当A可逆时, 若 λ是A的特征值, α 是A的屬于特征值λ的特征向量；则 |A| / λ 是 A*的特征值, α 仍是A*的属于特征值 |A| / λ 的特征向量

设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立那么这样的数λ称为e799bee5baa6e9矩阵方程A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。

式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0

设A是数域P上的一个n阶矩阵方程，λ是一个未知量，

称为A的特征多项式记?(λ)=|λE-A|，是┅个P上的关于λ的n次多项式E是单位矩阵方程。

?(λ)=|λE-A|=λ+a1λ+…+an= 0是一个n次代数方程称为A的特征方程。特征方程?(λ)=|λE-A|=0的根(如：λ0)称为A的特征根(或特征值)n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，而在实数域内不一定有根因此特征根的多少和有无，不仅与A有关与数域P也有关。

以A的特征值λ0代入(λE-A)X=θ，得方程组(λ0E-A)X=θ，是一个齐次方程组，称为A的关于λ0的特征方程组因为|λ0E-A|=0，(λ0E-A)X=θ必存在非零解    称为A的属于λ0嘚特征向量。所有λ0的特征向量全体构成了λ0的特征向量空间 

性质1：n阶方阵A=(aij)的所有特征根为λ1，λ2…,λn(包括重根)，则：

性质2：若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量则1/λ 是A的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量

性质3：若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量

性质4：设λ1，λ2…,λm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于λi的特征向量( i=1,2,…,m)则x1,x2,…,xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关

如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν=λBν

其中A和B为矩阵方程其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵方程的集合其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛(pencil)”

若B可逆，则原关系式可以写作  也即标准的特征值问题。当B为非可逆矩阵方程（无法进荇逆变换）时广义特征值问题应该以其原始表述来求解。

如果A和B是实对称矩阵方程则特征值为实数。这在上面的第二种等价关系式表述中并不明显因为  A矩阵方程未必是对称的。