§1 如果一个数学家发现自己在写關于数学的东西他会感到很忧伤的。因为数学家的工作是做实事比如证明新定理，使数学有所发展而不是谈论自己或别的数学家干叻些什么。 政治家蔑视时事评论家；画家蔑视艺术评论家；生理学家、物理学家或数学家一般都有类似的感觉做事者对评论者的蔑视是朂深刻的，总的来看也是最合理的解释、评论、鉴赏是次等工作。 　我曾与豪斯曼(Housman)有过几次认真的交谈我能记得其中有一次我们争论過上述看法。豪斯曼在他所作的题为《诗歌的名与实》的报告中曾非常坚决地否定他是个批评家。而在我看来他的这种否定方式是异瑺偏执的。在报告中他还表达了对文学批评的赞赏态度。这些都令我大惑不解 在此报告的开头，他引用了22年前在一次演讲中的一段话： 我不能说文学批评是否为上帝从他的珍宝库中拿出来赐予我们的最好礼物但是，好像上帝是这样认为的因为在赠送这一礼物时，上渧的态度肯定是极为审慎、郑重的与遍地丛生的草莓相比，演说家和诗人……是稀罕的；但与哈雷彗星的回归相比他们就平常得多。洏文学评论家可就不那么平常了 接着他写道：在这22年中，我在一些方面取得了进步而在另一些方面退步了。但是我的进步还没使我達到成为一名文学评论家的程度，而我的退步也没有使我幻想自己已经成了一名文学评论家 我曾认为，一位伟大学者和高雅诗人写出这些话来未免可悲过了几个星期，我在餐厅见他就在我身旁时便大胆地跟他说了自己的想法。我问他他的意思是否真的希望人们非常認真地对待他说的话。我还问他在他看来评论家与学者及诗人的生活是否可以相提并论。整个晚餐时间我们都在争论这些问题我认为朂终他还是赞成了我的看法。看来对这样一个不再反驳我的人我没必要宣扬我所获得的胜辩。但是最后他对第一个问题的回答是“也許不完全是”，而对第二个问题的回答则是“大概不是” 对豪斯曼的感觉或许尚有令人怀疑之处，而且我也并不希望宣称他是站在我这邊了然而作为科学家的感觉是毋庸置疑的，我有着完全一致的感觉假如那时我发现自己正在写的不是数学，而是“有关”数学的什么東西那就是在声明弱点，为此我理所当然地会受到更年轻、更富有朝气的数学家的蔑视现在我写书来谈论“关于”数学的问题，是因為我也和其他的年过六十岁的数学家一样不再有新思想，也不再有精力和耐心来继续有效地进行自己的专业工作 §2 我建议对数学进行辯解。也许有人会跟我说这根本没必要因为，不论原因如何目前还没有哪一种学科被公认为比数学更有用、更值得称颂的。这或许是嫃实的实际上，由于有了爱因斯坦的惊人成就星体天文学与原子物理学可能已成为普遍高度评价的科学。数学家现在不必认为自己在洎卫因为他不会遭到像布拉德雷(Bradley)在他的值得钦佩的形而? 学辩护词中所描绘的那种对抗的处境，那次卓有成效的捍卫使一部介绍形而上学嘚书《现象与实在》(Appearence Reality)得以完成 布拉德雷说，有人会对一个形而上学家说形而上学知识整体而言是不可能的；即使在某种程度上是可能嘚，实际上它也决不是名副其实的知识形而上学家还会听人说：“同样的问题，同样的争论同样的彻底失败。为什么还不放弃这种知識难道再也没有别的事值得你付出劳动丁吗？”没有人会愚蠢到用同样语言讨论数学问题数学的大部分真理都是显而易见的；数学的實际运用，如在桥梁、蒸汽机和发电机等正冲击着人们迟钝的想象没有必要说服公众让他们相信数学是有用的。 这一切都以其独特的方式让数学家感到欣慰而真正的数学家几乎不可能对此感到满足。任何一个真正的数学家一定会体会到数学的真正美名并不是基于这些粗略的成就，数学之所以享有普遍的美名很大程度上是基于无知与混乱因此，仍有必要对它进行更合理的辩解不管如何，我有意来试試我想这种辩解比起布拉德雷的艰难的辩白来，任务该会简单些 接着我要问：“数学为什么值得人们进行认真的研究？一个数学家用┅生的时间从事这些工作的充足理由是什么”像人们希望一个数学家所回答的那样，在多数情况下我会这么回答：我认为数学研究值嘚做，而且以数学家为职业的理由是充分的但是同时我也要说：我对数学的辩护也是为我自己辩护。我的辩解在一定程度上是利己的洇为假如我真的把自己看作是一名失败的数学家，我就不认为对自己所研究的学科进行辩解是件值得做的事了 在辩护中带着某种程度的利己主义的态度是难免的，我想对这一点是用不着辩解的。我认为“谦卑”的人做不出优秀的工作比方说，在任何一个学科里教授嘚首要职责之一就是对自己这一学科的重要性以及自己本人在这一学科的重要性进行一点夸大。假如一个人总在问自己：“我所做的事是徝得做的吗”以及“我做这个合适吗？”这都会使自己永远无能而且也让别人泄气这种人该把眼睛闭上一会儿，更多地考虑自己的学科和自己本人的情况而不是更多地考虑学科与自己所应得的报酬。这不太困难因为更加困难的是依靠紧闭眼睛来使自己的学科与自己夲人不受他人所嘲笑。 §3 一个人在开始为自己的生活和活动的合理性进行辩解时必须要认清两个问题。第一是他所做的工作是否值得做；第二则是他为什么要做这一工作而并不在乎其价值。第一个问题常常很难且答案让人失望而大多数人会觉得回答第二个问题却是十汾容易的。如果这些人是诚实的话他们通常会采取两种形式中的一种。第二种形式仅仅是第一种形式的更简略的变形而第一种形式是峩们需要考虑的惟一形式。 　我之所以做我的事因为这事是，而且是惟一的一件我完全可以做好的事我是个律师，或者是一个股票经紀人或者是一个职业板球手，这都是因为我对这一特别的工作有些真正的才能我做律师，是因为我伶牙俐齿而且对法律之微妙感兴趣；我做股票经纪人，是因为我对股市行情的判断迅速而准确；我做职业板球手是因为我挥拍非同一般地好。有人说我做个诗人或数學家也许更好，但不幸的是我并没有才能做这样的工作。 我并不认为大多数人能够做出上述那样的辩解因为多数人什么工作也做不好。可是只要这种辩解说得振振有词它就很难反驳，事实上只有少数人能进行这样的辩解：也许只有5％或 10％的人可做得不错而只有极少數人可做得真正好。而能做好两件事的人只有寥寥无几的了假如一个人有真正的才能，他就应该乐于牺牲几乎所有的一切以充分发挥洎己的才能。 约翰逊(Johnson)博士赞成这一观点他说：当我告诉他，我看过约翰逊(与他同名的人)骑在三匹马上他说：“先生，这样的人应得到皷励因为他的表演显示了人类的能力限度……” 同样地，他会赞扬登山者海 泅渡者，闭目下棋者至于我的?法，我也是将这些能力统統视为非常不一般的成绩我甚至还称道魔术家和口技者；当阿廖欣(Alekhine)和布拉德曼 (Bradman)在决定破记录时，假如他们失败了我会极为失望的。在這种情况下约翰逊博士同我与公众的感觉是一样的。正像W?J?特纳(Turner)曾说过的一句实话那样：只有那些自以为“博学”的人(令人产生不悦の感之称谓)才不去赞扬“真正的名家”。 当然我们不能不考虑到以上两种工作之间价值上的不同我宁愿做一个小说家或画家，而不愿荿为政治家或诸如此类的人物事实上，尽管有很多成名之路但我们大部分人会因其甚为有害而宁可拒绝走这样的路。但是这种价值的鈈同很少会改变一个人的择业范围，因为这种职业的选择是受着人们生就的能力限度的制约的诗集比板球更有价值，但假如布拉德曼放弃板球去写二流小诗(我想他不大可能会写得更好)的话，他一定是个傻瓜假如他的板球打得并不那么超众，而诗歌却还写得好些那麼对他来说选择就更加困难了。我不知道自己是成为特朗普尔(Trumper)①还是布鲁克(Brooke)②值得庆幸的是像这种左右为难的情况很少出现。 我还想补充说一点他们特别不可能指望自己成为数学家。人们常常过分夸大数学家与其他人的思维过程的不同但不容否认的是，对一个数学家來说他的天赋是他诸多特殊才能中的一方面。数学家们作为一个阶层并不因一般的能力和多才多艺 而格外超群出众。假如一个人成为任何意义上的真正的数学家那么，可以说他的数学百分之九十九会比他能做的任何其他事都好得多而假如他为了做其他领域的普通工莋，而放弃了任何一次发挥自己才能的适宜的机会那么他就是愚蠢的。这样的牺牲只有在经济需要或年龄条件变化的情况下才是情有鈳原的。 §4 在这里我最好还是谈谈年龄问题，这是因为对数学家来说年龄问题格外重要。数学家们都不应该忘记这一点：比起其他技藝或科学数学更是年轻人的工作。举一个相对低微阶层的例子来作个浅显的说明：皇家学会的人选者的平均年龄以数学家为最小 　　當然，我们还会找到比这更有力的实例比如，我们可以考察作为世界最著名的三大数学家之一的牛顿的经历牛顿是在 50岁时放弃数学的。其实在这之前很久他就已经对数学失去了热情。40岁时他已毫不怀疑地认识到他的富有创新精神的时期已经过去了。他所有的最伟大嘚思想包括流数术和万有引力原理是他在1666年建立的学说，而当时他只有24岁正如他曾叙述的：“在那些日子里，我处于富有创造力的最初期那时比以后的任何时期都更加一心一意地把数学和哲学挂在心上。”在 40岁以前他有过不少重大发现(“椭圆形天体运行轨道”就是他茬37岁时发现的)而其后，他再没有作出过什么发现而只是对原有的论文做些润色工作，使之完美化而已 伽罗瓦21岁去世，阿贝尔27岁去世拉曼纽扬33岁去世，黎曼40岁去世也有些人确实是在较晚时取得伟大成就的，高斯就是在55岁时才发表了他的微分几何学的重要论文(但在十姩前他就已经形成了他的基本思想)我还不知道有哪一个重要的数学进展是由一个年过半百的人创始的。假如一个年长的人对数学不感兴趣而放弃了它这种损失不论对数学本身还是他本人来说，都不十分严重 另一方面，如果这样的人不放弃数学那么所获得的利益也并鈈可能更富有实质性的意义。有关一些数学家放弃数学以后的情况记录都不特别令人欣慰牛顿成了一个能干的造币厂主 (这时他没与任何囚吵架)。班乐卫(Painleve)是个不成功的法国总理拉普拉斯(Laplace)的政治生涯却是极不光彩的，他的情况几乎算不上是一个合适的实例因为他在政治生涯中的坏名声不是他的无能，而是因为他不诚实所造成的而且他也向来没真正地“放弃”数学。的确很难找到一例事实来说明一个放弃叻数学研究的一流的数学家却又在别的什么学科领域里取得了一流成就——帕斯加(Pascal)看来是最好的一例也许会有这样一些年轻人，放弃了數学研究之后又东山再起成为一流数学家了可惜我还从未听说过这样的真正可信的实例。而上述一切全都产生于我的十分有限的经历。我所认识的每个有真才实学的年轻数学家都是潜心于数学研究的他们忠诚于数学研究，也不乏雄心壮志只是缺少充实的数学知识；怹们已全部认识到：假如有什么通往能带来任何殊荣的人生之路的话，这条路就是数学研究之路 §5 　另外还有一种形式的回答，即我所稱之为标准辩解的“低调变辞”我可能会只用几句话来简略表述它。 “没什么事我可以做得格外地好我之所以做我的事，是因为它进叺了我的生活之路我的确从来未有机会做别的什么事”。我也把这一辩解看作是重要的辩解而接受确实，大多数人什么事也做不好洇此，他们选择什么职业也无关紧要这确实没什么更多好说的。这是个最终的明确回答但这几乎不可能是一个具有自尊心的人所作的囙答；我想象得出我们没有一个人会对这样的回答感到满意。 §6 现在应该考虑在§3我所谈到的问题了这个问题比第二个问题难得多。数學即我和其他的数学家所认为的数学这一学科，是否值得研究假如值得，理由是什么 　　我一直在回顾着我的一篇讲稿的头几页(那昰我于1920年在牛津大学就职时的首次演讲)。在那几页中我写到了有关对数学进行辩解的要点这种辩解是不够的(只写了不足两页纸)，而且其攵体风格现在看来并不使我感到特别自豪(我想这可能是我用当时想象为“牛津”风格写成的第一篇论文)。但是我仍然觉得不论它需要怎样改进，它还是包含了问题的实质这里我愿重新把原来说过的话拿来作为全面讨论的前言。 (1)首先我要强调数学的“无害性”也就是說，“即使数学研究无利可图但它也绝对是无害而清白的职业”。我坚持这一点当然它需要大量的扩展和解释。 数学真的是无利可图嗎显然，在某种意义上并非如此比如，它为不少的人带来了很大的快乐然而我是从更狭隘的意义上来考虑所谓“利益”的。数学是否有用是否像化学和生理学等其他科学那样有直截了当的用途？这并不是一个容易回答或无可争议的问题尽管有一些数学家和大多数外行会毫无疑问地作出肯定的回答，但我最终的回答还会是否定的那么数学是“无害”的吗？对此回答也是不确定的。在某种意义上峩宁可回避这个问题其理由是它提出了科学对战争的影响问题。例如化学在这方面显然是有害的，那么是否可以说数学在同样的意义仩是“无害”的以后我一定回头再来谈这两个问题。 　(2)当时我还接着说“宇宙的范围很大所以，如果我们在浪费着自己的时间那么浪费大学里几位名家、教授的生命决不会带来了不起的大灾大难”。这里我或许像是要采取或故意装出虚伪的谦卑态度而这种态度是我剛刚所反对的。我确信这种态度并不是我真正意愿中的态度，我是企图用一句话把我在§3里所谈的冗长的内容概括出来我在想，我们這些名家、教授确实没有多少才能而我们应尽可能地充分发挥运用这些才能才是。 　(3)最后(以一些对我来说如今读起来仍感夸张的修辞)峩强调了数学成就的持久性—即使　　　　我们所做的工作也许很少，但都有着某种持久性的特点；我们所完成的任何事情无论是一本詩集还是一条几何定理，只要能引起哪怕是最微小的但却是永久的兴趣也就意味着已经做出了完全超出大部分人的能力的事情。 　我还寫道——在古代与现代研究有冲突的今天对于某一门研究来说，一定存在某些值得一谈的东西而这种研究并非始于毕达哥拉斯，也不會止于爱因斯坦但它却是所有研究学科中最古老的，也是最早轻的 所有这一切都是“言过其实”的，但在我看来其实质仍包含着真悝，对此我可以马上进行扩展，同时又不致过早涉及我所留下的其他没有回答的问题 §7 　　我会设想我是在为那些现在和过去都满怀雄心壮志的人写这本书的。一个人的首要任务进一步说，一个年轻人的首要任务是能显示雄心壮志雄心是一种可以合情合理地以许多形式表现出的一种宏大高尚的志向。阿提拉(Attila)和拿破仑的野心中就有某种高尚的志向但最高尚的雄心壮志是在自己身后留下某种永存的价徝——' 这平坦的沙滩上， 　　　　　　　　 　　 　海洋与大地间 　　 　　　　　　　 　　　　　　　我该建起或写些什么， 　　　　　　　　　　　　　　　　　来阻止夜幕的降临 　　　　　　　　　　　　　　　　告诉我神秘的字符， 　　　　　　　　　　　　　　　　　去喝退那汹涌的波涛 　　　　　　　　　　　　　　　　告诉我时间党 潜ぃ? 　　　　　　　　　　　　　　　　　去规划那更久嘚白昼。 雄心是世上几乎所有最佳工作成果的驱动力特别要指出的是：实际上，一切为人类谋幸福的重大贡献都是由具有雄心壮志的人所作出的举两个著名的例子吧，利斯特(Lister)和巴斯德(Pasteur)不就是这样的有雄心壮志的人吗还有，不像以上两位那么显赫的另外几位吉勒特(Gillette)和威利特 (Willett)，近期有谁比得上他俩对人类所作的贡献呢 生理学为我们提供的实例特别适宜，原因就在于这门学科对于人类所具有的益处是如此显然我们必须提防一种在科学辩解者中所常见的谬论，那就是认为从事着对人类有益的工作的人在做这项工作时一直想着自己的工莋对人类有益。比方说生理学家有着特别高尚的精神。事实上一个生理学家可能确实乐意记得他的工作是为人类造福的，但是使之产苼力量受到鼓舞去做这项工作的动机与那些一流学者与数学家进行研究工作时的动机是没什么区别的。 有很多高尚的动机驱使人们进行某项研究在这些动机中，最为重要的有三种首先(因此必一事无成)是理智的好奇心，也就是对了解真理的渴望其次是对自己专业工作嘚自豪? ，只有工作才能使自己得以满足的那种渴望任何自尊的数学家，当他的工作与其才能不相称时耻辱感会压倒一切。最后一个就昰雄心壮志期望得到名声、地位甚至随之而来的权力和金钱。当你的工作为他人造了福又解脱了别人的痛苦时，你可能会自我感觉良恏但这不会是你为什么做那个工作的原因。所以假如一个数学家，或者一个化学家或者甚至是一个生理学家真的对我说他的工作的動力是缘于要为人类造福的愿望，我不会相信他 (假使我真的相信他也并不会认为他真的有什么了不起)在他的动机中居支配地位的就是我巳叙述过的。而且可以肯定任何一个体面的人都没有必要为有这些动机而感到耻辱。 §8 假如理智的好奇心、对专业工作的自豪感和雄心壯志是在研究工作中占支配地位的动机的话那么，毫无疑问没有哪个人比一个数学家有更好的机会来满足这些条件了。数学家的研究學科是所有学科中最令人好奇的没有哪门学科中的真理会像数学那样奇异。数学是最精细与最富有魅力的技艺而且数学研究提供了展礻真正的专业技能的机会。最后我还要说的是正如历史所充分证明的那样，不论数学内在的本质价值何在其成就是一切成就中最持久嘚。 我们可以从半古文明中看到这一点巴比伦和亚述的文明已毁灭，汉谟拉比(Hammurabi)、萨尔贡(Sargon)和尼布甲尼撒 (Nebuchadnezzar)也都空有其名了但巴比伦数学依嘫令人感兴趣。巴比伦的60进制仍用于天文学中当然希腊的情况是更有说服力的例证。 对我们来说希腊人是最早而且至今仍是“真正的”數学家东方的数学可能是满足兴趣和好奇，而古希腊的数学则是实实在在的希腊人率先使用了能被现代数学家所理解的数学语言。正洳利特伍德曾对我说过的希腊数学家们在校时并不是聪明的乖学生，也不是“奖学金的候选人”而是“另一所学院的研究员”。因而唏腊数学是“不朽的”甚至比希腊的文学还要持久。当爱斯奇里斯(Aeschylus)被遗忘时阿基米德仍将为人们铭记，因为语言文字会消亡而数学嘚思想却永不会死亡。“不朽”这个词可能不太高明不过也许数学家与它的含义最投缘了。 数学家不必因将来会对其不公而煞有介事地憂心仲忡不朽通常很荒唐，也很残酷：我们中很少有人愿意选择做奥格 (Og)③、安厄尼厄斯(Ananias)④、加利奥(Gallio)⑤甚至于在数学界，历史有时也会開奇怪的玩笑：罗尔(Rolle)在初等微积分学教科书中很有名气.倒好像罗尔是位与牛顿齐名的数学家；法里(Farey)弄不懂14年前由哈罗斯(Haros)论证得天衣无缝的萣理然而他却永垂不朽；五位可敬的挪威人的名字至今仍长存于阿贝尔的《生活》一书中，仅仅是因为一种对他们国家最伟大的人物造荿了伤害的愚蠢的尽职行为不过，就总体而言科学史还是公平的，数学史尤其如此没有任何其他学科像数学那样形成了清楚而一致嘚评判标准。为人们所铭记的数学家中绝大多数足名剐其实的如果能用现钞评估的话，数学的名誉将是最稳定义最可靠的投资 §9 所有這些都使大学教师们深感宽慰，对数学教授们来说更足如此律师、政客、商人们有时声称，学术生涯大多为那些谨小慎微、胸无大志的囚所从事这些人在乎的主要是舒适和稳定，这种责备毫无道理大学教师们舍弃了许多东西，特别是舍弃了赚大钱的机会—— 一个教授┅年很难挣上2000英镑；工作的稳定性自然是决定舍弃赚大钱机会的因素之一但这并不是豪斯曼不愿成为西蒙(Simon)爵士或比 布冉克(Beaverbrook)贵族的原因。豪斯曼拒绝些职业是因为他理想远大是因为他不屑于成为一个20年后就被人遗忘的人。 然而牺牲所有这些利益，一个人会感到多么痛苦我仍记得伯特兰?罗素(Bertrand Russell)曾对我讲述过一个骇人的梦；他正在大学图书馆的最高一层，一个图书管理员正在书架间走来走去提着一个巨夶无比的桶，把书一本又一本地拿下扫一眼，然后重新放回书架或是丢进桶里。最后他发现了三卷书辨认出是《数学原理》最后残存的复印本。他拿下其中一卷翻了几页，似乎被那些怪异的符号迷惑了片刻然后合上书，在自己手上掂掂迟疑不决…… § 10 数学家，僦像画家、诗人一样都是模式的创制者。要说数学家的模式比画家、诗人的模式更长久那是因为数学家的模式由思想组成，而画家以形状和色彩创制模式诗人则以言语和文字造型。一幅画或许蕴含着某种“意境”但通常是平凡而无关紧要的；比较之下，诗意要重要嘚多不过，像豪斯曼坚持认为的那样人们习以为常地夸大了诗意的重要性。他说：“我难以确信存在诗意之类的东西……诗歌并不在於表述了什么而在于怎样表述。” 　　　　　　倾江海之水 　　　　　　洗不净帝王身上的膏香御气。 还能有比这更好的诗句吗但僦诗意而言，还能有比这更平庸、荒唐的吗意境的贫乏似乎并不影响言辞这种模式的优美，另一方面数学家除了思想之外别无他物，洇而数学家的模式更能持久因为思想不会像语言那样快地变成陈词滥调。 正像画家和诗人的模式一样数学家的模式也必须是优美的；囸像色彩和文字一样，数学家的思想也必须和谐一致优美是第一关：丑陋的数学在世上无永存之地。此处我不得不提到一个错误的概念一个至今仍广泛传播的概念(尽管比 20年前情况要好些)，这就是怀特海德所称的“书呆子”即热爱数学，并欣赏数学美这是“每代人中呮局限于几个怪人的偏执狂”。 如今很难找到一个对数学的美学魅力无动于衷的知识分子了可能很难定义数学的美，但任何一种美都是洳此——我们也许不甚明了所谓一首诗歌的优美但这并不妨碍我们在阅读中鉴赏。霍格本(Hogben)教授极力贬低数学美但即便是他也不敢冒然否认数学美这一事实。“毫无疑问数学对于某些人有一种淡然的非自然的吸引力……这种数学中的美学魅力对于这些寥寥无几的人来说，很可能是真实的”不过，他同样指出这些人是“寥寥无几”的，而且他们感到“淡然”(他们的确相当可笑在小小的所谓大学城里住着，避开广阔的部空间的清新的微风)在这些话中，霍格本此话只不过在附和怀特海所称的“书呆子”了 然而事实却是：没有比数学哽为普及的学科了。所有的人都有一些数学鉴赏力正如所有的人都能欣赏一首悦耳的曲调；对数学真正感兴趣的人很可能比对音乐感兴趣的要多。表面看来可能与此相反但解释起来毫不费劲。音乐可以刺激大众的感情而数学无能为力；不懂音乐只是有些掉面子，而所囿的人都如此害怕数学这个名称以至于每个人都由衷地强调自己没有数学细胞。 一个小小的反驳就足以揭示“书呆子”的荒谬每一个攵明国度都有成千上万的棋手(俄国，这部分人是受教育群体的全部)；每个棋手都能品味、欣赏一场棋赛或一个棋类布局.然而一个布局问題简而言之就是一次纯数学的练习(整场比赛可能不是，因为心理也会起作)每一个赞叹棋类布局的人，实际上是在为数学的美而喝彩尽管这种优美相比而言是较低档次的。棋类布局问题是数学的赞美曲 再降低一点，不过面向更广泛的大众我们可以从桥牌，或更低一些从通俗报刊上的智力游戏中学到同样的内容，几乎所有这类游戏的空前流行都归功于基础数学的吸引力。 优秀的智力游戏创制者像杜德尼(Dudeney)和卡里班(Caliban)所用的技巧除此之外别无其他。他们清楚自己的业务公众需要的无非是小小的智力“刺激”，别的任何东西都没有数学那样的刺激性 还要补充一点，世上没有什么事情比发现或再发现一条真正的数学定理更能使知名人士(和那些轻视数学的人)快乐得多H?斯潘塞在他的自传中重新发表了一条他20岁时证明了有关圆方面的定理(他却不知道柏拉图在2000多年前就已论证了该定理)，索迪(Soddy)教授 是新近更惊囚的例子(不过他的定理倒真正是他自己的)⑥ ①特朗普尔；澳大利亚板球运动员。 ②布鲁克：英国诗人 ③奥格：《圣经》中的Bashan之子，在位六十余年 ④安厄尼厄斯：《圣经》中人物。 ⑤加利奥：罗马官员政治家，哲学家作家塞内加的长兄。 ⑥见他关于六球链(Hexlet)的通信《自然》，137~139卷(年)。 § 11 尽管棋类布局问题是真正的数学但一定程度上它仅是“琐碎”的数学，尽管棋类布局充满机智复杂诱人，尽管棋的走步富有创意又出人意料，但它还是缺少了某些必要的东西棋类布局问题无足轻重，最好的数学不仅仅优美而且严肃——或者說“重要”，不过这个词有些模棱两可而“严肃”恰巧更好地表达了我想指明的东西。 我并未考虑到数学的“实用”效果稍后我将回箌这一论题。目前我只想说，从粗俗的意味上讲棋类布局问题“毫无用处”，同样地大多数最好的数学也是如此；数学极少有实用價值，而这实用的极少数相对来讲还较乏味。数学定理的严肃性不在于其通常微不足道的实用效果而在于它涉及的数学概念的意义。鈳以粗略地说如果一数学概念同大量形形色色的其他数学概念有一种自然而鲜明的联系，那么这种数学概念便是有意义的这样，一条嚴肃的数学定理即一条与有意义的概念相联系的定 理，很可能引发数学本身甚至其他学科的大步前进没有一个棋类布局问题能影响科學思想的普遍发展；毕达哥拉斯、牛顿、爱因斯坦都改变了各自所处时代的整个科学的前进方向。 当然一个定理的严肃性并不在于其后果，后果不过是其“严肃性”的证据莎士比亚对英语语言的发展产生了巨大的影响，而奥特维(Otway)的影响几近于无但这并不能说明?什么莎壵比亚是比奥特维更好的诗人。莎士比亚更好是因为他写下了更多更好的诗篇。就像奥特维的诗劣于莎士比亚的诗一样棋类布局问题哋位较数学低，不是因为其后果而在于其内容。 还有一点我稍后将阐明倒不是因为这点没有趣味，而是因为它较难也因为讨论美学嘚严肃性我还不够格。数学定理的美很大程度上依赖于其严肃性而诗句的优美在某种程度上还依赖于诗歌所含思想的重要性。上文中我缯摘引了莎翁的两行诗来例证词语格律的纯粹的优美；不过下面这一行可能更优美：结束了生命的热浪他安然地进入梦乡。 格调完美主题明确，音调铿锵因而我们的情感被更深地激荡了。既然在诗歌中意境对造型的确至关重要。自然地数学更是如此，这个问题不洅详究 §12 行文至此，要想再有所进展我就必须提供为每个数学家公认为第一流的“真正的”数学定理的例证，然而此处我却因我写嘚东西产生的种种约束被缚住了手脚。一方面例子必须非常简单，没有专门数学知识的读者也能读懂无需预先解释，读者就能跟得上清楚的阐述跟上例子。这些限制就排除了数学中许多最优美的定理像费马(Fermat)的“二平方”定理或二次互反律。另一方面我的例证必须來源于“纯正”的数学，也就是专职数学家所从事的数学这一限制又排除了大量的相对易于理解的定理，因为这些易于理解的定理虽易慬却与逻辑和数学哲学相涉。 别无选择我只得又回到希腊数学，这里我将阐述并证明两条著名的希腊数学定理这两条定理从思想到運算都很简单，同时毫无疑问，又是最高层次的每一条定理都如同刚发现之日一样清新，一样举足轻重——2000年来它们一直保持着青春再次，稍有理解力的读者可以在一小时之内掌握全部的论述和证明 　　1．其中第一个是欧几里得(Euclid)⑦关于存在无限多个素数的证明。素數或称质数是指下列数字： 　　　　　2，35，7l1，1317，1923，29…　　　　　　　　　　　(A) 这些数字不能再分解为更小因子的整数如37和317是素数。所有整数都由素数相乘而得 　　　　　　　　　　　　　　　　666＝2×3×3×37 　　任何一个本身不是素数的数(非质数)至少可以被一个素数 (通常可被分解为几个素数) 整除。要证明素数无穷尽也就是要证明数列(A)无穷。 先假设(A)是有限的且 　　　　　　　　　　　　　　　　2，35…P 是全部素数的序列(P是最大的素数)；在这一假设下，让我们来考察数QQ定义为 　　　　　　　　　　　　　　　　Q＝(2×3×5×…×P)+l 显然Q鈈能被2，35，…P中的任何数整除因为相除时余数为 1。由于不是素数的数总能被某一素数整除而Q不能被任一素数整除，所以Q是素数因洏，总有一个素数(可能就是Q)任一素数大这与P是最大的素数的假设相矛盾，因此原假设不成立即没有比P更大的素数的假设不成立。 　　這种证明方法称为归谬法这一为欧几里得甚爱的归谬法⑧，是数学家们最好的武器之一这一着比象棋中开局舍子的任何一种着数高明嘚多：棋手或许会牺牲一卒或一个棋子， 而数学家舍掉的是整局 §13 　2. 第二个例子是毕达哥拉斯⑨关于 根2 (√2) 的“无理性”的证明。 “有理數”是一个分数a/b其中a、b均为整数。我们假定a和b没有公因子如果有的话，我们可以把它消掉根2 是“无理数”，也可以表述为“2不能以(a/b)岼方的形式表示”也就是说，方程 　　　　　　　　a2 = 2b2　　　　　　　(B) 不能被两个没有公因子的整数a、b所满足这是一个纯算术运算定理，无需任何“无理数”方面的知识也不依赖于有关无理数性质的任何理论。 再用归谬法来证明先假设上式(B)成立，a和b是没有公因子的整數根据(B)式，a方应是偶数(因为2b方能被2整除)因此a也是偶数(因为奇数的平方是奇数)。如果a是偶数那么 　　　　　　　　a = 2c 　　　　　　(C) 其中c為整数，因此有 　　　　　　　　2b2 = a2 = (2c)2 = 4c2 即 　　　　　　　　b2 = 2c2 因此b方是偶数b也是偶数(理由同上)。这就是说a和b都是偶数，因此有公因子2这与假设矛盾，所以假设不成立 从毕达哥拉斯的定理可推出正方形的对角线与边长不可通约(也就是说对角线与边之比不是有理数，或者说沒有一个公共的单位，使对角线和边长可同为其整数倍)若以边长作为长度单位，对角线的长度没为d则由毕达哥拉斯的勾股定理⑩ 　　　　　　　　d2 = 12 + 12 = 2 故d不是有理数。 还可以从任何人都能理解其含义的数学理论中引用许多精彩的定理例如一个所谓“算术基本定理”：任一整数都可以惟一方式分解为素数的乘积，名副其实如666＝2×3×3×37，此外没有别的分解方式了：666不可能等于2×11×29或者等于 l3×89，或等于17×73(不鼡相乘其结果也显而易见)这一定理是高等算术的基础，证明过程虽不困难却需要一定的功底，而且非职业数学家读起来可能会感到乏菋 另一著名的优美的定理是费马的“二平方”定理。素数(特殊素数2除外)可以归为两组数.一组为 　　　　　　　　　　　　　513，1729，3741… 这些数被4相除时余数为1；另一组为 而3，711，19都不能表示成如上形式(读者可自己检验)这就是费马定理，非常公正地被视为最完美的定理の一可惜，没有相当专业数学知识的人难以理解其论证过程 “集合论”中也有许多优美的定理，像康托(Cantor)的连续的“不可数”定理这裏的困难是相反的，只要掌握了所使用的语言证明并不困难，但必须进行适当的解释才能把这条定理的意思弄明白。不必再赘述更多嘚例子了上文给出的例子是些测试，对上述例子不能理解的读者很可能难以欣赏任何数学的东西 我认为数学家是概念的造型者，美和嚴肃是评价其造型的标准难以相信，能理解上述两个定理的人会否认它们符合美与严肃的标准拿上述例子与杜德尼最机智的智力游戏戓与象棋大师们编排出的最妙的棋类布局问题相比，本文例子在美与严肃两方面的优势是一目了然的：毋庸只置疑其间有层次的差别——它们更加严肃，也更加美丽我们能否更准确地说明它们的优势所在吗？ § 14 首先这两个数学定理在严肃性方面的优势是显而易见、绝對的。象棋布局问题是把一些想法巧妙但很有限度地交织而成的结果它们在根本上差别不大，而且对外几乎没有任何影响：即使象棋没囿发明我们也会产生同样的思想方法。而欧几里德和毕达哥拉斯的定理影响很大甚至在数学之外，也对人们的思想产生了深刻的影响 欧几里德定理对算术的整个结构都至关重要。素数是算术组成的原料；欧氏定理确保了这种原料的充足性但毕氏定理有更广泛的运用，它也提供了更好的课题 首先，我们应看到毕达哥拉斯的论证有深远的扩展性可以在不作原则性改变的基础上适用于“无理数”的范疇。我们可以用类似泰特托斯(Theaetetus)的方法证明 根3根5，根7根11，根13根17是无理数，或者超过他的方法证明 4根3 和 4根7是无理数㈠ 欧氏定理告诉我們，有足够多的材料对整数构造一个条理分明的算术体系毕氏定理及其扩展则告诉我们，即使我们构造出这种算术体系也不能满足我們的需要，还会有许许多多的量要我们考虑而这些量是整数的算术无法度量的，最明显的例子就是正方形的对角线 这个发现的极端重偠性立刻被希腊数学家注意到了，他们起初假设(我猜想是按惯例)同种类的量都是可以公度的例如任何两个长度都是某一共同单位的倍数。他们由此建立了一个基于此种假设基础上的比例理论毕氏的发现暴露这个理论基础的薄弱性，从而使欧多克斯(Eudoxus)建立了更深刻的理论這个理论在《原本》的第五章中有详细叙述，被许多现代数学家誉为希腊数学的最优秀成就这个理论在数学思维上是很前沿的，可以称莋无理数理论的先河它导致了数学分析的革命，对近代哲学也有很大影响 两个定理的“严肃性”是毫无疑问的。所以值得一提的是二鍺都不具实用性在实际运用中我们只会用到相对小的数，只有天文学和量子物理涉及到大数它们即使与最抽象的纯粹数学相比，实用性也大不了多少我不知道工程师通常要求的最高精度是多少，10位数恐怕会太高那么 　3．(π值保留8位小数)是两数之比，即 　　　　　　　　　(314 159 265) / (100 000 000)　 也才9位数小于1 000 000 000的素数有50 847 478个，这对工程师来说也太多了即使不要其他素数，他也满足了欧氏定理先谈到这里。而就毕氏的理論来说我们都知道，显然工程师们对无理数不感兴趣因为他们工作中只涉及近似值，而所有的近似值都是有理数 §15 　　一个“严肃”的定理是一个包含着“有意义的”概念的定理，因此我有必要进一步分析一下数学概念有意义的特性这项工作有些难度，而且很难说峩作的分析有价值当目睹一个“有意义的”概念时，我们是一眼能识别的就像看我的那两个标准定理中的“有意义的”概念一样。但具备这种识别能力需高深的数学知识和长期从事数学研究工作的经验因此我必须尝试一些数学分析，也应该有可能发掘一些具有说服力嘚成果至少有两个特性是至关重要的，即一定的“普遍性”和一定的“深刻性”但何为“普遍”、何为“深刻”还不能明确给出解释。 　　一个有意义的数学概念一条严肃的数学定理从下述意义上被认为是“普遍的”。数学概念应该是许多数学构造的要素应能应用於许多不同种定理的证明。这种定理即使一开始是以相当特殊的形式提出(如毕氏定理)它也应能被广泛地扩展，成为与其同类型定理的典型证明中所揭示的关系本来应该联系着许多不同的数学概念。所有这一切都还比较模糊存在许多疑点。但显而易见的是如果一个定悝明显缺乏这些特征，这个定理就不可能是严肃的为说明我的观点，我只需从浩瀚的代数海洋中抽取几例下面是从劳斯?鲍尔的《数學游戏》 这些实例看来多少有点奇怪，也只有外行或业余爱好者对此有兴趣对一个数学家来说，它毫无价值它的证明既不难懂，也不囿趣只是需要花许多时间去尝试。这些定理是不严肃的其原因之一(也许不是重要原因)是因为其表达和证据都太局限，不具有明显的普遍性 §16 “普遍性”是一个模糊而又危险的词，我们得留心不要让其占据太多的篇幅它广泛应用于数学及有关数学的著作中。其中有一種特别的情形它虽与我们今天的论题无关，但逻辑学家对它推崇备至从这个意义上说，所有的数学理论都同等地和完全地是“普遍的” 　怀特海曾说：“数学的确定性取决于它完全抽象的普遍性。”㈢当我们假设2+3＝5时就假设了一种存在于三种事物间的关系。这些事粅并不是苹果或便土或者任何一种特定的东西，而只是“事物”任何事物都行。这种表达式的意义完全独立于具体事物的个别性在唍全抽象意义的基础上，所有的数学“对象”、“实在”、“关系”如“2”，“3”“5”，“+”“＝”或所有包含它们的数学命题，茬完全抽象的意义下都是普遍的实际上怀特海的话未免多余，因为在此意义上讲普遍性就是抽象性。 普遍性的意义举足轻重逻辑学镓强调它不无道理。因为它传达的是一个真理很多本该清楚了解它意义的人却常常忘记。如经常有天文学家或者物理学家宣称他发现了證明物理世界必须以一种特殊方式运行的“数学证据”所有这些言论，只从字面理解绝对是无稽之谈。就像不可能用数学去证明明天會发生日食一样因为日食以及其他的物理现象并不是数学世界的组成部分。我想所有的天文学家该不会否认这一点吧但是另一方面他們也确实可能正确预测日食的发生。 很明显这种“普遍性”与我们的讨论无关。我们要寻找的是存在于各种数学定理之间的普遍性上的差别在怀特海看来，普遍性是相同的所以本书§15中的(a)和(b)这种小定理也和欧几里德、毕氏定理一样“抽象”和“普遍”，所以也等同于潒棋布局对象棋来说，不管棋子什么颜色、什么形状棋手们都不会认为有什么不同，只有外行才会考虑到与棋盘的搭配问题棋盘和棋子只是用来刺激我们思维的工具，与真正的下棋对奕相比就好比黑板、粉笔之于数学课中的定理关系。 我们现在要寻找的并不是这种存在于所有数学定理中的“普遍性”而是在§15中提及的更晦涩难懂的那种普遍性。对此种“普遍性”也不宜强调过分(像怀特海一样的逻輯学家们倾向于这样做)现代数学的卓越成就并不仅仅是“普遍性的微妙的堆砌”㈣，虽然这种堆砌是现代数学的巨大成就在任何一种高水平的定理中，都存在一定的普遍性但如果普遍性太泛也就会导致枯燥乏味，那就成了“每个事物都是它而不是别的”其实事物间嘚区别与其共性一样使人着迷。我们选择朋友并不是因为他们具备人类的所有优点而是因为他们有其本身的特点。在数学中道理亦然洇此我可以毫不夸张地引用怀特海的话来证明我的观点：“被适当的特殊性所制约的广泛的普遍性，才是富有成果的概念”㈤ §17 一个有意义的定理必须具备的第二个特性就是“深刻性”。其概念也不易定义它与“难度”有关，深刻的思想往往难以掌握但二者也并不完铨一样。毕氏定理及推广所蕴含的概念有一定的深度但现代数学家绝不会认为它难懂。相反一个定理可能极为肤浅，但却难以证明——如丢番图(Diophantus)的有关求方程整数解的定理 数学理论好像分层分布，每一层的内部以及与上下层之间由错综复杂的关系网连接起来层越往丅，理论就越深也就越难懂。因此“无理数”概念比“有理数”深同样，毕氏定理比欧氏定理深刻 如果注意整数之间或者任何一特萣层次上的其他一些对象集合之间的关系，就会发觉有些关系一目了然如，不需下一层次概念的任何知识我们就可以识别并证明整数嘚性质。因此证明欧氏定理只用整数就行了但整数有些定理是不能一眼看清的，还得通过挖掘和考虑深一层次的知识才能证明 我们在素数理论中容易发现这种例子。欧氏定理重要但不深刻我们不需用任何比“可除性”更深刻的概念证明素数无限。 当取得了答案后心Φ又不免萌生新的问题。素数无穷但这种无穷的素数究竟如何分布？假定有一个很大的数N如10的80次方 或 10的10次方的10次方 ㈥，其中有多少个尛于N的素数㈦当我们问这些问题时，就发现自己的思维处在不同的层次了我们可以用超出想象的精确性来回答这问题，只是要深入一步不用整数，而用现代函数理论的最有力武器来解决所以回答我们这个问题的定理比欧氏定理深刻得多。 　例子是不胜枚举的但“罙刻性”甚至对一个能识别它的数学家来说也是不易说清的，因此我也不妄想还有什么妙语能解开读者的迷惑 §18 在§11节中我对比了象棋囷“真正的数”问题，其中有一点尚未涉及如今我们想当然认为真正的数学定理就实质内容、严肃性与重要性而言，是无与伦比的对訓练有素的天才来说，事物的“美”中也无不蕴含数学的奥妙只是这种奥妙更难于言传。由于棋类布局问题的主要缺点就是“微不足道”而这方面的对比交织着一些美学上的评价，同时也使这种评价受到妨碍在欧几里得和毕达哥拉斯的定理中我们能如何区分出“纯美學”特征呢？我不敢妄加评论只略述一下我的观点。 在两个定理中(当然也包括证明)有一种高度的意外性、必然性和有机性。证明形式頗为奇怪使用的工具与之达到的结果相比显然过于简单。但结论中没有任何疏漏证明中的细节也不繁琐，一行一个个步骤许多只有專职数学家。才能理解的更难的定理其证明也一样简明。在证明数学定理时不需要很多“情况”因为“列举情况”实际是数学论据的較为呆板的形式。数学证明应当如星座般清晰、明了而不应像银河里的星束分散而模糊。 棋类布局问题也有意外性和一定的有机性当嘫至关重要的是走棋要出奇制胜，每一颗棋都应尽其用美学的效应是累积的，出了关键一着下一着应变化多样，且每个变化都应有相應的反应(除非问题很简单不是真正引人人胜)。“如果P－B5（5下标）那么Kt（t下标）－R6（6下标）；如果……那么……；如果……那么……”，如果没有多种不同的答案? 其美中效果将会是单调、乏味的这些都是地地道道的数学，有其自身的优点但它仅仅是“列举证明”(而且這些情况之间并没有根本的不同)㈧，真正的数学家对此往往不屑一顾 我想用棋子自身的感受来加强我的论证。必庸置疑一个象棋大师，一个重大游戏、比赛的参与者从心理上是很鄙视用纯粹的数学知识去下棋的，他们积累了不少经验在紧要关头总能显露身手，“不管他怎么走我头脑里已储存了对付的方法”。象棋首先是心理上的较量而不仅仅是一些数学小定理的积累。 §19 我现在必须回到我的小津讲演上对在§6小尚未谈及的问题作一些说明。从以上论述中者可以看到我只对把数学当作一种创造性艺术感兴趣，但有很多问题还徝得考虑尤其是数学的“实用性”，它曾引起许多争议此外还有必要检查一下数学是否真如我在牛津演讲中提到的那样“百利而无一害”， 如果科学或艺术的发展能增加资源、方便人类或增加人们情感上的愉悦，那么我们就可以认为它们是“有用”的医学和生理学能减轻病痛，所以是有用的；工程设计能建筑高楼、桥梁从而提高生活水平(当然工程设计也会带来害处，但此处暂不涉及)所以也是有鼡的。依此来看数学也必然是有用的，工程师如没有数学基础是无法进行工程设计的数学也正开始运用于生理学中。因此我们有为数學作辩护的依据虽说并不完备，但值得去钻研数学应用的更高层次，即运用于各种创造性艺术中将与我们的研究无关。数学如同诗謌、音乐一样能训练并陶冶人的性情，所以对数学家或数学爱好者来说沉迷于其中，其乐也融融不过，如从这方面去论证数学的用處只不过是更为详尽地重复我的老话，而现在要考虑的应是数学的原始的应用 §20 这一切似乎是不言而喻的，但就这样也有不少争议洇为大多数“有用”的学科对我们中的多数人来说往往是学而无用的。生理学家和工程师对社会功用不小但对常人来说，生理学和工程學并无多大用处(尽管他们的学习也许会基于其他原因)就我自己来说，我从未发现我拥有的纯数学之外的科学知识给我带来过些微的益处 　　事实上我们不得不诧异，科学知识给普通人带来的实用价值是如此之小如此乏味，而且毫无特色其价值似乎与其在外的功用名聲成反比。如果在简单的算术上反应快是会很有用的；懂一点法语、德语，懂一点历史、地理或经济学知识也会是有用的；但仅懂一点囮学、物理或生理学在日常生活中却毫无用处。不用知道气体的组成我们便可以知道它会燃烧；汽车坏了我们自然送到修车厂去；胃不舒服会去看医生或去药店买药我们的生活要么自有其规律操纵，要么需要各行各业人的帮助 　　然而，这只是枝节问题一个教育的問题，只有教师们对它感兴趣因为他们必须说服那些为自己孩子的“有用的”教育而喋喋不休的父母们。当然我们说生理学有用，并非鼓吹大多数人去学习生理学但如有一定数量的专家致力于生理学的发展、研究，将会使绝大多数人受益重要的问题是，数学的有用性究竟能延及多远哪些数学领域有用性最强？怎样才能仅仅以这种“有用性”为理由来为认真的数学研究，即数学家们所理解的数学研究进行辩护 ⑦见《原本》第九章第二十节。很多定理的真正作者在《原本》中未注明但似乎没有特别的理由否认这是欧几里得自己發现的定理。 ⑧证明也可以不用归谬法一些学校的逻辑学家则更钟爱归谬法。 ⑨传统上这一证明归功于毕达哥拉斯但可以肯定这是他嘚学派的一个成果。欧几里得提出这个定理时其形式更一般(《原本》第十章第九节)。 ⑩欧几里得《原本》，第一章第四十七节 ㈠见囧代和赖特的《数的理论导引》(Introduction to Theory of Numbers)第四章，那里讨论了毕达哥拉斯定理的不同的推广形式以及有关泰特托斯的历史悬案。 ㈡第11版1939(H?S?M?柯斯特修订)。 ㈢《科学与现代世界》33页。 ㈣《科学与现代世界》44页。 ㈤《科学与现代世界》46页。 ㈥据推论宇宙的质子数大约为 10的80次方 如果将 10的10次方的10次方 写出来，将占据50 000本一般篇幅的书 ㈦我在§14中已提到过，小于1 000 000 000的素数数量是50 847 478个但这只是我们确实所知的范围。 ㈧我相信如果所考虑的问题中，一个类型有形形色色的变化那么列举证明现在也认为有其价值。 §21 我将作出的结论到这里似乎是显而噫见的了所以我先武断地将它表述出来，再对之详述不可否认，初等数学中的很大一部分——我用的“初等”一词是职业数学家使用嘚那种意思它包括诸如有关微积分等应用知识——是具有一定使用价值的。数学中的这些部分整体来说是比较枯燥的它们是最乏美学價值的部分。“真正”的数学家所研究的“真正”的数学如费马、欧拉、高斯和阿贝尔所研究的数学，几乎是完全“无用”的(这一点對“实用”数学和“纯”数学来说都是如此。)以“实用性”为标尺来衡量一个天才数学家的工作是不可能的 　但是这里我要纠正一个错誤概念。有人认为纯数学家以其工作的无用性为荣㈨并宣称他们的工作没有实际应用价值。这种念头是基于高斯的一句不谨慎的话其夶意是：如果数学是科学中的皇后，那么数论由于其极端无用性而成为数学中的皇后——我从没能找到这话的确切引用我敢肯定高斯的原话(如果真的是他说的)被很粗鲁地曲解了。如果数论能够被应用于任何实用的、显赫的目的如果它能像物理甚至化学那样直接增加人类嘚欢乐和减少人类的痛苦，那么高斯或其他数学家决不会愚蠢到为这种应用哀叹或后悔但是科学可为善服务，也可为恶助纣(特别是在战爭时期)这样高斯和另一些数学家就应该庆幸有一种科学，就是他们的科学由于其远离人类日常的活动而保留了其纯洁性。 §22 还有一个錯误概念需要反驳人们很自然地认为“纯数学”和“应用数学”的实用性有很大差别，这是一个假象：这两种数学之间有很大的差别(这┅点我将在下面详述)但并没对它们的实用性有很大影响。 纯数学和应用数学的区别在哪里对于这个问题数学界有统一而明确的答案，茬我的答案中丝毫没有有悖于正规的说法但有一些需要事先阐明。 下面的两节可能带有一些哲学味但不会很深，且对我的论点也不是必不可少的但我在叙述中将常用到一些词，这些词有明显的哲学含义如果我不解释为什么及怎么用这些词的话，读者也许会感到困惑嘚 我经常用到“真正的”这个形容词，就像日常生活中用到它一样我说到过“真正的数学”、“真正的数学家”，就像我会说“真正嘚诗”和“真正的诗人”一样而且会继续这么用它。但我将会用到另一个词“实在”(reality)它却有两个含义。 首先我将谈到“物理实在”，这里我用的是一般意义上的词义对于物理实在我指的是物质世界，昼与夜地震和日食，也就是物理科学所描绘的世界 我敢说直到現在，没有读者会对我的语言感到困难但我马上要进入困难的领域了。有另一种实在性我把它叫做“数学实在”，对于它的本质在数學界和哲学界都没有统一的认识一些人认为它是“精神”的，某种意义上我们构造了它；另一些人则认为它是外在的独立于我们。一個人如果能对数学实在给出一个令人信服的解释他将可以解决形而上学中大多数难题。如果他的解释中也包括了物理实在这些难题就嘟解决了。 即使我有这个能力我也不愿在这里讨论这个问题。但为了避免小误解我还是要申明一下我的立场。我相信数学实在存在于峩们之外我们的任务是去发现或观察它，并且我们所证明的定理，我们夸耀称之为“创造物”的只不过是我们观察记录而已。自柏拉图以来很多享有盛誉的哲学家都持有此观点虽然形式各异。我采用的语言对持有这种看法的人来说是很自然的读者若不喜欢这种哲學概念可改变这种语言，这对我的结论影响甚微 纯数学和应用数学间最大的差异也许表现在几何学方面。纯几何学㈩包括很多分支如射影几何、欧几里得几何、非欧几何，等等每一种几何都是一种模型，即概念构成的造型应该按照各个独特造型的意义和美加以鉴别。几何是一幅图像是很多方面的合成品，也是数学实在的一部分并且是一个不完全的复本(然而，在其范围内又是准确的复本)但是现茬对我们最重要的一点是：纯几何学无论如何也不能描写物理世界的时空实体，因为地震和日食不是数学概念 　　这些话对于外行来说鈳能有点矛盾，但对于一个几何学家来说则是真理我可以举一个形象的例子来加以说明。假如我作一个有关几何学的讲座例如普通的歐几里得几何，我会在黑板上画一些图形一些直线、圆或椭圆的草图来激发听众的想象。显然我画图的质量不会对我所证明的定理有什么影响，图形的作用只是将我的意思明白地传达给听众如果我已做到这一点，那么让技巧高超的画师来重画一遍是毫无必要的它们呮是辅助教学的工具，不是讲座的实质内容 让我们再进一步。我讲课的教室是物理世界的一部分有其固定的形状。对于这种形状以及對于物理世界的一般形状的研究本身就是科学可称之为“物理几何”。假设现在有一个高功率的发电机或一个巨大的引力体搬进教室，物理学家就会告诉我们教室的几何结构已改变它的整个物理造型已经轻微但确实被改变了。那么我所证明的定理是否也变得错误了峩的求证当然是没受影响的，这就像莎翁的剧作不会由于读者不小心将茶泼在某一页上而改变一样剧本是独立于所印刷的纸张的，“纯幾何”也是独立于教室或物理世界的其他部分的 这是纯数学家的观点。应用数学家、数学物理学家自然是另一种看法因为物理世界(含囿其结构和形状)已经在他脑中先人为主了，对于这种形状我们不能像描述纯几何学那样确且描绘但是我们能说出几点名堂来。我们可以精确或粗略地描绘出它的组成部分之间的关系并把这种关系与某些纯几何体系的组成间精确的关系作一个比较，这样我们也许可以找出兩种关系间的相似之处那么我们面前就会有一幅“符合物理世界的事实”的图来。几何学家给物理学家提供了一整套可供选择的图形這当中可能某一幅图比其他的更符合事实，于是提供这幅图的几何学就成了应用数学家最重要的几何学我可以补充一句，即使是纯数学镓也会对这种几何学更加欣赏因为还没有哪个数学家纯到对物理世界毫无兴趣的地步。但是一旦他屈服于这种诱惑，他就放弃了他纯數学的立场 §24 这里自然会使人想起我的另一番议论，物理学家会觉得它是自相矛盾的尽管这种自相矛盾比起18年前已轻微得多。我将用峩在1922年于英国科学促进协会A组讲演中几乎一样的语言来描述它那时我的听众绝大多数是物理学家，为此我的话可能带有一点挑衅的意味但我还是坚持了我的立场。 我一开始就说数学家和物理学家之间见解的差异也许并不如一般人认为的那么大我认为最重要的一点是，數学家与实在的联系更直接一些这似乎是自相矛盾的，因为正是物理学家们在研究所谓“实在”的那些客体但人们稍加思索就能说明：物理实在，不管它是什么很少或没有一般意义上被本能地赋予实在的属性。一把椅子也许是一堆旋转电子的集合体也许是上帝脑海Φ的一个想法，这两种描述都有可取之处但没有一种是与通常意义下的实在完全相符。 我接着说道无论物理学家还是哲学家都未曾对“物质实在”作出有说服力的解释，也没有解释物理学家如何从大量混乱的事实或感觉开始来建造他所称的“实在”的物体结构的我们並不能说我们知道物理的研究题材是什么，但这并不妨碍我们大致理解一个物理学家想干什么：他想用一些确定的、有序的抽象关系系统来将他面临的原始的、无条理的事实现象重新联系起来，而这种系统他只能从数学家那里获得 另一方面，数学家也在研究他自己的数學实在对这种“实在”，正如我在§22节中所说我持“实在论”而非“唯心论”观点。在任何情况下(这是我主要的观点)这种数学的实在論观点比物理实在似乎更合理一些因为数学的客体更接近他们所被看到的。一把椅子或一颗星星一点都不像它们看起来的那样我们对の想得越多，感觉的迷雾就越会使它的轮廓模糊不清但是“2”和“317”与感觉无关，我们观察得越仔细它们的性质就越清晰。也许现代粅理学最适合于唯心主义哲学框架——我不相信这一点但有些著名的物理学家是这么说的。纯数学在我看来倒是唯心主义的绊脚石：317是個素数并不因为我们是这样认为，或是我们的思想是以某种特定的方式形成而是因为它原本如此（“原本如此”有着重号），因为数學实在就是这样建立的 纯数学和应用数学的这些差异对它们本身很重要，但与我们关于数学“实用性”的讨论毫无关系我§21中曾谈到過费马和其他一些伟大的数学家的“真正的”数学，具有永恒美学价值的数学如最好的希腊数学。它们之所以永恒是因为其中的精华僦像文学中的精英部分，在几千年后还能引起千万人强烈的满足感这些数学家基本上都是纯数学家(当然那时候两者的差异要比现在小得哆)，但我考虑的不仅是纯数学方面我把麦克斯韦、爱因斯坦,《Eddington》和迪拉克都算在“真正的”数学家之列。现在应用数学最伟大的成就就昰相对论和量子力学而这些领域现在无论在哪方面都几乎像数论一样是“无用”的，在应用数学中像在纯数学中一样或多或少地有用嘚恰恰是其中最令人乏味的和最基本的部分。时间会改变这一切无人预见到矩阵、集合论和其他纯数学理论在现代物理学中的应用，也許一些“高雅”的应用数学会以“想不到”的方式变得“有用”但是迄今为止，无论在哪一学科实际生命是由平凡和枯燥组成的。 我還记得 ６ 顿举的一个有关“有用”的科学不吸引人的有趣例子英国科学促进协会在利兹举办过一个会议，举办者以为会员们可能会想听┅些科学在“厚毛纺”工业方面的应用但出于这个目的的讲座和展示都彻底失败了。看起来与会者(无论是否利兹居民)都想得到娱乐但“厚毛纺”完全不是一个有趣的话题。这些讲座参加者寥寥无几而有关相对论或素数的理论却受到了听众的欢迎。 §26 数学中的哪些部分昰有用的 首先，中小学里大部分数学是有用的如算术、初等代数、初等欧氏几何、初等微积分计算。但“专家”所学的一部分数学应排除在外如投影几何。在应用数学中力学基础是有用的(中学所教的电学应归于物理学)。 其次大学数学中相当一部分是有用的，它大蔀分实际上是中学数学更完备的发展一部分物理化的学科如电学和流体力学也是有用的。同时我们必须认识到知识的储备总是好事情朂实际的数学家的知识如果仅限于对他有用的那一点点的话，可能会遇到严重障碍因此我们各方面都应懂一些。但我们总的结论是这種数学只是当一个高级工程师或一个现代物理学家需要时才会有用，也就是说这些数学没有特别的美学价值。欧几里得几何中那些死板乏味的部分是有用的——我们并不想要平行公理或比例理论，或正五边形的构造 于是我们得到一个很有趣的结论，就是纯数学整体上奣显比应用数学有用纯数学家似乎在实用方面和美学方面都占优势。最有用的是技术而数学技术主要是通过纯数学来传播的。 我希望峩不需要表白我不是在贬低数学物理它是一门辉煌的、也有许多问题的学科，充满了最棒的想象但一个普通的应用数学家的处境不是囿点可怜吗？如果他想“有用”些他就不得不单调乏味地工作，也不能够给他的想象力以充裕的空间“想象”的宇宙比这个构造拙劣嘚现实世界美丽得多，而且一个应用数学家的想象力创造出的最精美的产品往往一出来就被否定了理由粗鲁而充分：它们不符合事实。 　　总结论已经明白无误了如果我们暂时同意说，有用的知识就是现在或不远的将来对人类的物质享受有贡献的知识而与纯粹的智力滿足无关，那么高等数学的大部分就都是无用的了现代几何、现代代数、数论、集合论、函数论、相对论、量子力学——没有一样能达箌这个标准，也没有一个数学家的价值可以以此标准衡量如果以此为标准，那么阿贝尔、黎曼、庞加莱都虚度此生他们对人类享乐毫無建树，没有他们地球依然是个乐园 也许有人反对说我关于“用处”的概念太狭窄，我只将其定义为“快乐”和“舒适”而忽略其“社会”效应，而后者是近年来一些作者抱着各不相同的观感都非常强调的问题如怀特海说到“数学知识在人们生活中，在日常工作中茬社会组织中的巨大作用”，霍格本(他对我和其他数学家所说的数学是无动于衷的不像怀特海那样心领神会)说：“如果没有数学这种大尛和次序的规则，我们就不可能建造一个充满快乐、无人受穷挨饿的合理社会” 我买在不能相信这种辫辞会给数学家们带来多大的安慰。这两位作者的语言都过于夸大其词了而且，他们俩也都忽视了非常明显的区别由于霍格本被公认不是一名数学家，所以上述情况对怹是很自然的他指的“数学”，实质上是他所理解的数学我们将这种数学称之为“中学”数学。这种数学有许多用处我承认这些用處，而且如果我们高兴的话，也可以称之为数学的“社会性”霍格本将许多令人感兴趣的魅力用于数学发现的历史。正是这一点使这夲书获得声望因为正是这本书才使霍格本帮助了许多从来不是，而且将来也不会成为数学家的人读者搞明白了数学中还有他们未曾料箌的东西。但是霍格本对于“真正”的数学几乎一窍不通(这一点凡是阅读过霍格本对毕达哥拉斯的定理，或欧几里德以及因斯坦的有关論述的任何人也能马上这么说)更不用说什么心领神会了(这一点他不辞劳苦地要表现)。“真正的”数学对他来说仅仅是一个让人瞧不起的科目 数学家怀特海的问题倒不是他不了解或不赞同这一有关数学的概念，但是在他对数学的狂热中却忽略了他所十分了解的那些特征那种对“人们的日常爱好”和“社会体制”有巨大影响的不是怀特海的数学，而是霍格本的数学而由一般人用于平常事物的数学是微不足道的，经济学家或社会学家们所利用的数学根本够不上“学术水准”怀特海的数学也许深深影响了天文学和物理学，而且对哲学的影響也是相当可观的(一种有价值的思想总会影响另一种有价值的思想)然而对于别的东西几乎没什么影响了。这种巨大影响一般并不是对普通人而言而是对像怀特海本人那样的人而言的。 §28 有两类数学即真正数学家的数学和我将称之为“不重要的”数学。我之所以这样称謂是没有比这更合适的词了。这种不重要的数学由推崇它的霍格本及其学派中的其他作者提出许多论据加以辩护而真正的数学却得不箌这样的辩护，而且对这样的数学要是能够给予辩护的话，也是被当作一门艺术来加以辩护的这种观点丝毫没什么荒谬或不寻常，因為它是数学家们所普遍认同的 但是我们仍有另外一个问题要考虑。我们已得出结论那就是，大体说来不重要的数学是有用的，而真囸的数学基本上不是有用的；从某种意义上来说不重要的数学的确“有益”，而真正的数学却不然但是，我们仍需问：是否两种数学Φ有一种有害如果认为任何一种数学在和平时期有许多危害，这也许是令人感到不合情理所以我们不得不考虑数学对战争的影响，现茬辩论这些问题很难不带偏见，所以我本不想谈的然而，有些讨论看来是在所难免的幸而这种讨论没必要搞很长时间。 　　有一个囹人欣慰的结论让一个真正的数学家坦然那就是，真正的数学对战争没有影响迄今尚未有人发现数论或相对论用于任何战争目的，而苴看来今后许多年也不大可能有这种情况确实，应用数学有许多分支例如弹道学和空气动力学。这类学科是因为战争而特发展起来的它们需要相当精密的技术，也许这样一来就很难将它们视为“不重要的”数学，但它们全都不可能拥有“真正的”数学那样的头衔咜们令人厌恶，而且极其枯燥即使是利特伍德也不可能使弹道学成为让人崇敬的学科，别人就更无能为力了因此，一个真正的数学家昰问心无愧的；他的工作的价值是无可非议的正如我在牛津大学曾讲述的那样，数学研究是一个“无害而清白的”职业 　　在另一方媔，不重要的数学在现代战争中有许多应用例如：枪支专家和飞机设计师在工作中是离不开数学的。而这些应用所产生的一般影响是清清楚楚的数学(假如不像物理和化学那样明显)对现代化、科学化的战争起了推波助澜的作用。 由于对现代化、科学化战争存在着两种截然楿反的观点数学的作用并不像人们想象的那么简单。首要的也是最明显的观点是科学对战争的影响是：它加剧了战争的恐怖性。从前呮有少数参战的人会领略到战争所带来的痛苦而现在这种痛苦殃及其他的群体。而霍尔丹却在他的著作《化学战争的防御》⑴中阐述了叧外一种截然相反而又无懈可击的观点他认为现代战争不像科学发展以前时代的战争那样恐怖。他认为原子弹可能比刺刀更仁慈催泪瓦斯和芥子气也许是军事科学所设计出的最人道的武器。他还认为：传统的看法只是缺乏深思熟虑的“感情用事”⑵而已还应强调，由科学所带来的风险的平等性可能体现在长远的利益中也就是说一个文官的生命与一名土兵的生命是等价的，女人与男人的生命也是等价嘚什么都比将凶残行为集中到一个特殊群体要好。总之战争全面展开得越快越好。 我并不清楚以上的观点中哪一个更接近于真理这昰一个急需解决而又令人兴奋的问题。但我没有必要在这里来阐明这一问题只与“不重要的”数学有联系，捍卫它是霍格本的事而不昰我的事。这个问题对霍格本的数学也可能是点麻烦而对我的情况却毫无影响。 实际上不管怎么说，因为真正的数学在战争中总有用武之地所以还有更多情况要阐述。当世界疯狂时一个数学家可以在数学中发现一种无与伦比的镇定剂。在所有的艺术和科学之中数學是最严肃而且也是最细微的。同时数学家在所有的人里应该是最容易超脱于人世的。正如罗素曾说过的那样：“至少一种冲动与不安鈳以从沉闷而乏味的现实中得以解脱”很遗憾，这里必须提出一个非常严格的限制条件——这样一位数学家一定不能太老了因为数学昰一种创造性学科而不是默想的学科。没有任何人在他失去能力或者不再有创造愿望时还可以从数学这一学科中获得慰藉而这种失去能仂与创造愿望的情况可能会很快地在一个数学家身上发生。这是很可悲的但在这种情况下，他也就不是什么重要的角色了也用不着为怹操心了。 §29 在这里我愿意用更具个性的方式来概括我的结论开始我就说过，任何一个为自己的主张辩护的人都会发现他是在为自己辩護因此作为一名职业数学家，我自然也是在为自己作某种辩护而这一结论部分可称为我的自传的一部分。 我从不记得除了曾经想成为┅名数学家以外还想做什么。很显然我的才能是在这一方面的。而且我的父母也从不怀疑我在这方面的天赋我不记得在孩提时代对數学有过强烈的爱好，这种数学家的素质我也许具备但我并不觉得十分惊人。我对数学的兴趣是基于应付考试和争取奖学金的需要我必须战胜其他同学!这似乎成了我决策的动力。 我的思想抱负发生急剧变化是在15岁的时候(这种变化方式很特别)有一本名叫《三一学院成员》的书，作者是“阿伦?圣?奥宾”⑶是一套有关剑桥生活丛书中的一本。这本书写得并不好我认为这本书写得比玛丽?科雷利(Marie Corelli)所写嘚大部分书都差。但由于它是一本能激起一个聪明男孩想象力的书所以也算不得一本完全坏的书。书中有两名主人公第一主人公名叫費劳尔斯，他几乎是完美的化身第二主人公布朗，很有些女人气质费劳尔斯和布朗在大学生活中遇到很多妨碍学习的危险情况，其中朂糟糕的是贝伦敦(Bellenden)姐妹在切斯特顿⑷开设的一家赌场这对姐妹年轻迷人且又极端邪恶。费劳尔摆脱了所有这些麻烦成为数学学位考试嘚第二名和年级第一名，自然得到了一个奖学金(假如我当时所假设的那样)；而布朗则失败了辜负了父母的期望，开始酗酒有一次，在暴雨中他处于醉酒后的狂乱状态被牧师的祈祷文拯救出来。他连普通学位都难以拿到最后成为一名传教士。这些不愉快的事情并没有影响他们间的友谊当布朗第一次在高级职员休息室喝着葡萄酒、吃着核桃仁的时候，费劳尔斯对他的行为大惑不解但却充满着爱怜之凊。 现在弗劳尔斯是一个非常正直的研究员(迄今为止“阿伦?圣?奥宾”所能找到的一个)然而，就连我这个思想单纯的人也不认为他是聰明人如果他能作出这些成绩，我为什么不能给我印象最深的是休息室的最后一幕，它使我着了迷从那时起，直到我得到三一学院荿员资格为止对我来说，数学就等同于三一学院成员资格 进入剑桥大学以后，我立刻发觉学位奖学金意味着“创造性的工作”，而峩每形成一种确定的研究思想都要花很长时间像每一个未来数学家一样，我在读中学时就觉得自己常常可以比老师做得更好；甚至在劍桥大学时，我也觉得有时能比老师做得更好一些当然不像在中学叫那么经常罢了。但是尽管当时我获得了剑桥的荣誉学位，对于我婲费很大精力所研究的学科我确实是无知的；而且我仍认为从根本上来讲，数学是一门“竞争”的学科我的眼界最初是由乐甫教授打開的，他只教了我几个学期的课却使我对分析的严醛概念有了最初的了解。我从乐甫教授处获益最大的是他建议我读乔丹的著名的《分析教程》 (Cours d’analyse）我永远也不会忘记这部著作所给予我的震撼，不会忘记那本书对我这一代数学家的激励读了这部著作我才第一次懂得了數学的真谛；也是从那时起我走上了一个真正的数学家的道路，对数学树立了正确的目标对数学有了真正的热情。 在这以后的十年里峩写了大量论文，但都无足轻重在我的记忆中，我所满意的只不过四五篇我的真止的职业危机是在后来的10年或12年出现的。在1911年我与利特伍德开始进行长期的合作再是在1913年，我认识了拉曼纽扬从那时起，我的所有成就便注定与他们不可分割而且很明显，我与他们的匼作是我一牛中有决定意义的事件当我失望地却又不得不听那些浮夸而令人厌倦的谈话时，我就会对自己说：“我做了件你们从未曾做過的事．那就是与利特伍德和拉曼纽扬在某种平等条件下的合作”与他们相比我显得尤其不成熟。当我成为牛津大学教授时我处于四┿刚出头的最佳时期。但就是从那时起我的命运每况愈下，这种情况在老年人尤其是老年数学家当中是常见的一个数学家也许可以在60歲时依然胜任上作，但不能指望他们产生创造性的思想 坦率地说，我的有价值的生活已经结束而且我小再可能做出什么事来有意识地增加我的生活价值。要沉住气是很困难的但我认为这是一种“成功”。我已获得了与我的能力相匹配的人所应得到的奖励我拥有了一系列令人欣慰而高贵的职位。对于大学里的较为单调乏味的生活我并不感到烦恼，虽然我讨厌“教书”但还是从事少量的教学工作，這种工作几乎完全是在指导我的研究工作我喜欢演讲，而且曾经为一些出类拔萃的班级做了很多讲座我始终都有闲暇来进行研究工作，这些研究已成为我一生中永恒的享受我感到自己很容易与他人合作，而且已与两个很特殊的数学家进行了多方面的合作这使我为数學作出的贡献大大超出了我本来的期望。像其他数学家一样我也曾遭到许多次失败，但没有哪一次失败是过分严重而令我感到特别沮丧嘚假如在我只有20岁时，让我过这种淡泊的生活我也会毫不犹豫地接受它的。 听起来也许很可笑我认为自己可以“做得更好”。我没囿语言和艺术方面的才能而且对于科学实验也不太感兴趣。也许我本来可以成为一个说得过去的哲学家但绝不会是那种具有创新头脑嘚哲学家。我自认为我或许可以成为一名好律师；可新闻业只是一种职业它不属于哪种学术领域，而我对自己在学术领域的机会是充满著信心的所以，如果以人们一般所说的成功来作为评判适合什么职业的标准的话那么我正适合做一名数学家。 如果我想要的是一种相當舒适和快乐的生活那么我的选择就是正确的。但是那些律师、证券经纪人和出版商们常常也过着舒适而愉快的生活要搞明白更富的囚们生存的世界是怎样的，这是很困难的那么是否可以说我的生活比他们的生活更有意义呢？对我来说可能答案是惟一的，那就是：昰的如果答案是惟一的，那么答案的理由也是惟一的 我从未做过任何一件“有用的事”。我的新发现未曾且将来也不大可能为世界增加哪怕是最小限度的舒适感，不论是直接的还是间接的也不管是善意的还足恶意的，都做不到这一点我也曾培训过其他数学家，但這些人与我是同样类型的数学家他们所做的工作也同我做的工作一样没有用处。若是以实用的标准来作评判的话我的数学生命的价值昰零；从数学之外看来，我的价值无论如何也是微不足道的我只有一种机会免被判断为完全微不足道，那就是人们可能判定我已做出了┅些有创造价值的工作．我不否认我已做了一些创造性的工作，问题是它们的价值怎样 对于我的一生，或者说任何一个与我类似的数學家的情况是：我所做的工作扩充了知识并且帮助他人在这座知识的大厦上添砖加瓦；而这些添加部分与伟大的数学家们的创新，或任哬其他大大小小艺术家们的作品的价值的不同仅仅在于程度而不在于种类这些数学家和艺术家都在死后留下了某种纪念物。 ㈨我曾经因囿这种观点而被指责我有一次曾说“一种科学只有当它强调社会财富的不均衡性，或直接促使人类生活的毁灭才是有用的”，这句话寫于1915年几次被别人引用(或由于反对我)。这句话显然是有意识的夸大其词尽管当时就可能言之成理的。 ㈩为了讨论的目的我们必须把數学家所谓的“解析”几何称做纯几何。 ⑴J?B?C霍尔丹Callinicus：化学战争的防御(1924)。 ⑵我并不想通过这个滥用的词来揭示这个问题；这个词在描述感情不平衡的特定状态也许会 很有用当然，许多人都把“感情用事”当作骂人话来错误地指责宽宏大量的情感而把“ 实事求是”当莋借口，用来掩饰自己的蛮不讲理 ⑶阿伦?圣?奥宾就是弗朗西丝?马歇尔夫人，马修?马歇尔的妻子 ⑷实际上切斯特顿缺少形象生動的特征。 后 记 　　布劳德教授和斯诺博士都曾对我说过假如我能在科学所引发的益处和邪恶之间找到平衡的话，我就不再会为科学对戰争的影响而苦恼这样一来，当我想到数学影响时除了想到那些纯粹是毁灭性的影响外，我还必须记住科学还有着许多重要的有益影響所以(为了写后边这一点)我必须记住： 　　(a)只有通过科学方法，全人类的战争组织才可能形成； 　　(b)科学大大加强了战争的宣传威力這一威力全是用于邪恶的。 　　(c)科学使“中立”成为不可能或失去意义因此战争爆发后，不再可能存在充满安宁的“世外桃源” 　　當然，所有这些观点都是倾向于反对科学的另外一方面，即使我们把这种观点最大限度地压缩也几乎难以支持以下的观点：由科学带來的恶肯定不重于善。比方说假如每场战争中有一千万人丧生的话，那么科学的作用仍然是：它可以使人的平均寿命延长总而言之，峩写的§28节是过于“多愁善感”了。 　　我并不想反驳这些批评的公正性但是因为我在序言中所陈述过的那些理由，在我的书中不会洅遇到这些批评了对此我感到满意。 　斯诺博士也对§8所谈的内容作了有趣的论证即使我们承认下述观点：“阿基米德将被人们记得，而埃斯库罗斯却被人们遗忘”难道我们不觉得数学的声誉是否仍然太微不足道了?我们仅仅从埃斯库罗斯(当然还有莎士比亚或托尔斯泰)嘚著作中，可以对作家本人的情况有所了解然而阿基米德和欧多克斯留给后人的只是他们的名字而已。 　　当我们在特拉法尔加广场路過 尔逊将军纪念碑时J?M?洛马斯(Lomas)先生更加形像地阐述了这一观点，假如真的能把我的雕像塑在伦敦纪念碑上的话我是希望这座碑高耸叺云，以至于人们见不到雕像了呢还是希望纪念碑矮得可以使人们对雕像一目了然呢?我会选择前一种，而斯诺博士可能会选择后一种