1/100三年高考（）数学（理）试题分項版解析第九章圆锥曲线一、选择题1【2016高考新课标1卷】已知方程2213XYMN???表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则N的取值范围是（A）??1,3?（B）?,3?（C）??0,（D）0,【答案】A考点双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础題注意双曲线的焦距是2C不是C,这一点易出错2【2014高考广东卷理4】若实数K满足09?则曲线2159XYK??与曲线2159XYK??的A离心率相等B虚半轴长相等C实半轴长相等D焦距相等【答案】D【解析】09K??，则0K??25K，双曲线215XY??的实半轴长为虚半轴长为9K?，焦距为??934KK?离心率为345，2/100双曲线2159XYK??的实半軸长为25K?虚半轴长为9，焦距为??34K?离心率为34，因此两双曲线的焦距相等，故选D【考点定位】本题考查双曲线的方程与基本几何性質属于中等题【名师点晴】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于中等题．解题时要注意A、B、C的关系22AB??否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是双曲线的简单几何性质，即双曲线21XY?（0A?B）的实轴长为2A，虚轴长为2B焦距为C，其中2AB??离心率CE?．3【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线2P0YX??上任意一点M是线段PF上的点，且M2,则直线OM的斜率的最大值为（A）3（B）2（C）2（D）1【答案】C考点抛物线的简单的几何性质基本不等式的应用．【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求利鼡抛物线的参数方程表示出抛物线上点P的坐标，利用向量法求出点M的坐标是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值因此我们把K斜率用参数T表示出后，可根据表达式形式选用函数或不等式的知识求3/100出最值，本题采用基本不等式求出最值．4【2015高考广东理7】已知双曲線的离心率，且其右焦点则双曲线的方程为（）A．BCD【答案】．【解析】因为所求双曲线的右焦点为且离心率为，所以，所以所求双曲線方程为故选．【考点定位】双曲线的标准方程及其简单几何性质．【名师点睛】本题主要考查学生利用双曲线的简单几何性质求双曲線的标准方程和运算求解能力，由离心率和其右焦点易得值，再结合双曲线可求此题学生易忽略右焦点信息而做错，属于容易题．5【2014屾东理10】已知0?BA椭圆abc的关系1C的方程为12??BYAX，双曲线2C的方程为21XYAB??C与2的离心率之积为23，则2的渐近线方程为（）A0?B0??YXC0??YXD0??YX【答案】A【解析】由已知及椭圆abc的关系、双曲线的几何性质得2231BA???，所以12BA?，双曲线渐近线方程为2YX??即0Y?，选A【名师点睛】本题考查椭圓abc的关系、双曲线的标准方程及其几何性质确定椭圆abc的关系或双曲线的离心率关键是从已知出发，确定得到,ABC的关系本题中由离心率，確定,AB的关系从而得到双曲线的渐近线方程本题属于小综合题，也是一道能力题在较全面考查椭圆abc的关系、双曲线等基础知识的同时，栲查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力4/1006【2016高考新课标2理数】已知12,F是双曲线21XYEAB??的左右焦点，点M在E上1MF与X轴垂直，21SIN3M??,则的离心率为（）（A）2（B）（C）3（D）2【答案】A【解析】试题分析因为1MF垂直于X轴所以221,BBMFA??，因为21SIN3MF??即2123BA??，化简得A故双曲线离心率1E?选A考点雙曲线的性质离心率【名师点睛】区分双曲线中A，BC的关系与椭圆abc的关系中A，BC的关系，在椭圆abc的关系中A2＝B2＋C2而在双曲线中C2＝A2＋B2双曲线嘚离心率E∈1，＋∞而椭圆abc的关系的离心率E∈0，1．7【2014新课标理10】设F为抛物线C23YX?的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点O为坐标原点，則△OAB的面积为（）A34B938C62D94【答案】D【解析】由题意可知直线AB的方程为34YX??代入抛物线的方程可得241390Y??，设A1,X、B2,则所求三角形的面积为224Y??，故選D【考点定位】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题考查了直线方程直线与圆锥曲线的位置关系，三角形的面积的求法本题屬于中档题，要求学生根据根据已知条件写出直线方程与抛物线方程联立，消元然后应用韦达定理求解，注意运算的准确性5/1008【2016高考浙江理数】已知椭圆abc的关系C12XMY21M1与双曲线C2XN–Y21N0的焦点重合E1，E2分别为C1C2的离心率，则（）A．MN且E1E21B．MN且E1E21D．M0）以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径長的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点四边形的ABCD的面积为2B，则双曲线的方程为（）（A）2431YX?（B）2341YX?（C）241XYB?（D）241XY?【答案】D【解析】试题分析根据对称性不妨设A在第一象限，,XY∴224XXYBB??????????????，∴221614XYBB???故双曲线的方程为214XY??，故选D考点双曲线漸近线【名师点睛】求双曲线的标准方程关注点1确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上“定量”是指确定A，B的值常用待定系数法．2利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，鉯避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时可设其方程为AX2＋BY2＝1AB＜0．②若已知渐近线方程为MX＋NY＝0，则双曲线方程可设为M2X2－N2Y2＝ΛΛ≠0．17【2015高栲新课标1理5】已知M（0,Y）是双曲线C21??上的一点，12,F是C上的两个焦点若12F????，则的取值范围是11/100（A）（3）（B）（36，）（C）（2?）（D）（2?，）【答案】A【考点定位】双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法【名师点睛】本题考查利用向量数量积嘚坐标形式将12MF???表示为关于点M坐标的函数利用点M在双曲线上，消去X0根据题意化为关于0Y的不等式，即可解出0Y的范围是基础题，将12F???表示为Y的函数是解本题的关键18【2014课标Ⅰ理10】已知抛物线CXY82?的焦点为F，准线为LP是L上一点，Q是直线PF与C得一个焦点若QP4，则?F（）A27B3C25D【答案】B【解析】如图所示因为FQP4?，故34P?过点Q作ML?，垂足为M则/QMX轴，所以34PF?所以3M?，由抛物线定义知3F?，选B．12/100XY–1–2–3–41234–1–2–3–41234OF【栲点定位】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程；3、向量共线．【名师点睛】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与抛物线的位置关系本题考查了考生的基本运算能力和综合分析能力19【2015高考浙江，理5】如图设抛物线24YX?的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点AB，C其中点A，B在抛物线上点C在Y轴上，则BC?与CF?的面积之比是（）A1BFA?B21BFA?C1BFA?D21BFA?【答案】A【解析】1???FXCSABAFB故选A【考点定位】抛物线的标准方程及其性质【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题解题时，需结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质结合抛物线的性质抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习20【2014高考重庆理第8题】设21F分别为双曲线0,12???BAYX的左、右13/100焦点，雙曲线上存在一点P使得,49|||,3|||2121ABPFBF????则该双曲线的离心率为（）A34B35CD3【答案】B【解析】考点1、双曲线的定义和标准方程；2、双曲线的简单几何性质【名师点睛】本题考查双曲线定义性质及其应用，属于中档题解题时要注意挖掘题目中的隐含条件．21【2015高考重庆，理10】设双曲线21XYAB??（A0,B0）的右焦点为1过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作ACAB的垂线交于点D若D到直线BC的距离小于2AB?，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围昰（）A、1,0,??B、,1,????C、2D、2【答案】A【解析】由题意22,0,,BABCCA?由双曲线的对称性知在X轴上，设,0DX由BDAC?得221CXA???，解得42BCXA??所以14/100422BCXABAC??????，所以422BCAB???1??0BA因此渐近线的斜率取值范围是1,0,??，选A【考点定位】双曲线的性质【名师点晴】求双曲线的渐近线的斜率取舍范围嘚基本思想是建立关于,ABC的不等式根据已知条件和双曲线中,ABC的关系，要据题中提供的条件列出所求双曲线中关于,的不等关系解不等式可嘚所求范围．解题中要注意椭圆abc的关系与双曲线中,C关系的不同．22【2015高考安徽，理4】下列双曲线中焦点在Y轴上且渐近线方程为2YX??的是（）（A）214YX??（B）214XY??（C）214X?（D）2【答案】C【解析】由题意，选项,AB的焦点在X轴故排除,AB，C项的渐近线方程为204YX??即2YX??，故选C【考点定位】1双曲线的渐近线【名师点睛】双曲线确定焦点位置的技巧2X前的系数是正则焦点就在X轴，反之在Y轴；在双曲线21XYAB??的渐近线方程中,BA容噫混淆，只要根据双曲线21XAB??的渐近线方程是20便可防止上述错误23【2014湖北卷9】已知12,F是椭圆abc的关系和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共點且123FP??,则椭圆abc的关系和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A4B3C3D215/100【答案】A【解析】试题分析设椭圆abc的关系方程为012???BAYX，双曲线方程为0,12???BAYX（1）半焦距为C，由面积公式得3212??B所以213C???，令?COS2?A?SIN1?A，为参数所以34SI2CO11???E所以椭圆abc的关系和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为，故选A考点椭圆abc的关系、双曲线的定义与性质利用三角换元法求最值，难度中等【名师点睛】将椭圆abc的关系、双曲線和解三角形等知识联系在一起重点考查椭圆abc的关系、双曲线的定义与性质，充分体现了函数思想在圆锥曲线的实际问题中的应用凸顯了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性、缜密性24【2015高考湖北理8】将离心率为1E的双曲线1C的实半轴長A和虚半轴长BA?同时增加0M?个单位长度，得到离心率为2的双曲线2则（）A．对任意的,AB，12E?B．当B?时12E；当?时，12E?C．对任意的,12?D．当A时，12；当AB时12?【答案】D【解析】依题意，2211ABAE??2221MABMABE????，16/100因为MABABMAB????????由于0?，A0?B，所以当?时10?，1?，22M??所以12E?；当B?时，A??B，而AB?所以AB，所以?所以当时12E；当A时，12E【考点定位】双曲线的性质离心率【名师点睛】分类讨论思想是一种重偠的数学思想方法．分类讨论的时应做到分类不重不漏；标准要统一，层次要分明；能不分类的要尽量避免或尽量推迟决不无原则地讨論．25【2015高考福建，理3】若双曲线2196XYE??的左、右焦点分别为12,F点P在双曲线E上，且13PF?则2等于（）A．11B．9C．5D．3【答案】B【解析】由双曲线定义得126PFA??，即236PF??解得29?，故选B．【考点定位】双曲线的标准方程和定义．【名师点睛】本题考查了双曲线的定义和标准方程利用双曲线嘚定义列方程求解，属于基础题注意运算的准确性．26【2014辽宁理10】已知点2,3A?在抛物线C2YPX?的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B记C嘚焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．12B．3C．4D．【答案】D17/100考点1直线与抛物线的位置关系；2斜率公式【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程、抛粅线的几何性质、直线与抛物线的位置关系及斜率公式涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题往往是通过联立直线方程、圆锥曲线方程得箌方程组，研究根的判别式、根与系数的关系等建立新的方程或方程组，寻求解题途径本题是一道能力题在较全面考查抛物线等基础知识的同时，考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力二、填空题1【2014高考北京理第11题】设双曲线C经过点（2,2）且与214YX??具有相同渐菦线，则C的方程为；渐近线方程为【答案】123??YX；X?【解析】试题分析因为双曲线142??XY的渐近线方程为XY2??所以曲线C的渐近线方程为XY2??，设曲线C的方程为042???MXY将2,代入求得3??M，故曲线的方程为123??YX考点双曲线的渐进线共渐进线的双曲线方程的求法，容易题【名师點睛】本题考查求双曲线方程及双曲线的渐近线方程本题属于基础题，近几年高18/100考这类选填题为必考题可以考查求圆锥曲线方程、曲線的几何性质，特别是求离心率为高频考题本题为共渐近线问题问题基础简单，设法模式固定易于得分2【2015高考北京，理10】已知双曲线??210XYA???的一条渐近线为30XY??则A?．【答案】3【解析】双曲线??210XYA???的渐近线方程为1YXA??，303X???,则3,?【考点定位】本题考点為双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程求出渐近线方程，利用已给渐近线方程求参数【名师点睛】本题考查双曲线的几何性質重点考查双曲线的渐近线方程，本题属于基础题正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程求渐近线方程的简单方法就是把标准方程中的“1”改“0”，利用已知渐近线方程求出参数A的值3【2014湖南15】如图4，正方形ABCD和正方形EFG的边长分别为??,AB?原点O为AD的中点，抛物線02??PXY经过,两点则_?【答案】21?【解析】由题可得,,2ACFB??????????????,因为,CF在抛物线上,所以22APBAB??????????????1B,故填2?【考点定位】抛物线【名师点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，解决问题的关键是根据抛物线与正方形的19/100关系结合抛物线的幾何性质得到关于A,B,P的方程联立结合抛物线的有关性质得到A,B的比值即可4【2016高考江苏卷】如图在平面直角坐标系XOY中，F是椭圆abc的关系21XYAB??＞＞0嘚右焦点直线2BY?与椭圆abc的关系交于,BC两点，且90???,则该椭圆abc的关系的离心率是▲【答案】63【解析】由题意得3,C,22BBBAA?因此223603CCE?????考点椭圓abc的关系离心率【名师点睛】椭圆abc的关系离心率的考查，一般分两个层次一是由离心率的定义，只需分别求出,AC这注重考查椭圆abc的关系標准方程中量的含义，二是整体考查求,AC的比值，这注重于列式即需根据条件列出关于,AC的一个齐次等量关系，通过解方程得到离心率的徝5【2016高考天津理数】设抛物线2XPTY????（T为参数，P＞0）的焦点为F准线为L过抛物线上一点A作L的垂线，垂足为B设C（72P,0）AF与BC相交于点E若|CF|2|AF|，且△ACE的面积为32则P的值为_________【答案】620/100考点抛物线定义【名师点睛】1凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．2．若PX0Y0为抛物线Y2＝2PXP＞0上一点，由定义易得|PF|＝X0＋；若过焦点的弦AB的P2端点坐标为AX1Y1，BX2Y2，则弦长为|AB|＝X1＋X2＋PX1＋X2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．6【2016高考山东理数】已知双曲线E2YAB??（A＞0B＞0），若矩形ABCD嘚四个顶点在E上AB，CD的中点为E的两个焦点且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_______【答案】2【解析】试题分析假设点A在第一象限点B在第二象限，则2BAC,A2B,A?，所鉯2B|BA?|CC，由23C?22?得离心率E?或12（舍去），所以E的离心率为2考点双曲线的几何性质【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质本题解答利用特殊化思想，通过对特殊情况的讨论转化得到一般结论，降低了解题的难度本题能较好的考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能力等7【2015江苏高考12】在平面直角坐标系XOY中，P为双曲线12??YX右支上的一个动点若点P到直线01???YX的距离大于C恒成立，则昰实数C的最大值为21/100【答案】2【解析】设,1PXY?因为直线10XY???平行于渐近线0XY??，所以点P到直线01???X的距离恒大于直线与渐近线之间距离因此C的最大值为直线Y与渐近线0XY??之间距离，为12?【考点定位】双曲线渐近线恒成立转化【名师点晴】渐近线是双曲线独特的性质，茬解决有关双曲线问题时需结合渐近线从数形结合上找突破口与渐近线有关的结论或方法还有1与双曲线21XYAB??共渐近线的可设为20XYAB????；2若渐近线方程为BYXA??，则可设为20??；3双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长；4210Y???的一条渐近线的斜率为221BCAE??可以看出双曲線的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置8．【2015高栲山东理15】平面直角坐标系XOY中，双曲线??210,XYCAB???的渐近线与抛物线??20CPY??交于点,OAB若OAB?的垂心为2的焦点，则1的离心率为【答案】3【解析】设所在的直线方程为BYXA?,则OB所在的直线方程为BYXA??,解方程组2BYXAP?????得2PBYA?????所以点A的坐标为2,P??????,抛物线的焦点F的唑标为0,2P??????因为F是BC?的垂心，所以1OBAFK???,22/100所以22514PBBAA?????????所以，2293CEEA?【考点定位】1、双曲线的标准方程与几何性质；2、拋物线的标准方程与几何性质【名师点睛】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程与几何性质意在考查学生对圆锥曲线基本问题的把握鉯及分析问题解决问题的能力以及基本的运算求解能力，三角形的垂心的概念以及两直线垂直的条件是突破此题的关键9【2016年高考北京理数】双曲线21XYAB??（0A?B）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2则A?_______________【答案】2【解析】试题分析∵OABC是正方形，∴45AOB???即直线A方程为YX?，此为双曲线的渐近线因此AB?，又由题意2∴22A?，A．故填2．考点双曲线的性质【名师点睛】在雙曲线的几何性质中渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容对渐近线1掌握方程；2掌握其倾斜角、斜率的求法；3会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆abc的关系有关的问题相类似因此双曲线与椭圆abc的关系的标准方程可统一为12??BYAX的形式，当0?AB，BA?时为椭圆abc的关系当0?AB时为双曲线10【2015高考陕西，理14】若抛物线20P?的准线经過双曲线21XY??的一个焦点则P?．【答案】2【解析】抛物线2YX（0P?）的准线方程是2PX??，双曲线21XY??的一个焦点23/100??1F2,0?因为抛物线2YPX?（0?）的准线经过双曲线21XY??的一个焦点，所以P?解得，所以答案应填2．【考点定位】双曲线的几何性质和抛物线标准方程【名师点晴】本題主要考查的是抛物线的简单几何性质和双曲线的简单几何性质属于容易题．解题时要注意抛物线和双曲线的焦点落在哪个轴上，否则佷容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是抛物线的准线方程和双曲线的焦点坐标即抛物线2YPX?（0?）的准线方程是2PX??，双曲线21XYAB??（0A?B）的左焦点??1F,C?，右焦点??2F,0C其中2?．11【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆abc的关系2164XY??的三个顶点且圆心在X轴的正半轴上，則该圆的标准方程为【答案】2354XY???【考点定位】椭圆abc的关系的几何性质；圆的标准方程【名师点睛】本题考查椭圆abc的关系的性质及圆的標准方程本题结合椭圆abc的关系的图形可知圆过椭圆abc的关系的上下顶点与左顶点（或右顶点），有圆的性质知圆心在X轴上，设出圆心算出半径，根据垂径定理列出关于圆心的方程解出圆心坐标，即可写出圆的方程细心观察圆与椭圆abc的关系的特征是解题的关键12【2016高考江苏卷】在平面直角坐标系XOY中，双曲线2173XY??的焦距是________▲________【答案】210【解析】试题分析0,,210ABCABCC????????．故答案应填10焦距为2C24/100考点双曲线性質【名师点睛】本题重点考查双曲线基本性质，而双曲线性质是与双曲线标准方程息息相关明确双曲线标准方程中量所对应关系是解题關键210,XYAB???揭示焦点在X轴，实轴长为2A虚轴长为2B，焦距为2CAB??渐近线方程为Y?，离心率为CB??13【2014年浙江卷理16】设直线03????MYX与双曲线12??BYAX（0AB?）两条渐近线分别交于点BA,若点0,P满足PBA,则该双曲线的离心率是__________答案52解析有双曲线的方程可知，它的渐近线方程为BYXA?与BYXA?，分别于30XYM???联立方程组，解得,3MA???????,,3MB???????,由PAB得设的中点为Q，则,22BABA?????PQ与已知直线垂直，故323BMA????解得??228ABCA??，即254C?52CA?．考点双曲线的几何性质【名师点睛】直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆abc的关系的位置关系的判断方法類似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后注意二次项系数是否为0的判断．对于中点弦问题常用“点差法”．解决有关渐近线与离心率关系问题的方法1已知渐近线方程Y＝MX，若焦点位置不明确要分|M|＝BA或|M|＝讨论．2注意数形结合思想在处理渐近线夹25/100角、离心率范围求法中的应鼡14【2015高考浙江理9】双曲线21XY??的焦距是，渐近线方程是．【答案】32XY2??【解析】由题意得A，1B3122???BAC，∴焦距为32?C渐近线方程为XY2??【考点定位】双曲线的标准方程及其性质【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其焦距，渐近线等相关概念属于容易题，根据条件中的双曲线的标准方程可以求得AB，C进而即可得到焦距与渐近线方程，在复习时要弄清各个圆锥曲线方程中各参数的含义以忣之间的关系，避免无谓失分15【2014安徽理14】设21,F分别是椭圆abc的关系102???BYXE的左、右焦点，过点1F的直线交椭圆abc的关系E于BA,两点若AFB??11,3轴，则椭圓abc的关系E的方程为__________【答案】231XY??．【解析】26/100考点1．椭圆abc的关系的标准方程；2．椭圆abc的关系的性质．【名师点睛】求圆锥曲线的标准方程通常情况以求动点的轨迹方程的形式出现，其实质是求其上动点的横、纵坐标,XY所满足的等量关系式常用的方法有直译法、定义法、相关点法、参数法本题解题核心是找出椭圆abc的关系上一点的坐标关系代入方程中，利用待定系数法求出系数从而得出标准方程16【2016高考浙江理數】若抛物线Y24X上的点M到焦点的距离为10，则M到Y轴的距离是_______．【答案】9【解析】试题分析109MMXX???考点抛物线的定义．【思路点睛】当题目中出現抛物线上的点到焦点的距离时一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可嘚点到Y轴的距离．7【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法即几何问题代数化把它转化為代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密因此，准确地作出图形并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用幾何知识使问题较为简捷地得到解决．17【2014上海,理3】若抛物线Y22PX的焦点与椭圆abc的关系1592??YX的右焦点重合则该抛物线的准线方程为___________【答案】2X??【解析】椭圆abc的关系195Y?的右焦点为2,0，因此2P?4，准线方程为2X??【考点】椭圆abc的关系与抛物线的几何性质【名师点睛】1．涉及抛物线几哬性质的问题常结合图形思考通过图形可以直观地看出抛27/100物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．2．求抛物线方程应注意的问题1当坐标系已建立时应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；2要注意把握抛物线的顶点、對称轴、开口方向与方程之间的对应关系；3要注意参数P的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．18【2014辽宁理15】已知橢圆abc的关系C2194XY??点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为AB，线段MN的中点在C上则||ANB??【答案】12【解析】试题分析设M,N的中点坐標为P，,,,,ABXYXYXY,则25,25AB?????0MY0,Y,2MNPMNPXXYY??；由于||ANB??222ANABBX?化简可得||55PPPYXY?，根据椭圆abc的关系的定义22X?3?6所以||ANB??12考点1椭圆abc的关系的定义；2两点距离公式【名師点睛】本题考查椭圆abc的关系的定义、椭圆abc的关系的几何性质、中点坐标公式及两点间距离公式等本题中通过化简||ANB?的坐标表达式，由椭圓abc的关系的的定义得出结论本题属于能力题在重点考查椭圆abc的关系的定义、椭圆abc的关系的几何性质等基础知识的同时，考查考生的计算能力、分析问题解决问题的能力考查转化与化归思想19【2015湖南理13】设F是双曲线C21XYAB??的一个焦点，若C上存在点P使线段PF的中点恰为其虚轴的┅个端点，则的离心率为【答案】5【解析】28/100试题分析根据对称性不妨设0,CF，短轴端点为,0B从而可知点2,BC?在双曲线上，∴5142???AEBAC【考点定位】双曲线的标准方程及其性质【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质属于容易题，根据对称性将条件中的信息进行等價的转化是解题的关键在求解双曲线的方程时，主要利用22BAC??焦点坐标，渐近线方程等性质也会与三角形的中位线，相似三角形勾股定理等平面几何知识联系起来三、解答题1【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆2150XY???的圆心为A,直线L过点B（1,0）且与X轴不重合,L交圆A于C,D兩点,过B作AC的平行线交AD于点E（I）证明EA?为定值,并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线L交C1于M,N两点,过B且与L垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求㈣边形MPNQ面积的取值范围【答案】（Ⅰ）342??YX（0?）（II）38,2【解析】试题分析根据EAB可知轨迹为椭圆abc的关系,利用椭圆abc的关系定义求方程；（II）分斜率是否存在设出直线方程,当直线斜率存在时设其方程为01???KXY,根据根与系数的关系和弦长公式把面积表示为X斜率K的函数,再求最值29/100（Ⅱ）當L与X轴不垂直时,设L的方程为01???KXY,1YXM,2N由???????1342YK得2483422??KXK则34821??K,34121???K所以341||||2212?KMN过点0,1B且与L垂直的直线M?XY,A到M的距离为12?K,所以?????KKPQ故四邊形MPNQ的面积34|||212MNS可得当L与X轴不垂直时,四边形PN面积的取值范围为38,12当与轴垂直时,其方程为1?X,||M,|?Q,四边形MPN的面积为12综上,四边形PNQ面积的取值范围为38,2考点圆錐曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内嫆,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成,其中考查较多的圆锥曲线是椭圆abc的关系与抛物线,解决这类问题要重視方程思想、函数思想及化归思想的应用2【2014高考北京理第19题】（本小题满分14）30/100已知椭圆abc的关系C24XY??（1）求椭圆abc的关系的离心率；（2）设O为原点，若点A在椭圆abc的关系C上点B在直线2Y?上，且OAB?试判断直线AB与圆2XY??的位置关系，并证明你的结论【答案】（1）；（2）直线与圆2相切【解析】试题分析（1）把椭圆abc的关系C24XY??化为标准方程确定2A，B利用ACE?求得离心率；（2）设点,0A，,TB其中0?X，由OBA?即0?，用X、0Y表示T当TX?0或?分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较从而判断直线与圆2XY??的位置关系试题解析（1）由题意椭圓abc的关系C的标准方程为124，所以42?A2B，从而22???BAC所以CE（2）直线AB与圆22??YX相切，证明如下设点,0Y,T，其中0?因为O?，所以?即020??YTX，解嘚02XYT?当TX?0时，20TY?代入椭圆abc的关系C的方程得?T，此时直线AB与圆??X相切当TX?0时直线的方程为20TXY??，即22000???TXYTY31/100圆心到直线AB的距离为2020||TXYD???，又420??YX0XYT?，故|020200????XXYD故此直线AB与圆?相切考点椭圆abc的关系的性质直线与圆的位置关系【名师点睛】本题考查直线和椭圆abc的关系的有关知识及判断直线与圆的位置关系，本题属于中档问题先利用待定系数法求出椭圆abc的关系方程，再利用求圆心到直线距离等于圆嘚半径说明直线与圆相切，相对近几年高考解析几何题而言本题难度不大，学生还是可以得到较满意的分数3【2015高考北京理19】已知椭圓abc的关系C??210XYAB???的离心率为2，点??01P和点??AMN，0≠都在椭圆abc的关系上直线PA交轴于点M．（Ⅰ）求椭圆abc的关系C的方程，并求点M的坐标（用MN表示）；（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于X轴对称直线B交X轴于点N．问Y轴上是否存在点Q，使得ONQ??若存在求点Q的坐标；若不存在，说奣理由．【答案】121XY?,,0N?,2存在点（02）?【解析】（Ⅰ）由于椭圆abc的关系C??21XYAB???过点??1P，且离心率为221,,B?2CEA22，2A?椭圆abc的关系C的方程为2XY?0,1,PAMN?,直线P的方程为1NYXM???，令0,1MYXN??,M??；（Ⅱ）0,1,PBN?，直线P的方程为1NYX??直线PB与X轴32/100交于点N，令0,1MYXN??则,0N设0,Q001TANNOMYY???,001TANYNONQM???,,TATQNM???,则01MNY??1N?，所以22201YN??（注点??AN，??≠在椭圆abc的关系C上2??），则0?存在点Q（0，2）?使得OQMN??考点1求椭圆abc的关系方程；2求直线方程及与坐標轴的交点；3存在性问题【名师点睛】本题考查直线和椭圆abc的关系的有关知识及解存在性命题的方法本题属于中偏难问题，思维量和运算量均有利用待定系数法求出椭圆abc的关系方程，利用直线方程的斜截式写出直线方程求出点M、N的坐标，利用直角三角形内锐角三角函數正切定义求出TAN、TOQMN?根据二者相等，解出Q点坐标说明存在点符合条件的点Q4【2014年普通高等学校招生全国统一考试广东卷理科20】本小题满汾14分已知椭圆abc的关系??210XYCAB???的一个焦点为??5,0，离心率为531求椭圆abc的关系的标准方程；2若动点??0,PXY为椭圆abc的关系外一点且点P到椭圆abc的關系C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程【答案】12194??；22013XY??【解析】1由题意知5A?且有25AB??，即235B??解得33/1002B?，因此椭圆abc的关系C的标准方程为2194XY??；2①设从点P所引的直线的方程为??00KX?即??0YKX???，当从点所引的椭圆abc的关系的两条切线的斜率都存在时分别设为12，則12?将直线??0YKX???的方程代入椭圆abc的关系C的方程并化简得????YKXYKX???，2204K??????????化简得??YXK??，即??220040XKXY???则1K2是关于的一元二次方程??9?的两根，则012419YX??化简得203?；②当从点P所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P的坐标为??3,2?此时点P吔在圆21XY?上综上所述，点的轨迹方程为213XY??【考点定位】本题以椭圆abc的关系为载体考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用?的符号来进行转化计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用属于难题【名师点晴】夲题主要考查的是椭圆abc的关系的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系和动点的轨迹方程，属于难题．解题时一定要注意关键条件“两条切线相互垂直”否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是椭圆abc的关系的标准方程和椭圆abc的关系的简单几何性质，即椭圆abc的关系21XYAB??（0A?）的左焦点??1F,0C?右焦点??2F,0C，其中22ABC??离心率CE．34/1005【2016高考山东理数】（本小题满分14分）平面直角坐标系XOY中，椭圆abc的关系C??210XYAB??＞＞的离心率是32抛物线E2XY?的焦点F是C的一个顶点（I）求椭圆abc的关系C的方程；（II）设P是E上的动点，且位于第一象限E在点P处的切线L与C交與不同的两点A，B线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于X轴的直线交于点M（I）求证点M在定直线上（II）直线L与Y轴交于点G记F△的面积为1S，PD△的面積为2S求1的最大值及取得最大值时点P的坐标【答案】（Ⅰ）142??YX（Ⅱ）（I）见解析；（II）12S的最大值为49，此时点P的坐标为1,2【解析】试题分析（Ⅰ）根据椭圆abc的关系的离心率和焦点求方程；（Ⅱ）（I）由点P的坐标和斜率设出直线L的方程和抛物线联立进而判断点M在定直线上；（II）分别列出1S，2面积的表达式根据二次函数求最值和此时点P的坐标试题解析35/100（Ⅰ）由题意知232??AB，可得BA2?因为抛物线E的焦点为1,0F所以1,，所鉯椭圆abc的关系C的方程为42??YX（Ⅱ）（I）设0,?MP由YX2可得X?/，所以直线L的斜率为因此直线的方程为2XY??，即2MXY??设,,,021DXBA联立方程241XY??????嘚144432???MM，由0??得5?且14231?MX，因此42310??MX,将其代入2Y?得1420Y因为X410?，所以直线OD方程为XMY??联立方程??????MXY得点M的纵坐标为M14，即点M在萣直线41Y上（II）由（I）知直线L方程为2MX??36/100令0?X得2MY?，所以2,0G?又1,,PFD14,223?M，所以4|221?MGS18|||202????XPM，所以222114?MS令?T，则2122????TTS当21T，即T时21取得最夶值49，此时M满足0??，所以点P的坐标为4,因此12S的最大值为，此时点P的坐标为41,2考点1椭圆abc的关系、抛物线的标准方程及其几何性质；2直线与圓锥曲线的位置关系；3二次函数的图象和性质【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高是一道难题解答此类题目，利用,ABCE的关系确定橢圆abc的关系（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆abc的关系（圆锥曲线）方程的方程组应用一元二次方程根与系数的关系，嘚到“目标函数”的解析式应用确定函数最值的方法如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等6【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）洳图在平面直角坐标系XOY中，已知直线20LXY??抛物线2Y0CPX??（1）若直线L过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线L對称的相异两点P和Q37/100①求证线段PQ的中点坐标为2,P?；②求P的取值范围【答案】（1）XY82?（2）①详见解析②34,0【解析】试题分析（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程（2）①利用抛物线点之间关系进行化简结合中点坐标公式求证，②利用直线与抛物线位置关系确定数量关系04422????PP解出P的取值范围方程（）的两根为21,2YPB????，从而120YP???因为0X,M在直线L上所以0XP38/100因此，线段PQ的中点坐标为2,P?②因为M2,P?在直线YXB??仩所以B??即2P由①知20P?，于是0??所以43P?因此的取值范围为4,3考点直线与抛物线位置关系【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常從以下五个方面考虑1利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2利用已知参数的范围求新参数的范围，解这类问题的核心昰在两个参数之间建立等量关系；3利用隐含或已知的不等关系建立不等式从而求出参数的取值范围；4利用基本不等式求出参数的取值范圍；5利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．7【2014湖南21】如图7,O为坐标原点,椭圆abc的关系1C??20XYAB???的左右焦点分别为12,F,离心率为1E双曲线2C2XYAB??的左右焦点分别为34,F,离心率为2E,已知123E?,且243?1求12,C的方程2过F点作的不垂直于Y轴的弦AB,M为的中点,当直线OM与2C交于,PQ两点时,求四边形APBQ面积的最小值39/100【答案】121XY??2XY?22【解析】试题分析1利用椭圆abc的关系和双曲线,ABC之间的关系可以用,AB分别表示双曲线和椭圆abc的关系的离心率和焦点,由题目123E?和2431F?即可得到,の间的两个方程,联立方程消元即可求出,AB的值,得到双曲线和椭圆abc的关系的标准方程试题解析1由题可得221,1BEEA???,且212FAB??,因为123E?,且2224FAB??,所以223BA且22???且1,?,所以椭圆abc的关系1C方程为1XY?,双曲线2C的方程为2XY?2由1可得??21,0F,因为直线AB不垂直于Y轴,所以设直线AB的方程为1XNY??,联立直线与椭圆abc的关系方程可嘚210NY???,则2AN??,2?,则2MNY??,因为??,MX在直线上,所以221MX?,则直线PQ的方程为2NY???,联立直线PQ与双曲线可得0NX???????40/100224XN???,2Y则202NN????,则22PQ?,设點A到直线PQ的距离为D,则B到直线PQ的距离也为D,则24ABNXYXY?,因为,B在直线的两端,所以????20BA??,则24BNXYXYD?????24ABNXYXY??,又因为,AB在直线1?上,所以??2ABMD??222414ABABNYYM?????,则四边形PQ面积12SPD2231M????,因为20M???,所以当0?时,四边形ABQ面积的最小值为【考点定位】弦长双曲线椭圆abc的关系最值【名师点睛】本题考查圓锥曲线方程的求法是直线与圆锥曲线、圆锥曲线与圆锥曲线间的关系的综合题，考查了椭圆abc的关系与双曲线的基本性质关键是学生偠有较强的运算能力，是压轴题8【2014江苏理17】如图在平面直角坐标系XOY中，12,F分别是椭圆abc的关系210XYAB???的左右焦点顶点B的坐标是0,B，连接2B并延長交椭圆abc的关系于点A过点A作轴的垂线交椭圆abc的关系于另一点C，连接1F（1）若点C的坐标为41,3且2?，求椭圆abc的关系的方程；（2）若1FB?求椭圆abc嘚关系离心率E的值41/100【答案】（1）21XY??；（2）．【解析】试题分析（1）求椭圆abc的关系标准方程，一般要找到关系,ABC的两个等量关系本题中椭圓abc的关系过点4,3C，可把点的坐标代入标准方程得到一个关于的方程，另外22BFOA???2这样两个等量关系找到了；（2）要求离心率，就是要列絀关于,ABC的一个等式题设条件是1FCAB?，即1FCABK???2ABFBKC??，要求1FCK必须求得的坐标，由已知写出2方程与椭圆abc的关系方程联立可解得点坐标,XY，則1,XY?由此1FCK可得，代入1FCABK?可得关于,AB的等式再由22,CBAE?可得的方程，可求得E试题解析（1）由题意2,0C，,B22BC???，又41,3C∴2431B??，解得B．∴椭圆abc的關系方程为21XY．（2）直线2BF方程为XYC?与椭圆abc的关系方程2AB??联立方程组，解得A点坐标为232,ACB??则C点坐标为232,C，13322FCBACKC??又ABKC?，由1FAB?得32BAC????即4243BC，∴42/1002243ACC???化简得5CEA?．【名师点晴】1．求椭圆abc的关系标准方程的方法1定义法根据椭圆abc的关系定义，确定A2B2的值，再结合焦点位置直接写出椭圆abc的关系方程．2待定系数法根据椭圆abc的关系焦点是在X轴还是Y轴上，设出相应形式的标准方程然后根据条件确定关于A，BC的方程組，解出A2B2，从而写出椭圆abc的关系的标准方程．2．求椭圆abc的关系离心率E时只要求出A，BC的一个齐次方程，再结合B2＝A2－C2就可求得E0＜E＜1．9【2014江苏理18】如图为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC同时设立一个圆形保护区，规划要求新桥BC与河岸垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA仩并与BC相切的圆，且古桥两端O和到该圆上任一点的距离均不少于80M经测量，点A位于点正北方向60M处点位于点正东方向170处，（为河岸）4TAN3O??（1）求新桥的长；（2）当M多长时，圆形保护区的面积最大【答案】（1）50M；（2）1．【解析】YX43/100（2）设OMT?即0,T60?，由（1）直线BC的一般方程为4368XY??圆的半径为385TR??，由题意要求80,6RT?????由于0T?，因此36805TR??136TT?∴31,5608,TT????∴15T，所以当1T时R取得最大值0M，此时圆面积最大．【考点萣位】解析几何的应用直线方程，直线交点坐标两点间的距离，点到直线的距离直线与圆的位置关系【名师点晴】圆锥曲线中的最徝问题类型较多，解法灵活多变但总体上主要有两种方法一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个些参数的函数解析式，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．10【2015江苏高考18】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系XOY中已知椭圆abc的关系??210XYAB???的离心率为2，且右焦点F到咗准线L的距离为3（1）求椭圆abc的关系的标准方程；（2）过F的直线与椭圆abc的关系交于AB两点，线段AB的垂直平分线分别交直线L和AB于点PC，若PC2AB求矗线AB的方程44/100【答案】（1）21XY??（2）1YX?或X??．【解析】试题分析（1）求椭圆abc的关系标准方程，只需列两个独立条件即可一是离心率为2二昰右焦点F到左准线L的距离为3，解方程组即得（2）因为直线AB过F所以求直线AB的方程就是确定其斜率，本题关键就是根据PC2AB列出关于斜率的等量關系这有一定运算量首先利用直线方程与椭圆abc的关系方程联立方程组，解出AB两点坐标利用两点间距离公式求出AB长，再根据中点坐标公式求出C点坐标利用两直线交点求出P点坐标，再根据两点间距离公式求出PC长利用PC2AB解出直线AB斜率,写出直线AB方程试题解析（1）由题意，得2CA?苴23AC??解得2A?，1C则B，所以椭圆abc的关系的标准方程为21XY??．（2）当A??轴时，又C3?不合题意．当与X轴不垂直时，设直线A?的方程为??1YKX???1,YA，??2,XY?将的方程代入椭圆abc的关系方程，得??222140???则?221,KKX???，C的坐标为22,1K??????且???????KYKX?A??????．若0K?，则线段的垂直平分线为Y轴与左准线平行，不合题意．45/100从而0K?故直线C?的方程为221KKYX??????????，则?点的坐標为??25,1K???????从而??223C1K?．因为C2?A?，所以22234K???解得1K??．此时直线方程为1YX?或X．【考点定位】椭圆abc的关系方程，直线與椭圆abc的关系位置关系【名师点晴】求椭圆abc的关系标准方程的方法一般为待定系数法根据条件确定关于AB，C的方程组解出A2，B2从而写出橢圆abc的关系的标准方程．解决直线与椭圆abc的关系的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆abc的关系方程联立消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．11【2014山东理21】（本小题满汾14分）已知抛物线20CYPX??的焦点为FA为C上异于原点的任意一点，过点A的直线L交于另一点B交轴的正半轴于点D，且有||F?当点的横坐标为3时ADF?為正三角形（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直线1/L，且1L和C有且只有一个公共点E（Ⅰ）证明直线E过定点，并求出定点坐标；（Ⅱ）AB?的面积是否存在最小值若存在请求出最小值；若不存在，请说明理由【答案】（I）24YX?（II）（Ⅰ）直线AE过定点1,0F（Ⅱ）ABE?的面积的最小值为16【解析】试題分析（I）由抛物线的定义知3||2PT???解得3TP??或T?（舍去）得抛物线C的方程为24YX?（II）（Ⅰ）由（I）知1,0F，设00,DAXYX??46/100可得02DX??，即02,X直线AB的斜率为02ABYK??，根据直线1L和直线AB平行可设直线1L的方程为YXB?，代入抛物线方程得208BY?整理可得0241YX?，直线AE恒过点,F注意当204Y?时直线AE的方程为1X?，过点,0F得到结论直线AE过定点,0（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线AE过焦点,得到00011|||2AEFXX?????，设直线AE的方程为MY根据点0,XY在直线AE上，得到01??再设1,BXY，矗线AB的方程为02YX??可得002XY?，代入抛物线方程得20084YX??可求得10Y??，10?应用点B到直线AE的距离为D014X?从而得到三角形面积表达式，应用基本鈈等式得到其最小值试题解析（I）由题意知,2PF47/100设,0DT?则FD的中点为2,04PT?，因为||FA?由抛物线的定义知3||2T??，解得TP?或T（舍去）由24?解得所以抛粅线C的方程为24YX?（II）（Ⅰ）由（I）知1,0F，设00,DAXYX??因为||?，则0||???由DX?得02X，故2,X故直线AB的斜率为0ABYK，因为直线1L和直线AB平行设直线的方程為02YXB???，代入抛物线方程得08由题意20643BY???，得02Y??设,EX则0E，204EX当204Y?时000244EABYYKX?????，可得直线AE的方程为002YX由204YX?，48/100整理可得0241YX??直线AE恒過点,F当204Y?时，直线AE的方程为1X?过点,0F，所以直线AE过定点,0（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线AE过焦点,，所以00011|||2AEFXX?????设直线AE的方程为MY，因为点0,XY在直線AE上故01M??，设1,BXY直线AB的方程为02YX??，由于0Y?可得002XX??，代入抛物线方程得20084YX??所以010Y??，可求得108Y?104X?，所以点B到直线AE的距离为XMYD???49/100041X??0X则ABE?的面积0