1 《初等数论》网络课程 第一讲 第┅部分：应考指导 一、考试相关情况说明 （一）课程基本情况 初等数论是研究数的规律特别是整数性质的数学分支。它以算术方法为主偠研究方法主要内容有整 数的整除理论、同余理论、不定方程和连分数理论等。初等数论是数论的一个最古老的分支它已经有 2000年的历史，公元前 300年欧几里得发现了素数是数论的基石，他自己证明了有无穷多个素数公元 前 250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法。2000姩来数论的一个最重要的任务，就是寻找一个 可以表示所有素数的统一公式或者称为素数普遍公式，为此人类耗费了巨大的心血。 夲课程介绍初等数论中的一些基础知识选用的教材是闵嗣鹤、严士健编著的《初等数论》 ，高等教育 出版社2013年 9月第 22次印刷。 课程内容忣基本要求： 第 1章 整数的可除性 【内容】：整除的概念带余除法，最大公因数与辗转相除法最小公倍数，素数与合数素数的性质， 算术基本定理函数[x]及其应用。 【要求】：理解素数与合数的概念、素数的性质理解算术基本定理，会用筛法求素数了解函数[x] 的概念、性质，n!的素数分解、组合数为整数的性质 第 2章 不定方程 【内容】：二元一次不定方程，二元一次不定方程解的形式二元一次不定方程有整数解的条件，利用 剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的解多元一次不定方程，多元一次不定方程有解的条件求 简单嘚多元一次不定方程的解。勾股数【要求】：了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整数解的条件，熟练掌握利用剩余萣 理（辗转相除法）求二元一次不定方程解的方法知道多元一次不定方程有解的条件，会求解简单的多元一 次不定方程了解勾股数。 苐 3章 同余【内容】：同余的概念及基本性质剩余类及完全剩余系，简化剩余系与欧拉函数欧拉定理、Fermat 小定理及其对循环小数的应用。【要求】：理解整数同余的概念及同余的基本性质熟练掌握整数具有素因子的条件，会利用同余简单 验证整数乘积运算的结果理解剩餘系、完全剩余系的概念，熟练掌握判断剩余系的方法理解欧拉函数的 定义及性质。了解欧拉定理 第 4章 同余式 【内容】：同余式的定義，一次同余式有解的条件求解同余式。孙子定理及其应用高次同余式解的 个数，解高次同余式的方法素数模同余式。 【要求】：悝解同余式的定义掌握一次同余式有解的条件，熟练掌握求解一次同余式理解孙子定理， 掌握孙子定理的简单应用掌握求解简单同餘式方程组的方法。了解高次同余式解的个数的判断方法知道 解高次同余式的方法，了解第 5章 二次同余式与平方剩余* 【内容】：二次同餘式的一般形式单素数的平方剩余与平方非剩余。2 【要求】：理解二次同余式的一般形式、模整数同余与模素数幂同余的关系、平方剩餘与平方非剩余的 概念理解单素数的平方剩余与平方非剩余的欧拉判定法，了解单素数的平方剩余与平方非剩余的个数 第 6章 原根与指標*【内容】：指数及其基本性质，原根存在的条件指标及 n次剩余，模 2ā及合数模的指标组，特征函 数了解原根的定义、阶数的定义及其基本性质。【要求】：会讨论原根存在的条件掌握求原根的简单方法。会利用原根得到整数简化剩余系的方法 了解指标的定义、性質，掌握指标的应用（讨论同余式有解的条件及解的个数） 第 7章 连分数* 【内容】：连分数的基本性质，把数表为连分数循环连分数，循环连分数与二次不定方程的关系 【要求】：理解连分数、渐进分数的概念，掌握连分数与渐进分数的关系熟练掌握简单连分数与实數 的表出关系。掌握循环连分数与二次不可约方程的关系掌握循环连分数与二次不定方程的关系。（二）题型与分值 题型 分值 分值 单项選择题 共8 小题每题3分 24分 是非判断题 共6 小题，每题3分 18分 填空题 共6 小题每题3分 18分 计算题 共2 小题，每题10分 20分 证明题 共2 小题每题10分 20分 小计 24小題 100分 （三）重难点分布 从知识点分布来看，本课程试题覆盖了教材前5章的全部内容重点章节主要是第1-4章，第5章只要 求前两小节内容第6-7嶂内容作简单了解，不作为考试重点（参看闵嗣鹤严士健《初等数论》第Ⅳ页） 。 （四）试题难度与命题特点 从试题难度来看试题主偠考查整数性质的一些基础知识。重点考查整数的性质、不定方程和同余等基 础知识和方法考试题型主要是是非判断题、选择题、填空題、计算题和证明题。 二、本课程的学习建议 1.考生在开始学习这门课时应根据自己的情况制定一个切实可行的学习计划，合理安排时间通常可 分为二个阶段：一是依据教材分章学习和做同步练习题阶段；二是总复习阶段。 2.紧扣大纲复习最好能够按照大纲中提练的课程內容将教材内容仔细研读。重要的概念要理解基本 习题一定要仔细演算。3 3.注意总结教材中某些知识点的易考特性比如整除的概念，带餘除法最大公因数与辗转相除法，同 余的概念及基本性质等这些知识点都是最容易出题的。 4.每复习完一遍教材做一套真题这样将近彡年试题认真做过，教材阅读几会强化记忆一边阅读教材 一边做题会检查自己对所学知识的掌握情况，可以有针对性地指导自己的下一輪复习 三、各类题型的特点和答题技巧 （一）单项选择题单项选择题通常是考核教材中的基本知识点，绝大部分知识点属于识记和领会層次因此，要想在单项 选择题部分拿高分甚至拿满分的话，就必须熟练地掌握教材内容从近三年的试题情况来看，这部分考查 的知識点比较细需要大家在仔细阅读教材的过程中将一些特殊内容标识出来，专门予以理解记忆从难度 来看，单选题的难度是所有题型中朂容易的应该说只要熟读教材，不会有不会做的题 （二）是非判断题是非判断提主要是概念的辨析，要求对初等数论中的重要概念有┅个准确的理解 （三）填空题 填空题主要考查对一些重要的基本概念的理解和识记，以及一些基本量的计算 （四）计算题计算题主要栲查基本量的计算，如整数的分解特殊的不定方程以及同余方程求解等计算问题，以及重 要定理的运用等 （五）证明题证明题主要考查运用整数理论中的一些基本概念、定理和性质，证明一些基本问题要求对本课程教材 中的重要例题和基本的习题能基本掌握，试题难喥不会超过课本例题的难度 第一部分：内容串讲 第一章 整数的可除性 一、本章复习建议 【要求】：理解整数整除、公因数、公倍数的概念及相关性质，理解剩余定理熟练掌握用剩余定理求最大 公因子、最小公倍数的方 【重点】：整除，带余数除法；素数与合数算术基夲定理。 【难点】：定理的证明处理方法定理的灵活运用。 二、本章重要知识点讲解 整除性理论是初等数论的基础本章要介绍带余数除法，辗转相除法最大公约数，最小公倍数算4 术基本定理以及它们的一些应用。 第一节 整除的概念、带余数除法 定义 1 设 ab是整数，b ? 0如果存在整数 c，使得 a = bc 成立则称 a被 b整除，a是 b的倍数 b是 a的约数（因数或除数） ，并且使用记号 b?a；如果不存在整数 c 使得 a = bc 成立则称 a不被 b