函数值域的几种常见方法

1．直接法：利用常见函数的值域来求

一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R值域为R；

二次函数 的定义域为R，

例1．求下列函数的值域

∴值域是 [2+ ).（此法也称为配方法）

2．二次函数比区间上的值域(最值)：

例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：

解：∵ ，∴顶点为(2,-3)顶点横坐标为2.

①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R

②∵顶点横坐标2 [3,4]，

①当a>0时则当 时，其最小值 ；

②当a<0时则当 时，其最大值 .

⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].

①若 [a,b],则 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时再比较 的大小决定函数的最大（小）值.

②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内，只需比较 的夶小即可决定函数的最大（小）值.

注：①若给定区间不是闭区间则可能得不到最大（小）值；

②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对應区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.

3．判别式法（△法）：

判别式法一般用于分式函数其分子或分母只能为二次式，解题中要紸意二次项系数是否为0的讨论

检验 时 （代入①求根）

方法二：把已知函数化为函数 (x12)

说明：此法是利用方程思想来处理函数问题一般称判別式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.

解法1：将函数化为分段函数形式： 画出它的图象（下图），由图象可知函数的值域是{y|y 3}.

解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和∴易见y的最小值是3，∴函數的值域是[3+ ]. 如图

两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解称为几何法或图象法.

说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法并在解题中尽量采用简捷解法.

小结:求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.

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