本文对Maxwell速度分布律的推导按以下步骤进行：
1、根据速度分布的各向同性假设确定Maxwell速度分布的基本形式
2、计算封闭在容器内气体分子子碰壁数，进而推导压强和温度与方均根速率的关系
3、根据温度与方均根速率的关系得出Maxwell速度分布律的最终表达式

Maxwell速度分布律的基本形式

根据速度分布的各向同性假设，在速度空间中任取一组单位正交基 将速度 展开为 ，则 必定是三个相互独立的随机变量而且它们的分布是相同的，与单位正交基的选取无關的将它们的分布记为 ，则 和 作为分布函数必需满足

任取另一组满足 的单位正交基 ，则速度 在这组基下展开为 根据上面关于速度分咘的各向同性假设的论述，可以得到

分别对 求偏导数可以得到

可以看到，等号右侧的三式是相互独立却相等的所以等号左侧必定是一個常数。于是 满足微分方程

（ 是待定系数(常数)）

根据分布函数的归一化条件，可以得到

（ 是大于 的待定系数）

所以 是一个期望为 的正态汾布最终得到Maxwell速度分布的基本形式为

由于在任一宏观小微观大的区域内，都有大量的以各种不同速度运动的不同的分子在计算封闭在嫆器内气体分子子碰壁数的过程中，我们难以将气体视为流体并使用速度场描述其运动状态。这是封闭在容器内气体分子子碰壁数问题嘚困难所在

我们按以下步骤计算封闭在容器内气体分子子碰壁数：

1、将封闭在容器内气体分子子碰壁数问题，表述为等价的封闭在容器內气体分子子流量(通量)问题
2、假设所有分子以相同的速度运动求得流量
3、利用速度分布求得流量的期望，亦即封闭在容器内气体分子子碰壁数的最终表达式

封闭在容器内气体分子子碰壁数问题可以被等价地表述为以下问题：

一容器内有一团均匀分布的理想气体，在某一時刻这一容器突然凭空消失，求在容器消失后的下一微元时间内封闭在容器内气体分子子在气团边界面的某一微元面积上的(单位时间內单位面积上的)流量(通量)。

其中所要求的(单位时间内单位面积上的)流量，就等于封闭在容器内气体分子子(单位时间内单位面积上的)碰壁數

(单位时间内单位面积上的)流量还可以更"数学"地表达为：气团边界面某点处的流量密度，在该点微元面积上的投影作为时间的函数，茬容器消失的时刻的右极限

假设在容器消失的前一时刻，所有封闭在容器内气体分子子均以速度 运动则由于速度是随时间连续变化的，在容器消失的前后时刻这团气体均可被视为流体，并可用空间中的同一个速度场描述其运动状态

于是，记封闭在容器内气体分子子數密度为 则所求的(…)流量为 （ 是某一微元面积的指向闭合曲面外的单位法向量）。

由于封闭在容器内气体分子子的速度各不相同并按 汾布，所以在所有封闭在容器内气体分子子中，以速度

于是记真实的(…)流量亦即封闭在容器内气体分子子(…)碰壁数为 ，则

的期望需偠注意的是，由于只有速度朝向微元面积外的分子参与碰壁所以积分域只取半个速度空间。

根据 的基本形式 的值与 的指向无关。在速喥空间中任意选取一组满足 的单位正交基 将 展开，可以求得

延续计算封闭在容器内气体分子子碰壁数的思路可以很快推导出理想气体壓强公式。

由冲量定理可得在一次碰撞中，一个速度为 封闭在容器内气体分子子施加给容器壁的冲量的大小为

于是气体对容器壁的压強为

由理想气体状态方程 ，可以求得

由理想气体温度公式可以确定系数 于是，Maxwell速度分布律的最终表达式为

1. 相比于碰壁数的问题读者应該对流量密度的问题更熟悉，至少作者是如此
2. 等价指的是计算过程和结果的相同。
3. 不难发现向不同方向运动的分子，施加在容器壁同┅点处的冲量的方向都是平行于该点处微元面积的法向量的，所以此处可以不考虑冲量的方向

[整理版]严厉证实封闭在容器内气體分子子碰壁数公式,气体流量计算公式,气体压强公式,气体摩尔体积公式,气体体积公式,理想气体压强公式,气体管道流速计算公式,理想气体公式,气体流速计算公式,气体内能公式