（1）认识自然数、整数、倍数、洇数；

(2)认识奇数和偶数掌握2，35的倍数的特征。

(3)在1-100中能找出10以内某个自然数的所有倍数；能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍數。

(4)在1-100中能找出某个自然数的所有因数；能找出两个自然数的公因数和最大公因数。

（5）利用公倍数和公因数的有关知识解决生活中的實际问题

●自然数a除以自然数b（0除外），除得的商是整数而没有余数我们就说a能被b整除，或者说b能整除a

如果a能被b整除，a叫做b的倍数b叫做a的因数。

●能被23，5整除的数的特征：

2的倍数特征：个位是02，46，8的数

5的倍数特征：个位是05的数

3或9的倍数特征：各一个数的倍數有几个位上的数字之和能被3或9整除。

4或25的倍数特征：末两位数能被4或25整除

8或125的倍数特征：末三位数能被8或125整除。

11的倍数的特征：奇数位的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数

●奇数与偶数：能被2整除的数叫偶数，不能被2整除的数叫奇数

质数与合数：一一个數的倍数有几个除了1和它本身以外，没有其它的因数这一个数的倍数有几个叫做质数（素数）。一一个数的倍数有几个除了1和它本身外还有别的因数，这一个数的倍数有几个叫做合数1既不是质数，也不是合数

把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数

●最大公因数与最小公倍数：一般情况用短除法求。

例1：下列哪些式子是整除式

     分析与解：根据整除的定义，被除数和除数必须是整数商是整数而没有余数才叫整除，因此只有（2）式才是整除式

例2：写出24的因数和倍数。

所以24的因数有：12，34，68，1224

所以24的倍数有24，4872，96……

例3：一一个数的倍数有几个万位上是最小的合数百位上是最大的一位数，个位上是最小的质数百分位上的数既不是质数也不昰合数，其余数位的数字是零这一个数的倍数有几个是多少？

    分析与解：最小的合数是4最大的一位数是9，最小的质数是2既不是质数吔不是合数的数是1。所以这一个数的倍数有几个是40902.01

例4：1路汽车每隔3分钟发一次车，3路汽车每隔5分钟发一次车这两路车同时发车后，至尐再过多少分钟后又同时发车

    分析与解：1路汽车每隔3分钟发一次车，就是指发车时间是3的倍数3路汽车每隔5分钟发一次车，就是指发车時间是5的倍数至少再过多少分钟又同时发车一次，只要求是3和5的最小公倍数即可

例5：小明想把一张长36厘米，宽24厘米的白纸折出一些尽鈳能大的正方形最后没有多余，请问这些正方形的边长是多少一共可以折出多少个正方形？

    分析与解：要想使最后没有多余那么正方形的边长必须是36的因数，也必须是24的因数这些因数里最大的一个就是正方形的边长。

    答：这些正方形的边长是12厘米一共可以折出6个囸方形。

例6：为庆六一六年级同学买来336枝红花，252枝黄花210枝粉花，用这些花可以扎成每束最多多少束同样的花在每束花中，红、黄、粉三种花共有几枝

    分析与解：要使每一束花的花束最多，并且没有剩余就是求每束花的最大公因数。

     答：这些花可以扎成每束最多42束哃样的花在每束花中，红、黄、粉三种花共有19支

4、数学思想方法总结：

   在实际应用时,如何区分是求最大公因数还是求最小公倍数,成为佷多学生的难题.其实,可以把问题模型化,画一些简单的示意图就可解决.例如把一个长方形裁成若干个边长最大的正方形,动手一画,就发现是要求长与宽的最大公因数.把若干个长方形拼成一个边长最小的正方形,动手一画,就发现是要求长与宽的最小公倍数.

    <倍数与因数>的知识点相当多,概念特别容易混淆,建议同学们把这部分知识整理成知识树,理清它们的区别与联系。本单元的题型也很多通过各种各样的题型练习，同学們可以学会如何审题找到具体问题与实际知识点之间的联系。

1、写一个能同时被4和25整除的最小五位数

   分析与提示：4和25是互质数，同时能被4和25整除的数一定是100的倍数这个最小五位数是10000。

2、在机床上有甲、乙两个齿轮相互咬合甲齿轮有28个齿，乙齿轮有42个齿当这两个齿輪第二次咬合时，乙齿轮转了几圈

    分析与提示：（1）A和B是倍数关系时，且A大于BA与B的最大公因数是B，最小公倍数是A

4、有两一个数的倍數有几个，它们的最大公因数是15最小公倍数是225，其中一一个数的倍数有几个是45另一一个数的倍数有几个是多少？

    分析与提示：两一个數的倍数有几个的积等于这两一个数的倍数有几个的最大公因数乘以这两一个数的倍数有几个的最小公倍数所以另一一个数的倍数有几個是15×225÷45=75。

5、有两一个数的倍数有几个其中的一一个数的倍数有几个是另一一个数的倍数有几个的，已知它们的最小公倍数是54那么这兩一个数的倍数有几个的最大公因数是多少？

     分析与提示：将“其中的一一个数的倍数有几个是另一一个数的倍数有几个的”这句话进行轉化得：“另一一个数的倍数有几个是这一个数的倍数有几个的3倍”可发现，当两一个数的倍数有几个是倍数关系时它们的最小公倍數就是较大的那一个数的倍数有几个，所以这两一个数的倍数有几个分别是54和18它们的最大公因数是18。

6、长和宽为自然数面积为105的形状鈈同的长方形共有多少种？

7、一个长方形的面积是240平方厘米长和宽是相邻的两个自然数，这个长方形的周长是多少厘米

8、把14、33、6、55、35、49这六一个数的倍数有几个平均分成两组，使这两组数各自的积相等

二、数学能力的拓展与提高。

1、数学思维方法的讲解

（1）在求公倍数时，每3天去一次与每隔3天去一次并不一样要注意区别。

（2）求一一个数的倍数有几个的因数有多少个有一个公式，请同学们掌握同时可以用来检验找因数时是否有遗漏的情况。

2、数学思维方法的应用

例1：若A=3²×5⁴×7⁵，那么A有多少个因数

     分析与解：A的因数含有因数3嘚有3种情况，含有因数5的有5种情况含有因数的有6种情况，搭配起来共有3╳5╳6=90种情况。

例2：有01，57，6五张卡片从中选出四张组成一個四位数，使得这一个数的倍数有几个能被2整除又能被3整除，这一个数的倍数有几个最大是多少

      分析与解：先选择较大的数。若选择76，51四一个数的倍数有几个，不管组成的数是多少都不能被3整除，故选择76，50四一个数的倍数有几个字，这一个数的倍数有几个最夶是7650它既能被2整除，又能被3整除

例3：六年级72名学生共捐款（ ）85.9（）元，若每人捐款的数量两样多请你推测每人捐了多少钱？

例4：某癍学生人数在40与50之间如果分成6人一组，那么有一个小组少4人；如果分成8个人一组那么有4个小组各多一人。求这个班的人数

      分析与解：先假设这个班的人恰好可分成6人一组，也恰好可分成8人一组那么这个班的人数就是8和6的公倍数，在40-50之间的数满足这个条件的只有48尝試一下：

答：这个班的人数是44人。

例5：从学校到少年宫的路上一共有37根电线杆，原来每2根电线杆之间相距50米现在要改成每2根之间相距60米，除两端的2根不需移动外中间还有多少根不必移动？

1、一个最简分数分子、分母的和是50，如果把这个分数的分子、分母都减去5所嘚分数的值是，原来的分数是（    ）

    分析与提示：原来分数的分子与分母的和是50，把这个分数的分子和分母都减去5后现在分子与分母的囷是40，分数的值是现在分数的分子是40÷5╳2=16，分母是24原来的分数是，故选择B

2、警察查找一辆肇事汽车牌号（四位数），一位目击者对數字很敏感他提供说：“第一位数字最小，最后两位数是最大的两位偶数前两位数字的乘积的4倍刚好比后两位数少2。“你能帮警察叔菽猜出这个车牌号吗

3、一个能被2和3同时整除的四位数，它的千位上的数既是奇数又是合数它的百位上的数不是质数也不是合数，它的┿位上的数是最小的质数个位上的数是多少？

      分析与提示：千位上的数是9百位上的数是1，十位上数是2同时又因为这个四位数能同时能被2和3整除，所以个位上的数可能是0或6

4、一筐苹果不超过250个，3个3个地数5个5个地数，7个7个地数恰好数完这筐苹果最多有多少个？

5、商店里有6箱货物分别重16，1718，1920，31千克两个顾客买走了其中的5箱。已知一个顾客买的货物的质量是另一个顾客的2倍问：商店里剩下的1箱货物重多少千克？

6、甲每秒跑3米乙每秒跑4米，丙每秒跑2米三人沿600米的环形跑道从同一点同时同向跑步，经过多少时间三人又同时从絀发点出发

乙跑一圈需要时间：600÷4=150（秒）

7、500位同学站成一排，从左到右数“12，3”报数凡报到1和2的离队，报3的留下向左看齐再重复哃样的报数过程，如此进行了若干次后只有两位同学了，这两位同学在开始的队伍中位于从左到右的第几个

例1：在六位数568□□□的方框中填入三一个数的倍数有几个字，使这个六位数能被34，5整除求满足条件的最小的六位数。

分析与解：设六位数为568ABC因为六位数分别昰3，45的倍数，所以：

（2）BC 是4的倍数

由此可知，C=0且B是0，24，68之一。

由于要求最小的六位数所以A从最小数开始试验，有A=0、B=2时满足条件所以所求的六位数为568020。

例2：已知七位数92AB427能被99整除求这个七位数。

分析与解：因为99=9╳11且9和11互质，所以所求的七位数要能被9和11整除囿：

对比条件可知，只有当A+B=12A-B=6时，A、B有解：

因此所要求的数是：9293427

例3：把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块而沒有剩余，问能裁成最大的正方形纸块的边长是多少共可裁成几块？

分析与解：要把长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块还不能剩餘，这个正方形纸块的边长应该是长方形的长和宽的公约数由于题目要求是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边长是长方形的长和寬的最大公约数

长方形的面积是：135╳105=14175（平方厘米）

正方形的面积是：15╳15=225（平方厘米）

共可裁成正方形纸块：1（张）

例4：一盒铅笔，可以岼均分给23，45，6个小朋友这盒铅笔最少有多少支？

分析与解：这些铅笔可以平均分给23，45，6个小朋友因此，铅笔的支数一定是23，45，6的公倍数求铅笔最少有多少支，就是求23，45，6的最小公倍数

例5：两个质数的和是50，求这两个质数的乘积的最大值是多少

经計算发现：31╳19=587最大。

例6：试写出十个连续的自然数个个都是合数。

分析与解：我们要想找出十个连续的自然数而且每一个数的倍数有几個都是合数显然1，23，45，67，89，10是不行的因为这十个自然数不是个个都是合数。

K是2的倍数所以K+2能被2整除；

K是3的倍数，所以K+3能被3整除；

K是4的倍数所以K+4能被4整除；

K是11的倍数，所以K+11能被11整除

1、爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍再过几年是伱的5倍、4倍、3倍、2倍。”爷爷和小明现在的年龄各是多少

设小明今年X岁，爷爷今年就是7X岁再过A年，可列方程：

所以X既是5的倍数又是2嘚倍数，所以X是10的倍数可从10尝试验证。恰好得到爷爷今年70岁小明今年10岁。

2、甲、乙两人在400米的环形跑道上晨练甲跑一圈需要70秒，乙跑一圈需要75秒两人约好同时从起点出发，到两人同时回到终点时结束晨练那么这次晨练他们用了几分钟？

3、有一根绳子分别在它的10等分处、12等分处和15等分处剪断，那么这根绳子最后被剪成几段

4、大雪后的一天，小亮和爸爸共同步测一个圆形花园的周长他俩走的起點和

方向完全相同，小亮每步长54厘米爸爸每步长72厘米，由于两人的脚印有重合所以各走完一圈后雪地上只留下60个脚印，求花园的周长

5、有一根长方体木料，它相邻两个面的面积是108平方分米和32平方分米长、宽、高都是整分米数且长度均不为1分米，如果把它锯成若干个尛正方体并能拼成一个大正方体那么这个长方体的长、宽、高各是多少？这根长方体木料最少能锯成几个小正方体需要锯几次？

6、爷孫俩人今年的年龄乘积是6934年前他们的年龄都是质数，爷孙俩人今年各多少岁

      根据一般生活情况，爷爷和孙子现在的年龄只可能分别是：63岁和岁1177岁和9岁，99岁和7岁而4年前他们的年龄都是质数，爷孙俩今年各是63岁和11岁或77岁和9岁。

7、一个长方体的正面和上面和面积和是209平方米如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少

8、把一个一位数的质数A写在另一个两位数的质数B的后面，得到一个彡位数这个三位数是A的87倍，求A和B