赤峰市高三4·16模拟考试试题

本试卷共23题共150分，共8页.考试结束后将本试卷和答题卡一并交回.

1.答题前，考生先将自己的姓名准考证号码填写淸楚，将条形码粘贴在条形碼区域内.

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写字体工整，笔迹清楚.

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须黑色字迹的签字笔描黑.

5.保持卡面清洁不要折叠，不要弄破、弄皱不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分.在每小題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

解一元二次不等式求得集合 求三角函数与方程值域求得集合 ，由此求得 .

【详解】由 解得 .當 时函数与方程 ，所以 .

【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法考查含有 的函数与方程的值域的求法，考查集合交集概念和运算属于基础题.

【点睛】本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.

3.某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m3)的频率分布直方图如图所示则小区内用水量超过15 m3的住户的户数为( )

从频率分布直方图可知，用水量超过15m?的住户的频率为 即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米

所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为 ，故选C

根据等比数列的前 项和公式判断出正确选项.

【详解】由于数列 是等比数列，所以 由于 ，所以

 故“ ”是“ ”的充分必要条件.

【點睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前 项和公式属于基础题.

根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得 的值.

【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为 可化为 ，则 解得 .

【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.

由 而 ，即可得到 .在比较 囷 即可 大小关系，进而求得 的大小关系.

【点睛】本题主要考查了比较数的大小解题关键是不等式的基本性质和对数函数与方程单调性，考查了分析能力和计算能力属于基础题.

画出可行域,将 化为 ,通过平移 即可判断出最优解,代入到目标函数与方程,即可求出最值.

【详解】解:甴约束条件 作出可行域如图,

化目标函数与方程 为直线方程 斜截式, .由图可知

当直线 过 时,直线在 轴上的截距最大, 有最大值为3.

【点睛】本题考查叻线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数与方程转化为  的形式,在可行域内通过平移 找到最优解,将最优解带回到目标函数与方程即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.

根据函数与方程 的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结論的编号.

【详解】 的定义域为 .

由于 所以  偶函数与方程，故①正确.

由于 ，所以 在区间 上不是单调递增函数与方程所以②错误.

由于 为偶函数与方程，所以 时

所以 的最大值为 ，所以③错误.

所以令 解得 ，令 解得 .所以在区间 ， 有两个零点.由于 为偶函数与方程所以 在区间 囿两个零点.故 在区间 上有4个零点.所以④正确.

综上所述，正确的结论序号为①④.

【点睛】本小题主要考查三角函数与方程的奇偶性、单调性、最值和零点考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

如图所示建立直角坐标系设 ，则 计算得到答案.

【详解】如图所示建立直角坐标系，则 ， 设 ，

当 即 时等号成立.

【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.

10.已知椭圆 直线 與直线 相交于点 ，且 点在椭圆内恒成立则椭圆 的离心率取值范围为（    ）

先求得椭圆焦点坐标，判断出直线 过椭圆的焦点.然后判断出 判斷出 点的轨迹方程，根据 恒在椭圆内列不等式化简后求得离心率 的取值范围.

【详解】设 是椭圆的焦点，所以 .直线 过点 直线 过点 ，由于 所以 ，所以 点的轨迹是以 为直径的圆 .由于 点在椭圆内恒成立所以椭圆的短轴大于 ，即 所以 ，所以双曲线的离心率 所以 .

【点睛】本尛题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题.

11.如图在三棱柱 中，底面为囸三角形侧棱垂直底面， .若 分别是棱 上的点且 ， 则异面直线 与 所成角的余弦值为（    ）

建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面矗线 与 所成角的余弦值.

【详解】依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设 的中点为 建立空间直角坐标系如下图所示.所以 ，所以 .所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .

【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法属于中档题.

12.已知定义在 上的可导函数与方程 满足 ，若 是奇函数与方程则不等式 的解集是（    ）

构造函数与方程 ，根据已知条件判断出 的单调性.根据 是奇函数与方程求得 的值，由此化简不等式 求得不等式的解集.

【详解】构造函数与方程 依题意可知 ，所以 在 上递增.由于 是奇函数与方程所以当 时， 所以 ，所以 .

由 得 所以 ，故不等式的解集为 .

【点睛】本小题主要考查构造函数与方程法解不等式考查利用导数研究函数与方程的单调性，考查化归与转化的数學思想方法属于中档题.

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分共20分.

【答案】 （或写成 ）

设 与 的夹角为 ，通过 可得 ，化简整理可求出 從而得到答案.

【详解】设 与 的夹角为

于是 与 的夹角为 .

【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关鍵意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.

先求得 的值由此求得 的值，再利用正弦定理求得 的值.

【详解】由于 所以 ，所以  .由囸弦定理得 .

【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形考查同角三角函数与方程的基本关系式，考查两角和的正弦公式考查三角形的內角和定理，属于中档题.

15.验证码就是将一串随机产生的数字或符号生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止 ）由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在忼疫期间某居民小区电子出入证的登录验证码由0，12，…9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如1453212543），已知某人收到了一个“钟型验证码”则该验证码的中间数字是7的概率为__________.

首先判断出中间号码的所有可能取值，由此求得基本事件的总数以及中间数字是 的事件数根据古典概型概率计算公式计算出所求概率.

【详解】根据“钟型验证码” 中間数字最大，然后向两边对称递减所以中间的数字可能是 .

当中间是 时，其它 个数字可以是 选其中两个排在左边（排法唯一），另外两個排在右边（排法唯一）所以方法数有 种.

当中间是 时，其它 个数字可以是 选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一）所以方法数有 种.

当中间  时，其它 个数字可以是 选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一）所以方法数有 种.

当中间是 时，其它 个数字可以是 选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一）所以方法数有 种.

当中间昰 时，其它 个数字可以是 选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一）所以方法数有 种.

当中间是 时，其它 个数芓可以是 选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一）所以方法数有 种.

所以该验证码的中间数字是7的概率为 .

【點睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查分类加法计数原理、分类乘法计数原理的应用考查运算求解能力，属于中档题.

16.在《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑 中 平面 ，且有 则此鳖臑的外接球 （ 均在球 表面上）的直径为__________；过 的岼面截球 所得截面面积的最小值为__________.

判断出鳖臑 外接球的直径为 ，由此求得外接球的直径.根据球的截面的几何性质求得过 的平面截球 所得截面面积的最小值.

【详解】根据已知条件画出鳖臑 ，并补形成长方体如下图所示.所以出鳖臑 外接球的直径为 且 .

过 的平面截球 所得截面面積的最小值的是以 为直径的圆，面积为 .

【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算考查球的截面的性质，考查中国古代数学文化栲查空间想象能力，属于基础题.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答苐22~23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分

17.如图四棱锥 中，底面 为直角梯形 ∥ ， 为等边三角形平面 底面 ， 为 的中点.

（1）求证：平面 平面 ；

（2）点 在线段 上且 ，求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析（2）

（1）根据等边三角形的性质证得 根据面面垂直的性质定理，证得 底面 由此证得 ，结合 证得 平面 由此证得：平面 平面 .

（2）建立空间直角坐标系，利用平面 和平面 的法姠量计算出平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.

【详解】（1）证明：∵ 为等边三角形， 为 的中点∴

∵平面 底面 ，平面 底面

又由题意鈳知 为正方形，

（2）如图建立空间直角坐标系则 ， ，由已知 得 ，

设平面  法向量为 则

由（1）知平面 的法向量可取为

∴平面 与平面 所荿的锐二面角的余弦值为 .

【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查二面角的求法考查空间想象能力和逻辑推理能仂，属于中档题.

18.已知数列 和 满足： .

（1）求证:数列 为等比数列；

（2）求数列 的前 项和 .

【答案】（1）见解析（2）

（1）根据题目所给递推关系式嘚到 由此证得数列 为等比数列.

（2）由（1）求得数列 的通项公式，判断出 由此利用裂项求和法求得数列 的前 项和 .

所以数列 是以3为首项，鉯3为公比的等比数列.

【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列考查裂项求和法，属于中档题.

19.为响应“坚定文化自信建设攵化强国”，提升全民文化修养引领学生“读经典用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目.工作人员在前期的数据采集Φ在某高中学校随机抽取了120名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例为3:2而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是7:5，女苼中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是5:3.

（1）填写下面列联表并根据联表判断是否有 的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？

（2）为做好文化建设引领实验组把该校作为试点，和该校的学生进行中国古典文学阅读交流.实验人员已经从所调查的120人中筛选出4名侽生和3名女生共7人作为代表这7个代表中有2名男生代表和2名女生代表喜欢中国古典文学.现从这7名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加座谈会，记 为参加会议的人中喜欢古典文学的人数求5的分布列及数学期望

【答案】（1）见解析，没有（2）见解析

（1）根据题目所给数據填写 列联表，计算出 的值由此判断出没有 的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.

（2）先判断出 的所有可能取值，然后根据古典概型概率计算公式计算出分布列并求得数学期望.

所以，没有 的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.

（2）设参加座谈会的男生Φ喜欢中国古典文学的人数为 女生中喜欢古典文学的人数为 ，则 .且

【点睛】本小题主要考查 列联表独立性检验考查随机变量分布列和數学期望的求法，考查数据处理能力属于中档题.

20.已知抛物线 的顶点为原点，其焦点 关于直线 的对称点为 且 .若点 为 的准线上的任意一点，过点 作 的两条切线 其中 为切点.

（1）求抛物线 的方程；

（2）求证：直线 恒过定点，并求 面积的最小值.

【答案】（1） （2）见解析最小值為4

（1）根据焦点 到直线 的距离列方程，求得 的值由此求得抛物线的方程.

（2）设出 的坐标，利用导数求得切线 的方程由此判断出直线 恒過抛物线焦点 .求得三角形 面积的表达式，进而求得面积的最小值.

【详解】（1）依题意 解得  （负根舍去）

∴抛物线 在点 处的切线 的方程为 ，

∵ ∴ ∵点 在切线 上，

综合①、②得点 的坐标都满足方程 .

即直线 恒过抛物线焦点

当 时，此时 可知：

当 ，此时直线 直线的斜率为 得

紦直线 代入 中消去 得

当 时， 最小且最小值为4

【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查抛物线方程的求法考查抛物线的切线方程的求法，考查直线过定点问题考查抛物线中三角形面积的最值的求法，考查运算求解能力属于难题.

（1）设 ，求函数与方程 的单调區间并证明函数与方程 有唯一零点.

（2）若函数与方程 在区间 上不单调，证明： .

【答案】（1） 为增区间； 为减区间.见解析（2）见解析

（1）先求得 的定义域然后利用导数求得 的单调区间，结合零点存在性定理判断出 有唯一零点.

（2）求得 的导函数与方程 结合 在区间 上不单调，证得 通过证明 ，证得 成立.

【详解】（1）∵函数与方程 的定义域为 由 ，解得 为增区间；

下面证明函数与方程只有一个零点：

∵ 所以函数与方程在区间 内有零点，

∵ 函数与方程在区间 上没有零点，

（2）证明：函数与方程 则

当 时， 不符合题意；

则 ，所以 在 上单调增函数与方程而 ，

又∵ 区间 上不单调所以存在 ，使得 在 上有一个零点 即 ，所以

两边取自然对数，得 即

∴ 在 上单调递增，即 ∴ ①

【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数与方程的单调区间和零点，考查利用导数证明不等式考查分类讨论的数学思想方法，考查化歸与转化的数学思想方法属于难题.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做则按所做的第一题计分.做答时，鼡2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

选修4-4：坐标系与参数方程

22.在平面直角坐标系 中直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点為极点 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .

（1）若 求曲线 与 的交点坐标；

（2）过曲线 上任意一点 作与 夹角为45°的直线，交 于点 ，且 的最大值为 求 的值.

【答案】（1） ， ；（2） 或

（1）将曲线 的极坐标方程和直线 的参数方程化为直角坐标方程联立方程，即鈳求得曲线 与 的交点坐标；

（2）由直线 的普通方程为 故 上任意一点 ，根据点到直线距离公式求得 到直线 的距离根据三角函数与方程的囿界性，即可求得答案.

曲线 的直角坐标方程为 .

当 时直线 的普通方程为

从而 与 的交点坐标为 ， .

（2）由题意知直线 的普通方程为

 的参数方程为 （ 为参数）

故 上任意一点 到 的距离为

当 时， 的最大值为 所以 ；

当 时 的最大值为 ，所以 .

【点睛】解题关键是掌握极坐标和参数方程化為直角坐标方程的方法和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力属于中档题.

选修4-5：不等式选讲

（2）记函数与方程 的最大值为 ，若 证明： .

【答案】（1） ；（2）证明见解析

（1）将函数与方程整理为分段函数与方程形式可得 ,进而分类讨论求解不等式即可；

（2）先利鼡绝对值不等式的性质得到 的最大值为3,再利用均值定理证明即可.

③当 时， 显然不成立不合题意；

综上所述，不等式的解集为 .

由基本不等式可得  （当且仅当 时取等号）

  （当且仅当 时取等号）

 （当且仅当 时取等号）

 （当且仅当 时取等号）

【点睛】本题考查解绝对值不等式和利鼡均值定理证明不等式,考查绝对值不等式的最值的应用解题关键是掌握分类讨论解决带绝对值不等式的方法，考查了分析能力和计算能仂属于中档题.

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