若定义在R上的函数对任意f(x)满足f(x)=f(2-x)及f(x)=-f(-x),且在[0,1]上有f(x)=x^2,则f(4039/2)=

点击联系发帖人 时间：2020-02-11 02:51

定义在R上的函数

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若若定义在R上的函数对任意f（x）满足f（-x）=f（x）f（2-x）=f（x），且当x∈[01]时，f（x）=

则函数H（x）=|xe^x|-f（x）在区间[-5，1]上的零点个数为（　　）

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求出函数f（x）=xe^x的导函数由导函数等于0求出x的值，以求出的x的值为分界点把原函数的定义域分段以表格的形式列出导函数在各区间段内的符号及原函数的增减性，从而得到函數的单调区间及极值点把极值点的坐标代入原函数求极值．然后判断y=|xe^x|的极值与单调性，然后推出零点的个数

本题考查了利用导数研究函數的单调性与极值在求出导函数等于0的x值后，借助于表格分析能使解题思路更加清晰此题是中档题．

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若若定义在R上的函数对任意f（x）满足：对任意ab∈R有f（a+b）=f（a）+f（b）+1．
（1）求f（0）的值；
（2）令F（x）=f（x）+1，判断y=F（x）的奇偶性；
（3）若x＞0有f（x）＞-1解不等式f（x）+f（x+5）＞-2．

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（1）根据已知等式，采用赋值法取a=b=0，可得f（0）的值；
（2）结合（1）中结论继续采用赋值法，取a=x、b=-x结合函数奇偶性的定义，可得F（x）昰奇函数；
（3）任取x₁＜x₂得f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）+1，根据（2）中的结论得f（x₂-x₁）=f（x₂）-f（x₁）-1由条件判断 f（x₂）-f（x₁）的符号，得f（x）在R上是增函数根据恒等式将原不等式转化为f（2x+5）-1＞-2，再移项根据f（0）=-1化为：f（2x+5）＞f（0）再根据函数单调性的定义列出不等式求解．

函数奇偶性的性质；抽潒函数及其应用．

本题考查函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明利用赋值法解决抽象函数的问题，考查分析问题、解决问题的能力是中档题．

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