${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}\underset{}{\overset{}{}}{}_{}$

称为（常数项）无穷级数简称（常数项）级数，其中${}_{}$un?成为一般项或通项

$\underset{}{\overset{}{}}{}_{}$

${}_{}{}_{}$${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}$

$$

• 级数中去掉、加上或改变有限项，敛散性不变

$\underset{}{}{}_{}0$

$\underset{}{\overset{}{0}}{}^{}{}^{}{}^{}$

叫做等比级数（几何级数）

$\underset{}{\overset{}{0}}\frac{{}^{}}{}\frac{}{}\frac{{}^{}}{}\frac{{}^{}}{}$

如果级数的每一项嘟大于等于零称级数${}_{}^{}{}_{}$

正数项级数收敛的充要条件是它的部分和数列{S _ n} 有界

2.2 正项级数的审敛法

∑n=1∞?vn?收敛，则${}_{}^{}{}_{}$∑n=1∞?un?收敛反之，若级數${}_{}^{}{}_{}$∑n=1∞?vn?发散

$\underset{}{}\frac{{}_{}}{{}_{}}$

• 0 ∑n=1∞?vn?，同敛散

• 0 ∑n=1∞?vn?收敛，有 ${}_{}^{}{}_{}$∑n=1∞?un?也收敛

• ∑n=1∞?un?发散，有 ${}_{}^{}{}_{}$∑n=1∞?vn?也发散

大的收敛，小的必收敛； 尛的发散大的必发散。

∑n=1∞?un?是正项级数如果

$\underset{}{}\frac{{}_{}}{{}_{}}$

• $$

• $$

• $$

∑n=1∞?un?是正项级数，如果

$\underset{}{}\text{exception 25:}$

• $$

• $$

• $$

p级数的比较审敛法可以获得

• 0

• 0

${}_{}^{}{}^{}{}_{}$∑n=1∞?(?1)nun?（正负交替出现的級数）

2.4 交错级数的审敛法

2.4.1 莱布尼兹审敛法

∑n=1∞?(?1)n?1un?满足条件：

${}_{}{}_{}$

$\underset{}{}{}_{}0$

2.5 绝对收敛与条件收敛

∑n=1∞?un?为任意项级数

∣∑n=1∞?un?∣收敛，则称其为绝对收敛

∣∑n=1∞?un?∣发散但${}_{}^{}{}_{}$∑n=1∞?un?收敛，则称其为条件收敛

0

3.2 收敛点与发散点

$0_{}{}_{}^{}{}_{}{0}_{}$x0?为函数项级数的收敛点

$0_{}{}_{}^{}{}_{}{0}_{}$x0?为函数项级数的发散點

0 $$

$\underset{}{\overset{}{0}}{}_{}{0}_{}{}^{}{0}_{}{}_{}{0}_{}{}_{}{0}_{}{}^{}{}_{}{0}_{}{}^{}$

4.2 幂级数收敛定理——阿贝尔定理

0 0 0 x=x0?(x??=0)时收敛，则对满足不等式$0_{}$x幂级数都收敛，并且是绝对收敛

0 0 0 x=x0?(x??=0)时发散，则对满足不等式$0_{}$

• 幂級数的收敛域在发散域的内部

• 0 (?R,R) 内收敛且绝对收敛。

4.3 收敛半径与收敛域的计算

0 ${}_{}\text{exception 25:}$+∞）那么他的收敛半径为：

• 0

• 0

• 0

4.3.2 求幂级数收敛域的基本步骤

0 0

0 0 ∑n=0∞?an?xn,∑n=0∞?bn?xn的收敛半径分别为${}_{}{}_{}$R1?,R2?，其和函数分别为${}_{}{}_{}$

$\underset{}{\overset{}{0}}{}_{}{}^{}\underset{}{\overset{}{0}}{}_{}{}^{}\underset{}{\overset{}{0}}{}_{}{}_{}{}^{}{}_{}{}_{}$

$\underset{}{\overset{}{0}}{}_{}{}^{}\underset{}{\overset{}{0}}{}_{}{}^{}{}_{}{}_{}$

${}^{}\underset{}{\overset{}{0}}{}_{}{}^{}{}^{}\underset{}{\overset{}{}}{}_{}{}^{}$

且收敛半径不变但端点的敛散性可能会变。

$0_{}^{}{0}_{}^{}\underset{}{\overset{}{0}}{}_{}{}^{}\underset{}{\overset{}{0}}\frac{{}_{}}{}{}^{}$

且收敛半径不变但端点的敛散性可能会变。

$0_{}{}^{}{0}_{}{0}_{}\frac{{}^{}{0}_{}{0}_{}{}^{}}{}\frac{{}^{}{0}_{}{0}_{}{}^{}}{}\underset{}{\overset{}{0}}\frac{{}^{}{0}_{}{0}_{}{}^{}}{}$

0 0 x0?=0时称级数为麦克劳林级数：

$0{}^{}0\frac{{}^{}0{}^{}}{}\frac{{}^{}0{}^{}}{}\underset{}{\overset{}{0}}\frac{{}^{}0{}^{}}{}$

0 x0? 的某一邻域内具有各阶导数，则 $$f(x) 在该邻域内可展开为泰勒级数的充要条件是

$\underset{}{}{}_{}0$

5.4 函数幂级数的唯一性

如果函数可展开为幂级数则展开式是唯一的。

利用泰勒展开式成立的条件检验其是否存在

利用泰勒展开式直接写出函数的幂级数展开式

利用已知的幂级数展开式通过幂级数的运算法计算

${}^{}\underset{}{\overset{}{0}}\frac{}{}{}^{}$

$\underset{}{\overset{}{0}}\frac{{}^{}}{}{}^{}$

$\frac{}{}\underset{}{\overset{}{0}}{}^{}{}^{}$

$\underset{}{\overset{}{}}\frac{{}^{}}{}{}^{}$

$\underset{}{\overset{}{0}}\frac{{}^{}}{}{}^{}$

$$

[?π,π]上正交，就是指在三角函数系中任意两个不同的两个函数的乘积在 $$[?π,π] 上的积分等于零即满足

${}_{}^{}\begin{array}{c}0\\ \end{array}$

${}_{}^{}\begin{array}{c}0\\ \end{array}$

${}_{}^{}0{}_{}^{}{}_{}^{}0$

$\frac{0_{}}{}\underset{}{\overset{}{}}{}_{}{}_{}$

${}_{}\frac{}{}{}_{}^{}$

${}_{}\frac{}{}{}_{}^{}$

7.2 傅里叶级数的收敛定理（狄利克雷充分条件）

2π 的周期函数，如果它满足

• 在一个周期内连续或只有有限个第一類间断点

• 在一个周期内至多只有有限个极值点

f(x) 的傅里叶级数收敛并且

f(x) 的连续点时，级数收敛于$$

f(x) 的间断点时级数收敛于$\frac{}{}{}^{}{}^{}$

[?π,π]上有定义苴满足收敛定理的条件，我们可以将其在定义域外补充它的定义使它拓广成一个周期为$$φ(x)，然后就可以将$$φ(x)展开为傅里叶级数最后将其限制在$$

7.4 正弦级数和余弦级数

奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数

偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数

7.5 奇延拓与偶延拓

0 [0,π]上且满足收敛定理的条件

$\begin{array}{ccc}& & 0\\ & 0& 0\\ & & 0\end{array}$

f(x)的正弦级数展开式

$\begin{array}{ccc}& & 0\\ & & 0\end{array}$

f(x)的余弦级数展开式

7.6 一般周期函数的傅里叶级数

f(x)满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为

$\frac{0_{}}{}\underset{}{\overset{}{}}{}_{}\frac{}{}{}_{}\frac{}{}$

${}_{}\frac{}{}{}_{}^{}\frac{}{}$

${}_{}\frac{}{}{}_{}^{}\frac{}{}$

$\frac{}{}{}^{}{}^{}$