6.1正弦函数和余弦函数的图像与性質(1)——正弦函数和余弦函数的图像与性质【最新精选】,正弦余弦函数的性质,正弦余弦函数性质,正弦和余弦函数性质,正弦余弦函数图像,正弦餘弦正切图像,正弦余弦图像,正弦余弦函数的图像,余弦函数的图像与性质,余弦函数的图像和性质

首先sinα=根号下1-cosα平方，不会打符号，将就一下。cosα：0~90°是正数，
大於90°是负数，当大于90°的时候就要把cosα转化为sinα 就是这么简单！！！

向量与直线的夹角永远是锐角只有向量与向量之间才有锐角与钝角嘚区分，这个不能用眼睛看得要计算，cosα=a b／丨a丨丨b丨,α为两个向量的夹角，a b为两个向量若结果为正，就是锐角若结果为负，就是钝角

algorithm)是澳大利亚学者Mirjalili于2016年提出的一种基于种群的智能优化算法与大多数智能优化算法相比，SCA具有架构简單控制参数少，计算效率高等优点Mirjalili^[]已经证明SCA在整体优化性能上优于萤火虫算法(FA, firefly

由于SCA架构简单，因此具有较大的改进潜力目前，国内外学者对SCA改进策略的研究主要分为2类一类是与其他智能优化算法进行杂交融合以提高算法的优化性能：王蕾等^[]将SCA与花授粉算法(FPA)进行融合，利用SCA的正弦余弦震荡特性提高融合算法的局部最优规避能力与寻优精度；Chegini等^[]将SCA与粒子群算法(PSO)进行融合，提高算法的全局搜索能力和局蔀最优规避能力；Nenavath等^[]将SCA与差分进化算法(DE, evolution)进行融合提高算法的局部最优规避能力和收敛速度，并将融合后的算法应用于求解目标跟踪问题；Issa等^[]利用SCA较好的全局搜索特性以及PSO良好的局部搜索能力提出的基于粒子群算法的自适应正弦余弦优化算法寻优收敛精度较好。另一类是借鉴其他优化算法的搜索策略针对性地提高SCA的局部搜索能力或全局搜索能力：Rizk-Allah^[]将多正交搜索策略引入SCA，充分利用多正交搜索策略的局部搜索优势提高算法的寻优精度与局部最优规避能力；Gupta等^[]借鉴粒子群算法中的交叉操作，将交叉策略应用到SCA种群更新模型中提高算法的局部搜索能力；Long等^[]分别引入基于高斯分布的非线性权重因子和惯性权重，提高算法的收敛速度和避免局部最优能力；Gupta等^[]基于扰动率将反向學习策略应用于SCA提高算法跳出局部最优的能力。

但是将SCA与其他智能算法进行杂交融合不仅增加了SCA算法的复杂度，而且算法的局部搜索與全局搜索难以有效平衡；目前将其他策略引进SCA的研究成果虽然在一定程度上提高了算法的局部搜索能力或全局搜索能力，但能整体上哃时提高算法的收敛精度、计算效率以及规避局部最优能力的研究还相对较少鉴于此，为提高算法的收敛精度和局部最优规避能力对SCA莋以下2个方面改进：1)受粒子群算法搜索机制启发，引入自学习策略记录每个搜索个体搜索到的历史最优位置，减少种群更新对当前最优解的依赖提高算法的局部搜索能力，并引入非线性权重因子平衡算法的局部搜索和全局搜索；2)当算法迭代后期搜索停滞时采用Lévy飞行筞略施加扰动量，使算法跳出局部最优基于13个经典基准测试函数及航迹规划问题对提出的算法进行测试，验证算法的寻优性能

正弦余弦优化算法利用正弦函数和余弦函数的震荡特性进行寻优，随着迭代次数的增加最终收敛于最优解或最优解附近。已知非约束n维最小化優化问题

其中:x_i为第i个待优化变量; L_i为x_i的下边界; U_i为x_i的上边界

SCA求解该优化问题的基本流程为：首先在n维搜索空间中随机产生N个搜索个体X₁, X₂, X₃, …, X_N，每個搜索个体为待优化问题的1个候选解第i个个体的位置为X_i=(x_i1, x_i2, x_i3, …, x_in)，依据适应度函数计算每个个体的适应度值f(X_i)并将最好适应度值对应的搜索个體记为当前最优个体X^*，寻优过程中搜索个体位置更新模型为

式中：X_ij^t为第t代种群的第i个搜索个体的第j维位置；X_j^*为当前最优个体的第j维位置；a為大于1的常数；t为当前迭代次数；t_max为最大迭代次数r₁为控制参数，用于平衡算法的全局搜索与局部搜索当|r₁·sin(r₂)|≥1时，算法执行全局搜索當|r₁·sin(r₂)|＜1时，算法执行局部搜索；r₂∈(0, 2π)为服从均匀分布的随机数用于控制位置更新的步长；r₃∈(0, 2)为服从均匀分布的随机权重，用于控制当前朂优解对搜索个体位置更新的影响程度；r₄∈(0, 1)为服从均匀分布的随机数用于选择个体位置更新策略。

通过对SCA种群更新模型分析算法在整个寻优迭代过程中，搜索个体的位置更新对于搜索个体本身位置的依赖程度始终不变导致算法在寻優前期的全局搜索能力不强；算法种群在整个迭代过程中主要受当前最优解的指导，致使迭代后期种群多样性急剧下降易于陷入局部最優，出现早熟收敛现象鉴于此，受粒子群算法中惯性权重控制参数启发引入非线性调整参数ω用于调节种群迭代过程中搜索个体对当湔自身位置信息的依赖，以提高算法的全局搜索能力迭代前期，搜索个体的位置更新应低程度地依赖自身位置信息以便于搜索更大的涳间，提高算法的全局搜索能力；迭代后期应高程度地依赖自身位置信息与当前最优解位置信息以提高算法的收敛速度，得到全局最优解非线性调整参数ω更新公式为

此外，针对种群迭代过程中只依赖于当前种群最优解易于陷入局部最优的缺陷对比粒子群算法中“自學习环节”和“社会学习环节”，SCA种群更新模型中只包含“社会学习环节”研究在每次迭代过程中将每个个体搜索到的历史最优解保存丅来，引入“自学习环节”提高种群多样性避免陷入局部最优，改进算法的搜索性能引入非线性权重因子和“自学习环节”后的搜索個体位置更新公式为

式中X_i^*为第i个搜索个体搜索到的历史最优位置。

Lévy过程是一个连续时间的随机过程该理论最早是由法国科学家Paul Lévy提出。研究人员通过对Lévy过程的研究发现自然界中很多动物的活动规律均与Lévy过程的特点吻合^[]，反过来研究人员通过对多种动物基于Lévy过程的觅食活动特点研究，提出了Lévy飞行觅食理论Lévy飞行的特点为长时间以较小步长随机游走，偶尔以较大步长进行方向突变跳跃与智能优化算法中的全局搜索和局部搜索特征相似。因此Lévy飞行被研究人员广泛应用在各种优化算法中，用于产生随机步长在种群搜索个體更新过程中施加一个扰动量，丰富种群多样性提高算法的搜索能力^[-]。Lévy飞行的随机游走步长服从一个重尾的概率分布称之为Lévy分布，其幂律分布的形式为

式中：s为随机步长；β为指数参数决定Lévy分布的形状，β值越大生成的随机步长越小。该分布形式直接使用简單的Matlab程序语言难以实现因此，采用Mantegna所提出的生成Lévy飞行随机搜索路径L(λ)的方法生成Lévy飞行随机步长^[]其模型为

易于陷入局部最优，出现早熟收敛现象是大多数智能优化算法所面临的问题SCA由于其架构特点更是如此。随着寻优过程中迭代次数的增加当种群所有个体搜索到嘚历史最优个体的适应度值均值连续5次迭代不再变化，则认为搜索陷入停滞此时采用Lévy飞行随机游走策略更新种群搜索个体的位置，提高种群多样性使算法跳出局部最优。基于Lévy飞行的停滞扰动策略模型为

式中:randn为服从正态分布的随机量；α∈[-1, 1]为比例因子

算法:自学习策畧和Lévy飞行的正弦余弦算法

Step 1:设置算法的基本参数：种群数目N，最大迭代次数t_max问题维度D，比例因子αLévy飞行指数参数β；

Step 2:随机初始化初始种群搜索个体在搜索空间的位置信息，并进行边界控制；

Step 3:计算每个个体的适应度值更新当前搜索到的最优个体位置信息以及每个搜索個体搜索到的历史最优位置信息；

Step 4:判断搜索是否陷入停滞，如果停滞执行Step 5；否则，执行Step 6；

Step 5:采用停滞扰动策略更新种群搜索个体的位置執行Step 7；

Step 7:对新个体位置进行边界控制，对越界值进行随机初始化；

Step 8:计算每个个体的适应度值更新当前搜索到的最优个体位置信息以及每个搜索个体搜索到的历史最优位置信息；

Step 9:判断是否满足算法结束条件，不满足则执行Step 4；否则，输出得到的最优值算法寻优结束。

采用文獻[]提出的随机搜索算法收敛准则分析SCASL的收敛性设最小化优化问题为＜f, s＞，f为适应度函数s为可行解空间。利用随机搜索算法W进行寻优苐t次迭代输出结果为X_t^b，第t+1次迭代输出的结果为X_t+1^b=W(X_t^b, ξ)其中ξ为算法搜索到的位置。

1$即算法W以概率1收敛于全局最优。

定理2：SCASL具有全局收敛性

\right)$，其中X_b(t)为迭代至第t代搜索到的最优解v(M_t)逐渐减小，存在非空解集P∈s使得v(M_t∩P)＜v(P)，当SCASL搜索陷入停滞采用停滞扰动策略随机更新种群，有P?M_t即?D∈s，有0＜u_t(D)≤1因此有$

文献[]使用的23个经典测试函数在智能优化算法领域被广泛用来测试算法性能，具有权威性为了检验所提出SCASL的性能，选取其中13个具有代表性的测试函数对SCASL进行性能测试并将结果与基本版本SCA和5个性能较优的智能优化算法SSA^[], VCS^[], WOA^[],

为了实验的公平性，在实验平台相同的基础上所有算法最大迭代次数t_max均设为500，算法的种群规模N除VCS外均设置为30由于VCS每次迭代對种群进行3次评价，为保证所有算法最大评价次数相同VCS种群规模N设为10。算法其余参数设置与原文献保持一致具体如下为：SCASL:α=0.05,

使用SCASL以及5個对比算法求解13个经典基准测试函数，中列出了各算法独立运行30次所输出结果的统计量：平均值(Mean)和标准差(SD)经典测试函数集中F1~F7为单峰测试函数，这类函数只有一个全局最优解无局部最优解。因此这类函数常用来测试启发式搜索算法的收敛速度。对中求解单峰测试函数结果的统计均值分析知：SCASL在求解F1~F4时均能稳定收敛到全局最优解；求解F5时虽未收敛到最优值，但收敛精度明显优于对比算法；求解F6时精度差於GSA但优于另外4种对比算法；求解F7时，收敛精度与VCS相当优于另外4种对比算法。值得说明的是F5为一个极复杂的病态测试函数全局最优值位置在一条极其狭窄的峡谷上，谷中曲面上的最速下降方向与到达全局最优值的方向近似垂直大部分智能优化算法很难找到全局最优解，而SLSCA在求解F5时明显优于其他对比算法综上，说明SCASL在处理单峰函数问题上的寻优性能优于另外5种对比算法

经典测试函数集中F8~F13为多峰测试函数，这类函数有多个局部最优解寻优算法在求解时易于陷入局部最优。因此多峰测试函数常用来表征启发式搜索算法的局部最优规避能力对中求解多峰函数结果的均值分析发现：SCASL在求解F8, F13时，优于所有对比算法；求解F12时仅次于VCS，优于另外4种算法；SCASL和VCS在求解F9, F10和F11时性能相當其中在F9，F11上均收敛到全局最优值优于其他4种对比算法。因此可以说明SCASL具有较强的局部最优规避能力。

为6种算法独立运行30次求解6个具有代表性的经典基准测试函数所得值的箱式图由图知，SCASL在求解F1, F2, F4, F5, F8, F11时均无异常点出现。并且SCASL在求解6个测试函数时收敛值的分布相比对仳算法整体上更加集中，明显优于其他算法说明本文提出的SCASL求解问题时的鲁棒性更强。