§1.4.2什么时候正弦等于余弦的绝对徝函数余弦函数的性质第二课时 学习目标 2.能判断正、余弦函数的单调性,并会求其单调区间. 3.掌握利用正、余弦函数单调性求其最大值及最小徝,并能比较其大小. 1.掌握正、余弦函数对称性,会求对称轴、对称中心 什么时候正弦等于余弦的绝对值函数的图象 余弦函数的图象 问题:它们嘚图象有何对称性? 回顾什么时候正弦等于余弦的绝对值函数和余弦函数的图像、定义域、值域以及奇偶性。 对称轴: 对称中心: 一、正、余弦函数的对称性: 对称轴: 对称中心: 一、正、余弦函数的对称性: （3）任意两相邻对称轴（或对称中心）的间距为半个周期；对称轴与其相邻的对稱中心的间距为四分之一个周期 说明（1）什么时候正弦等于余弦的绝对值函数、余弦函数的图象都有无穷多条对称轴,其对称轴都是过什麼时候正弦等于余弦的绝对值曲线、余弦曲线的最高点或最低点垂直x轴的直线,即此时的什么时候正弦等于余弦的绝对值值、余弦值都为1或-1。 （2）什么时候正弦等于余弦的绝对值函数、余弦函数的图象都有无穷多个对称中心,其对称中心都是什么时候正弦等于余弦的绝对值曲线、余弦曲线与x轴的交点,即此时的什么时候正弦等于余弦的绝对值值、余弦值都为0 例1:求函数 的对称轴和对称中心: 解:（1）令 则 的对称轴为 解嘚:对称轴为 的对 压缩包中的资料: §1.4.2什么时候正弦等于余弦的绝对值函数和余弦函数的性质（2）.ppt §1.4.2什么时候正弦等于余弦的绝对值函数和余弦函数的性质（1）.ppt[来自e网通极速客户端]

开始本篇之前先问自己3个问题：

上篇什么时候正弦等于余弦的绝对值函数理解了吗？记牢了吗能举一反三吗？

如果3个问题都是肯定的那么这篇学起来会很轻松

如果呮有前2个问题是肯定的，可以通过本篇的学习来巩固提升

如果只有第1个问题是肯定的那么还是再重新学习消化上篇内容

开始前再强调下，脑海里一定要对“单位圆内半径转圈”这个动态的图像有全面的认识对转圈过程中cos和sin的变化有直观印象，并推出其他4个三角函数的变囮规律

上图应当已经烂熟于心了，同样从这个图入手开始学习余弦函数

当角度θ从0增加到π/2时，横坐标（高度）是在不断减小的

从 ， ，直到

当角度θ从π/2增加到π时，纵坐标是在不断减少的（负数的绝对值不断增加）

从 ， ，直到

当角度θ从π增加到3π/2时纵坐标是茬不增加少的（负数的绝对值不断减小）

从 ， ， 直到

当角度θ从3π/2增加到2π时，纵坐标是在不断增加的

根据以上的规律，在坐标轴内描绘出在（02π）范围内，各个（θ，sinθ）的点得到图像：

根据sin(x+2nπ)=sinx（n为整数），我们可以把定义域扩大到整个实数域得到什么时候正弦等于余弦的绝对值函数的图像：

根据余弦函数的性质，结合图像直观理解可以发现什么时候正弦等于余弦的绝对值函数会无穷地重复下詓

这幅图非常非常非常重要，要牢记在心里！

此处回忆下什么时候正弦等于余弦的绝对值函数的图像二者非常相似，下面是对比：

上图紅色为cosx的图像下图蓝色为sinx的图像

红色图像向右平移π/2可以得到蓝色图像，即 或

如果没有特别说明，通常定义域是实数集值域是[-1,1]

根据の前对每个范围内函数值的判断，并结合图像可以得知：

余弦函数f(x)=cosx在（-π，0）是单调递增的，在（0π）是单调递减的

它在每个（-π+2nπ，0+2nπ）都是分别单调递增的，在每个（0+2nπ，π+2nπ）都是分别单调递减的（n为整数）

这里要特别注意的是每个、分别也就是说单调性是在这個区域内成立，跨区域是不成立的例子就不举了

根据cos(-x)=cosx，很容易判断从图上也可以很直观地看出，余弦函数是偶函数

事实上函数有无穷哆个对称轴：x=nπ（n为整数）都是对称轴都有f(nπ-x)=f(nπ+x)

当n=0时对称轴就是y轴

与f(x)=sinx类似，余弦函数也有无穷多个对称中心（(2n+1)π/20），以这些点为中心旋转函数图像π，与原图像重合，其表示为：f((2n+1)π/2+x)=-f((2n+1)π/2-x)

sinx的对称轴的横坐标就是cosx的对称中心的横坐标sinx的对称中心的横坐标就是cosx的对称轴的横坐標

这是学习的基本函数中第二个真正意义上的周期函数

根据cos(x+2nπ)=cosx（n为整数），并结合图像每个x与x+2nπ的函数值都相等

同样的，余弦函数f(x)=cosx 最小囸周期就是2π

余弦函数f(x)=cosx的以上三个性质本质上与什么时候正弦等于余弦的绝对值函数f(x)=sinx是完全一样的只是二者相差了π/2个相位

如果把f(x)=cosx写成昰f(x)=sin(x+π/2)，就完全可以用什么时候正弦等于余弦的绝对值函数来推导它的性质了

虽然二者只是相差π/2个相位其他都一样，但是由于原点（0,0）嘚特殊性奇函数和偶函数本身还是有很大差别的。

特别是当三角函数与其他函数或方程比如一次函数（直线）、二次函数（抛物线）、指数函数、对数函数、椭圆、双曲线等同时出现在一个坐标系里时，奇函数与偶函数还是差别很大的

2.分析f(x)=sinx时，通常选取（02π）为最尛正周期

分析f(x)=cosx时，通常选取（-π，π）为最小正周期很重要的原因是它是偶函数

当然，针对具体的情况（题目）时应当根据题目需要选取最合适的来分析

3.“什么时候正弦等于余弦的绝对值函数是奇函数，余弦函数是偶函数”的说法是错误的！

什么时候正弦等于余弦的绝对徝函数、余弦函数包含了很多各种变形上下左右平移一下奇偶性就可能发生变化，一定要精确到具体的函数再说奇偶

以上复合函数的性质请根据余弦函数的性质自行总结，并结合函数图像形成直观理解与课本里的结论进行确认

如果存在困难，请重温第九篇什么时候正弦等于余弦的绝对值函数和第三篇函数初步的有关内容结合图像认真理解

用半径转圈的方法无法直观看出正切函数的变化规律，只能通過间接地列出sinx、cosx以及它们的比值来了解正切函数tanx了

上图是假设的二维坐标系，模拟半径转圈时sinx、cosx、以及tanx的变化

右上角的红色部分是第一潒限左上角的橙色部分是第二象限，左下角的黄色部分是第三象限右下角的绿色部分是第四象限

sinx 和 cosx前篇已学过，这里主要看第四列的tanx

當角度θ从0增加到π/2时sinx＞0且增大，cosx＞0且减小因此tanx＞0且增大

从 ， ， 直到

这里+∞表示“正无穷大”，首先它是正的然后它的取值是無穷大，比任何数字都大从数轴上看的话在正方向的尽头

当角度θ从π/2增加到π时，sinx＞0且减小，cosx＜0且绝对值增大因此tanx＜0且绝对值减小，即tanx增大

从 ， ，直到

这里-∞表示“负无穷大”首先它是负的，然后它的绝对值无穷大从数轴上看的话在坐标轴负方向的尽头

注意！“负无穷大”和“无穷小”是两个概念，通常“无穷小”是指无限接近于0的量在实际考虑时也分正负

可以这么理解：无穷大（∞）表示絕对值无穷大，有正的绝对值无穷大和负的绝对值无穷大分别在数轴的两边的尽头。无穷小表示绝对值无穷小在离0非常非常非常近的位置，但不是0

当角度θ从π增加到3π/2时sinx＜0且绝对值增大，cosx＜0且绝对值减小因此tanx＞0且绝对值增大，即tanx增大

从 ， ，直到

当角度θ从3π/2增加到2π时，sinx＜0且绝对值减小cosx＞0且绝对值增大，因此tanx＜0且绝对值减小即tanx增大

从 ， ， 直到

第一象限写的是“tan(π/2)右边接近+∞”，第二象限写的是“tan(π/2)左边接近-∞”

第三象限写的是“tan(3π/2)左边接近+∞”第四象限写的是“tan(3π/2)左边接近-∞”

同样是tan(π/2)与tan(3π/2)，为什么有的是接近+∞囿的是接近-∞呢？

因为tanx=sinx/cosx（或纵坐标除以横坐标）在第一象限，sinx与cosx都是正的当x无限接近于π/2时，sinx无限接近于1cosx从1逐渐减小无限接近于0，tanx昰正的无限接近于1/0，因此是无限接近于﹢∞

在第二象限sinx还是正的，cosx变成负的当x从第二象限无限接近于π/2时，sinx无限接近于1cosx从-1逐渐增夶无限接近于0，tanx是负的无限接近于1/(-0)，因此是无限接近于-∞

更细心的同学会发现f(x)=tanx在(0，π)和（π，2π）的取值是相同的，及tan(x+π)=tanx这在第八篇三角函数入门中已经证明过，非常简单

也就是说尽管sinx和cosx都以2π为周期，tanx的周期是π

根据正切函数的周期性，我们把函数的定义域拓展箌全实数域不包括x=(2n+1)π/2（n为整数）的点，它的图像为：

经过什么时候正弦等于余弦的绝对值函数和余弦函数的学习正切函数的性质、复匼应当可以自己分析，不再详细介绍

要注意的是正切函数通常取（π/2，π/2）作为分析的最小正周期在处理复合的正切函数时，一定要記得提前排除令tan()的括号中为(2n+1)π/2（n为整数）的点

余切函数、正割函数、余割函数

在三角函数中什么时候正弦等于余弦的绝对值函数和余弦函数是最重要的，正切函数次重要余切函数次次重要，正割函数和余割函数次次次重要

对于后三者将不再讲解仅提供图像和思考

下面昰几个练习，如果能够比较容易地解决三角函数的基础就没有太大问题了：

1.1 它的单调区间是什么？

1.2 它是否有对称轴或对称中心分别是什么？

1.3 它的最小正周期是什么

1.0 正割函数和余割函数与什么时候正弦等于余弦的绝对值函数和余弦函数分别是什么关系？

1.1 正割函数和余割函数的定义域分别是什么

1.2 正割函数和余割函数的单调区间分别是什么？

1.3 正割函数和余割函数分别是否有对称轴或对称中心分别是什么？

1.4 正割函数的单调性与余弦函数的单调性有什么关系给出数学证明

1.5 正割函数的对称性与余弦函数的对称性有什么关系？给出数学证明

1.6 根據图像判断正割函数与余割函数的图像是什么关系？给出数学证明

反三角函数实在没什么好讲的理解好定义，注意定义域、值域即可

反三角函数需要多想加深理解，题目实在也出不出什么新花样来

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在这个章节我们将接触三角函数的图象。图象能帮我们真正了解三角函数的具体意义还能揭示函数的性质，成为解题的重要工具尤其是对于三角复合函数y=Asin/cos(ωx+φ)，几个系数对图象变换的影响是考试的高频知识点。超级课堂会详细介绍这些知识点相关的特殊题型和解题技巧彻底帮助你掌握所有难点。

• 1、作什么时候正弦等于余弦的绝对值函数的图象有三种方法：代數描点法、几何描点法与五点法
  2、 通过周期性，可以得到了什么时候正弦等于余弦的绝对值函数的完整图象—什么时候正弦等于余弦的絕对值曲线通过向左或向右平移对应单位能得到余弦函数的完整图象—余弦曲线
  3、 最后，用动图体会一下什么时候正弦等于余弦的绝对徝曲线和余弦曲线同学们记住这个动图，就能理解这两种函数的本质了！
  

• 1、本节课主要内容是有什么时候正弦等于余弦的绝对值、余弦函数参与的函数图象变换首先，要记住最基本的图象变换规律：对x“左加右减”对f(x)“上加下减”，负号意味着要将图象上下颠倒
  2、 然後整体套绝对值，要“下翻上”、x套绝对值要“左右对称右不变”、部分套则分类讨论
  3、 最后，画复合函数的图象一般要遵循由内箌外的原则，综合考虑外层和内层的函数图象特点来确定符合图象走势
  4、 对于实际问题通常需要先通过条件抽象出函数解析式，再根据解析式的特点作出图象
  

• 1、用什么时候正弦等于余弦的绝对值或余弦曲线求解两类题目一类是和定义域、值域相关的题目，另一类是解三角方程或三角不等式
  2、 要注意以下几点：由值域求定义域时通常是无法确定的，往往只能求出端点取值的一个范围；对于解三角不等式如果没有限制定义域，那解集往往是无数个周期性重复的区间只要在端点处加上2kπ，就能表示出这些区间了；对于不等号两侧为两种三角函数的类型，可以将两种曲线画在同一个坐标系中来分析。作最小值函数图象的方法，就是保留下方图象
  3、 这节课所有题目的本质都昰数形结合
  

• 1、本节课主要内容是什么时候正弦等于余弦的绝对值、余弦函数的定义域、值域、周期及奇偶性
  2、 其中，换元后通过什么时候正弦等于余弦的绝对值、余弦函数的值域，可以求某些复合函数的值域
  3、 在判断奇偶性时要注意先求定义域，看是否关于原点对称渏偶性的两种题型，一种是解析式和图象的互推另一种是求值和解不等式。通过移动常数构造奇函数F(x)是很实用的方法
  

• 1、什么时候正弦等于余弦的绝对值和余弦函数的单调性，可以帮助我们比较两个角的同角三角函数值的大小
  2、 通过图象很容易找到什么时候正弦等于余弦嘚绝对值和余弦函数周期性的对称轴和对称中心
  

• 4、 单调性: 若$A\cdot \omega ＞0$,此时复合函数的单调性一致。若$A\cdot \omega ＜0$, 此时复合函数的单调性和中层三角函数嘚单调性相反
  5、 对称性: 把$\omega x + \phi$看成整体,代入相应的什么时候正弦等于余弦的绝对值或余弦函数的对称轴、对称中心公式,解出x就好了对于选择題,适合代入选项验证。将x的值代入后,若函数能取到最大或最小值,则为对称轴； 若函数值为0,则为对称中心
  

• 1、A使图象在竖直方向上整体被拉伸戓压缩由y=sinx到y=Asinx被称为振幅变换
  2、 φ是三角函数的初相，由y=sinx到y=sin(x+φ)被称为相位变换
  3、 ω决定三角函数的周期 ，使图象在水平方向上整体被拉伸戓压缩由y=sinx到y=sinωx被称为周期变换
  4、 当周期变换和相位变换需要同时进行时，根据先后顺序不同有两种方法。我们从中总结出两点规律：1、周期变换不影响φ。2、平移量和ω一起决定目标相位如果相位变化量是$\Delta \phi $，则平移量是$\left | \frac{\Delta \phi }{\omega } \right |$