看到有使用中值定理的解答我洅补充一个不用中值定理、只是用凸函数性质的解答。
设 则欲证的不等式变为
考察f(x)的凹凸性,易知在(0,+∞)上f(x)是严格向下凸的,所以对0<x1<x2<x3有
对0<a<b<a+b应用上述不等式两次,有
关于(1)式的证明0<x1<x2<x3,
因为f(x)是严格向下凸的所以有
下凸函数这个性质还可以写成
这个式子有比较明显的几何意义,大家可以画图看看
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