘米）； 体积：7×7×5=245（立方厘米）； 答：原来这个长方体的体积是245立方厘米． 故答案为：245立方厘米． 二、段的变化

1、将一个长2米嘚长方体木料平均截成3段，表面积一共增加了0.24平方分米这根木料的体积是多少立方分米。 三、切

1、将一个长8厘米宽6厘米，高4厘米的长方体切成两个小长方体表面积最多增加多少平方厘米。

最少增加多少平方厘米 分析：把一个长方体截成两个长方体，只截一次增加兩个横截面，要使增加面积最大则平行于8×6面切割，这样就是增加2个8×6面；要使增加的面积最小则平行于6×4面切割，这样就增加2个6×4媔由此即可解答． 解：8×6×2=96（平方厘米），6×4×2=48（平方厘米） 答：两个长方体的表面积之和比原来最多可多96平方厘米，最小可增加48平方厘米

（拼表面积发生变化体积不变）

1、用8个棱长是2cm的小正方体拼成一个较大的正方体，大正方体的体积是________拼成一个长方体，表面积朂大是________． 分析：

（1）用8个棱长是2cm的小正方体拼成一个较大的正方体大正方体的体积就是这8个小正方体的体积之和；

（2）用8个棱长2厘米的尛正方体拼成一个长方体，有3种不同的拼组方法：1×8排列：长宽高分别是：16厘米、2厘米、2厘米；2×4排列：长宽高分别是：8厘米、4厘米、2厘米；2×2×2排列：棱长为4厘米；由此利用长方体的表面积公式计算出它们的表面积即可． 解答：

（2）1×8排列：长宽高分别是：16厘米、2厘米、2厘米； 表面积是：（16×2+16×2+2×2）×2=（32+32+4）×2=68×2=136（平方厘米）； 2×4排列：长宽高分别是：8厘米、4厘米、2厘米； 表面积是：（8×4+8×2+4×2）×2=（32+16+8）×2=56×2=112（平方厘米）； 2×2×2排列：棱长为4厘米； 表面积为：4×4×6=96（平方厘米）； 答：拼成的大正方体的体积是64立方厘米；拼成的长方体的表面积朂大是136平方厘米． 五 、扩大和增加倍数

1、一个正方体正方体棱长扩大3表面积扩大2倍，表面积扩大（ ）倍体积扩大（ ）倍. 分析：根据正方体表面积扩大的倍数是正方体棱长扩大3表面积扩大倍数的平方，体积扩大的倍数是正方体棱长扩大3表面积扩大倍数的立方求解即可． 解答：一个正方体正方体棱长扩大3表面积扩大2倍则表面积扩大2×2=4倍，体积扩大2×2×2=8倍．

2、一个大正方体的棱长是小正方体棱长的2倍已知夶正方体的体积比小正方体多21立方厘米，大小正方体的体积分别是多少

六、将一个长方体或正方体切成若干个小正方体或小长方体。

1、紦一个长8 厘米宽6厘米，高4厘米的长方体木块锯成若干个棱长2厘米的小正方体，一共可锯成多少个这样的小正方体

首先算出来长方体嘚体积8×6×4＝192cm3 在算出小正方体体积2×2×2＝8cm3 最后一步拿长方体体积除以小正方体体积192÷8＝24 七、挖

1、在棱长4分米的正方体的顶点处挖去一个棱長2分米的小正方体．所剩下的立体图形共有________个顶点，表面积是________平方分米体积是________立方分米．

（1）在棱长4分米的正方体的顶点处挖去一个棱長2分米的小正方体．所剩下的立体图形比原来多出了3-1=2个顶点;

（2）表面积在减少了3个面的同时又增加了3个面，所以表面积的大小与原来没有變化;

（3）体积比原来减少了一个棱长为2分米的正方体的体积． 解答：观察图形可知：剩下的立体图形比原来多出了3-1=2个顶点所以一共有顶點8+2=10（个）， 表面积为：4×4×6=96（平方分米） 体积为：4×4×4-2×2×2=64-8=56（立方分米）， 答：所剩下的立体图形共有10个顶点表面积是96平方分米，体積是56立方分米． 八、熔铸沉浮

1、把一块棱长是0.5米的正方体钢坯锻成高2分米、宽4分米的长方体钢材，锻成的长方体钢材有多少长 分析：先利用正方体的体积V=a3，求出这块钢坯的体积因为这块钢坯的体积是不变的，于是可以利用长方体的体积V=Sh求出锻成的钢材的长度

2、把两个棱长都是1分米的正方体的方钢熔铸成一根横截面是长5厘米、宽4厘米的长方体的钢材，这根钢材的长是多少分米

解：1×1×1×2=2（ 立方分米） 5厘米=0.5分米 4厘米=0.4分米 2÷（0.5×0.4）=10（分米） 答：这块钢材的长是10分米。